LK - 1999 - Aufgabe D2: Lösungen, Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

Teil D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten:

erreichbar:

Wert des Parameters t oder s
Wert des Parameters k
Prüfung mit Gleichung der zweiten Geraden und Schlussfolgerung: Für k = – 2 ist der Punkt S Schnittpunkt beider Geraden.
Ansatz für Prüfung auf Parallelität
Schlussfolgerung: Es existiert kein Wert k, für den die Geraden parallel sind.
5 BE
Normalenvektor einer Parallelebene zur Geraden g_k und h_k
Ansatz für Abstand
Abstand in Abhängigkeit von k
lokale Extremstelle
maximaler Abstand: 7,6
5 BE
10 BE

Lösungen

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	Teil D2
a	g_k \|\| h_k => Untersuchung der Richtungsvektoren der Geraden: aus den x-Komponenten folgt: 10 = r * 0, also gibt es keine solchen Werte k, für den die Geraden parallel sind. S(4 \| -0,4 \| -5,2) ist Schnittpunkt <=> S Ç g_k = S: durch Gleichsetzen und Lösen des Gleichungssystems erhält man: t = 0,7 und k = -2; es folgt: S g_-2 und S h_-2 kann leicht nachgeprüft werden, da g_k nicht parallel zu h_k ist, gilt auch g_-2 h_-2.
b	Maximaler Abstand von g_k und h_k für –6 k 6: Normalenvektor der Parallelebene: $vec n ~=~ (stack {n_x#n_y#n_z})$ mit folgt: $vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k })$ und der normierte Vektor: $vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k })$ . Mit den Lotfußpunkten L_g g_k und L_h h_k ergibt sich der Ansatz . Dabei ist r = r(k) erst nach Normierung die gesuchte Abstandsfunktion. Auf die Normierung wird im Moment noch verzichtet, um die Umformung nicht komplizierter zu gestalten, als sie schon ist. Es ergibt sich $r(k) ~=~ {{7k^2-86k-200} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ . Zur Kontrolle: $s ~=~ {{8k^3-14k^2 + 940k - 2320} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ $t ~=~ {{3k^3 + 66k^2 - 160k + 1120} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ . Die Abstandsfunktion a(k) entsteht durch Erweitern: $a(k) ~=~ r(k) %cdot sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}$ = ${{7k^2-86k-200} over sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ . Mit dem GTR ergibt sich: solve(nDerive(a(k),k,k),k,3) 2,799 und a(2,799) = -7,57435. Dabei weist das Vorzeichen auf eine Richtung hin, ist aber bei der Angabe des Abstands wegzulassen: Der maximale Abstand beträgt 7,57 LE.

Teil D2

g_k || h_k => Untersuchung der Richtungsvektoren der Geraden:
aus den x-Komponenten folgt: 10 = r * 0, also gibt es keine solchen Werte k, für den die Geraden parallel sind.

S(4 | -0,4 | -5,2) ist Schnittpunkt <=> S Ç g_k = S:
durch Gleichsetzen und Lösen des Gleichungssystems erhält man: t = 0,7 und k = -2; es folgt: S g_-2 und S h_-2 kann leicht nachgeprüft werden, da g_k nicht parallel zu h_k ist, gilt auch g_-2 h_-2.

Maximaler Abstand von g_k und h_k für –6 k 6:
Normalenvektor der Parallelebene: $vec n ~=~ (stack {n_x#n_y#n_z})$ mit vec n ~=~ (STACK { 10 # k # k-4 }) %kreuz (STACK { 0 # k # 4 }) folgt: $vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k })$ und der normierte Vektor: $vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k })$ . Mit den Lotfußpunkten L_g g_k und L_h h_k ergibt sich der Ansatz . Dabei ist r = r(k) erst nach Normierung die gesuchte Abstandsfunktion. Auf die Normierung wird im Moment noch verzichtet, um die Umformung nicht komplizierter zu gestalten, als sie schon ist.
Es ergibt sich $r(k) ~=~ {{7k^2-86k-200} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ .
Zur Kontrolle: $s ~=~ {{8k^3-14k^2 + 940k - 2320} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ $t ~=~ {{3k^3 + 66k^2 - 160k + 1120} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ .
Die Abstandsfunktion a(k) entsteht durch Erweitern: $a(k) ~=~ r(k) %cdot sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}$ = ${{7k^2-86k-200} over sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}$ . Mit dem GTR ergibt sich: solve(nDerive(a(k),k,k),k,3) 2,799 und a(2,799) = -7,57435. Dabei weist das Vorzeichen auf eine Richtung hin, ist aber bei der Angabe des Abstands wegzulassen: Der maximale Abstand beträgt 7,57 LE.

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/

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