Teil D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Wert des Parameters t oder s
    Wert des Parameters k
    Prüfung mit Gleichung der zweiten Geraden und Schlussfolgerung: Für k = – 2 ist der Punkt S Schnittpunkt beider Geraden.
    Ansatz für Prüfung auf Parallelität
    Schlussfolgerung: Es existiert kein Wert k, für den die Geraden parallel sind.

    5 BE

  2. Normalenvektor einer Parallelebene zur Geraden gk und hk
    Ansatz für Abstand
    Abstand in Abhängigkeit von k
    lokale Extremstelle
    maximaler Abstand: rund 7,6

    5 BE
    10 BE

Lösungen

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Teil D2

a

gk || hk => Untersuchung der Richtungsvektoren der Geraden:
aus den x-Komponenten folgt: 10 = r * 0, also gibt es keine solchen Werte k, für den die Geraden parallel sind.

S(4 | -0,4 | -5,2) ist Schnittpunkt <=> S Ç gk = S:
durch Gleichsetzen und Lösen des Gleichungssystems erhält man: t = 0,7 und k = -2; es folgt: S Element von g-2 und S Element von h-2 kann leicht nachgeprüft werden, da gk nicht parallel zu hk ist, gilt auch g-2 ungleich h-2.

b

Maximaler Abstand von gk und hk für –6 kleiner gleich k kleiner gleich 6:
Normalenvektor der Parallelebene: vec n ~=~ (stack {n_x#n_y#n_z}) mit vec n ~=~ (STACK { 10 # k # k-4 }) %kreuz (STACK { 0 # k # 4 }) folgt: vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k }) und der normierte Vektor: vec n ~=~ (STACK { 8k`-`k^2 # -40 # 10k }). Mit den Lotfußpunkten Lg Element von gk und Lh Element von hk ergibt sich der Ansatz . Dabei ist r = r(k) erst nach Normierung die gesuchte Abstandsfunktion. Auf die Normierung wird im Moment noch verzichtet, um die Umformung nicht komplizierter zu gestalten, als sie schon ist.
Es ergibt sich r(k) ~=~ {{7k^2-86k-200} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}.
Zur Kontrolle: s ~=~ {{8k^3-14k^2 + 940k - 2320} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}t ~=~ {{3k^3 + 66k^2 - 160k + 1120} over {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}.
Die Abstandsfunktion a(k) entsteht durch Erweitern: a(k) ~=~ r(k) %cdot sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}={{7k^2-86k-200} over sqrt {k^4 - 16k^3 + 164k^2 + 1600}}. Mit dem GTR ergibt sich: solve(nDerive(a(k),k,k),k,3) -> 2,799 und a(2,799) = -7,57435. Dabei weist das Vorzeichen auf eine Richtung hin, ist aber bei der Angabe des Abstands wegzulassen: Der maximale Abstand beträgt 7,57 LE.

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