Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A: Analysis

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f(x) = 1/6 x(x-8)²; Gerade g: y = 2 x + 8: Nullstellen; lokalen Extremstellen und deren Art; Wendepunkt; x mit f(x) > f(xe); g istTangente an f; eine zu g parallelen Gerade, die ebenfalls Tangente an f ist; g und f begrenzen eine Fläche vollständig -> Inhalt; u (0 < u < 8) sind Pu (u; f(u)) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks -> Pu mit größtmöglichen Flächeninhalt; Gerade durch Koordinatenursprung -> Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Gegeben sind die Punkte A, B, C und H: Punkte A, B und C sind Eckpunkte eines Dreiecks und liegen in der x-y-Koordinatenebene; Größe des Innenwinkels CBA; Maßzahl des Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist 30; Punkt H ist Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC; Punkte S - Spitzen von Pyramiden ABCS mit dem Höhenfußpunkt H -> S, so dass das Volumen der zugehörigen Pyramide ABCS 100 beträgt; es existieren Punkte P so, dass die Pyramiden ABCP gleich lange Seitenkanten haben -> alle Punkte P

Teil C: Stochastik

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Glücksrad und Glücksspiel; Höhe des Gewinns; zu zahlender Betrag bei vorgegebenem Gewinn; Bernoullikette; weiteres GIücksrad; zweistufiger Versuch; Wahrscheinlichkeitsfunktion: PG(z) = 1 over {2 %cdot sqrt{z`+`2}}-> überprüfen verschiedener Behauptungen

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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f(x) = ln(2x-1) und g(x) = 2,5 ln (x-3); Definitionsbereich von f; Schnittpunkt der Funktionen S; Schnittwinkel der Tangenten in S; Nachweis vorgegebner Stammfunktion F; durch f, g und die x-Achse wird eine Fläche vollständig begrenzt -> ermitteln des Flächeninhaltes; Für jedes a begrenzen f, die x-Achse und x = a eine Fläche vollständig -> Inhalt dieser Fläche für den Parameterwert a = 1,5 ist ln 2 – 0,5 hat.

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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A,B und Ca sind gegeben; Ebene E ist durch die Punkte A, B und C2 bestimmt; für Ebene E eine Gleichung in allgemeiner Form; Untersuchung, ob das Dreieck ABC2 rechtwinklig ist; Auf existiert ein Punkt D so, dass für Dreieck ADC2 und Dreieck DBC2 ein vorgebenes Flächenverhältnis entsteht -> D

Es existieren Dreiecke ABCa, für die die Größe der Winkel BCaA jeweils 90° beträgt.
Berechnen Sie für diese Dreiecke den Wert des Parameters a.

Alle Punkte Ca liegen in der Ebene E.
Ermitteln Sie rechnerisch alle Werte a, für die die Ebene E durch die Punkte A, B und Ca eindeutig bestimmt ist.


Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

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Gegeben sind die Funktion f durch y = f(x) = 1/6 x(x-8)² (xElement reeller Zahlen) und die Gerade g durch die Gleichung y = 2 x + 8.

  1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an und berechnen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion f.
    Weisen Sie die Art der Extrema nach.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes.
    Ermitteln Sie alle Argumente x, deren Funktionswert größer als das lokale Maximum der Funktion f ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 10

  2. Weisen Sie nach, dass die Gerade g Tangente an den Graphen der Funktion f ist.
    Ermitteln Sie eine Gleichung einer zur Geraden g parallelen Gerade, die ebenfalls Tangente an den Graphen der Funktion f ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Die Gerade g und der Graph der Funktion f begrenzen eine Fläche vollständig.
    Ermitteln Sie deren Inhalt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Für jedes u (u Element reeller Zahlen, 0 < u < 8) sind der Punkt Pu (u; f(u)) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen achsenparallelen Rechtecks.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Pu, dessen zugehöriges Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt von allen so gebildeten Rechtecken besitzt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  5. Jede durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade hat mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion f.
    Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit dem Graphen der Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1; 1; 0), B(7; -3; 0), C(4; 6; 0) und H(2; 2; 0) gegeben.

  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Punkte A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind und begründend Sie, dass dieses Dreieck in der x-y-Koordinatenebene liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels CBA des Dreiecks ABC.
    Zeigen Sie, dass die Maßzahl des Flächeninhalt des Dreiecks ABC 30 ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Punkt H der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC ist.
    Die Punkte S seien die Spitzen von Pyramiden ABCS mit dem Höhenfußpunkt H.
    Berechnen Sie die Koordinaten eines der Punktes S, so dass das Volumen der zugehörigen Pyramide ABCS 100 beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  4. Es existieren Punkte P so, dass die Pyramiden ABCP mit der Grundfläche ABC gleich lange Seitenkanten overline AP, overline BP und overline CP haben.
    Berechnen Sie die Koordinaten aller Punkte P, für die das Volumen der zugehörigen Pyramide ABCP 100 beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Test C: Stochastik

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Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt. Davon sind genau einer blau, genau einer rot und alle restlichen Sektoren weiß gefärbt. Bei einem GIücksspiel beträgt der Einsatz je Drehung 2 DM. Wird der rote Sektor bei einer Drehung ermittelt, erhält der Spieler 30 DM, beim blauen Sektor 10 DM ausgezahlt Bei den weißen Sektoren wird nichts ausgezahlt. Die Ergebnisse der Drehungen sind voneinander unabhängig.

  1. Bestimmen Sie die Höhe des Gewinns (Auszahlung abzüglich des Einsatzes), den ein Spieler bei einer Drehung erwarten kann.
    Welcher Betrag sollte beim Ermitteln des roten Sektors an den Spieler gezahlt werden, wenn die anderen Bedingungen bleiben und der Betreiber des Glücksrades durchschnittlich 0,20 DM je Drehung ”verdienen” will?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Wie viele Drehungen müssen mindestens durchgeführt werden; damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal den roten Sektor zu ermitteln, mindestens 95% beträgt?

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Ein weiteres GIücksrad ist in 10 gleich große Sektoren unterteilt. Die Ergebnisse der Drehungen sind voneinander unabhängig. Nach jeder Drehung wird der ermittelte Sektor markiert. Das Rad wird zehnmal gedreht.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der danach alle 10 Sektoren markiert sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Das in Aufgabenteil c) beschriebene Glücksrad wird zwei Mal gedreht und die ermittelten Sektoren werden markiert.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der danach zwei markierte Sektoren nebeneinander liegen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  5. Ein ”elektronisches Glücksrad” in einem Spielautomaten ist so programmiert, dass sich die Gewinnchance mit zunehmender Anzahl von Versuchen eines Spielers in einer Serie verringert. Die Gewinnwahrscheinlichkeit PG wurde dafür in Abhängigkeit von der Anzahl z der Versuche durch PG(z) = 1 over {2 %cdot sqrt{z`+`2}} definiert.
    Jacqueline behauptet, nach 20 Versuchen sei die Gewinnwahrscheinlichkeit noch größer als 10%. Überprüfen Sie diese Behauptung.
    Franziska möchte das Spiel abbrechen, bevor die Gewinnchance kleiner als 0,07 ist.
    Ermitteln Sie, nach welchem Versuch Franziska das Spiel spätestens beenden muss.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind die Funktionen f durch y = f(x) = ln(2x-1) (x {short description of image} Df) und g durch y = g(x) = 2,5 ln (x-3) (x Element reeller Zahlen, x > 3).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  2. Die Graphen der beiden Funktionen f und g schneiden sich im Punkt S.
    Geben Sie die Koordinaten des Punktes S an.
    Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Tangenten an die Graphen der Funktionen f und g im Punkt S.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit

    y = F(x) = 1/2 [(2x -1) ln(2x –1) - 2x ]

    eine Stammfunktion der Funktion f ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Durch den Graphen der Funktion f, den Graphen der Funktion g und die x-Achse wird eine Fläche vollständig begrenzt.
    Ermitteln Sie mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder unter Verwendung der für die Funktion g(x) existierenden Stammfunktion G(x) mit

    G(x) = 2,5 [(x-3) ln(x – 3) – x]

    den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  5. Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a > 1 ) begrenzen der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = a eine Fläche vollständig.
    Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche für den Parameterwert a = 1,5 die Maßzahl ln 2 – 0,5 hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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ln einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (10; 2; 3), B (4; 5; 9) und C(3+a;4;10 – a) (a Element reeller Zahlen) gegeben. Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C2 bestimmt.

  1. Stellen Sie für die Ebene E eine Gleichung in allgemeiner Form auf.
    Die Punkte A, B und C2 sind Eckpunkte eines Dreiecks.
    Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Dreieck ABC2 rechtwinklig ist.

    Auf der Seite existiert ein Punkt D so, dass für das Verhältnis des Flächeninhaltes A1 des Dreiecks ADC2 zum Flächeninhalt A2 des Dreiecks DBC2 gilt: A1 : A2 = 1: 5.
    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  2. Es existieren Dreiecke ABCa, für die die Größe der Winkel BCaA jeweils 90° beträgt.
    Berechnen Sie für diese Dreiecke den Wert des Parameters a.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Alle Punkte Ca liegen in der Ebene E.
    Ermitteln Sie rechnerisch alle Werte a, für die die Ebene E durch die Punkte A, B und Ca eindeutig bestimmt ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2


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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/