Teil A: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
f(x) = 1/6 x(x-8)²; Gerade g: y = 2 x + 8: Nullstellen; lokalen Extremstellen und deren Art; Wendepunkt; x mit f(x) > f(xe); g istTangente an f; eine zu g parallelen Gerade, die ebenfalls Tangente an f ist; g und f begrenzen eine Fläche vollständig -> Inhalt; u (0 < u < 8) sind Pu (u; f(u)) und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks -> Pu mit größtmöglichen Flächeninhalt; Gerade durch Koordinatenursprung -> Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.
Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
Gegeben sind die Punkte A, B, C und H: Punkte A, B und C sind Eckpunkte eines Dreiecks und liegen in der x-y-Koordinatenebene; Größe des Innenwinkels CBA; Maßzahl des Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist 30; Punkt H ist Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks ABC; Punkte S - Spitzen von Pyramiden ABCS mit dem Höhenfußpunkt H -> S, so dass das Volumen der zugehörigen Pyramide ABCS 100 beträgt; es existieren Punkte P so, dass die Pyramiden ABCP gleich lange Seitenkanten haben -> alle Punkte P
Teil C: Stochastik |
Erwartungsbild --- home |
Glücksrad und Glücksspiel;
Höhe des Gewinns; zu zahlender Betrag bei vorgegebenem Gewinn;
Bernoullikette; weiteres GIücksrad; zweistufiger Versuch;
Wahrscheinlichkeitsfunktion: PG(z) =
->
überprüfen verschiedener Behauptungen
Aufgabe D1: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
f(x) = ln(2x-1) und g(x) = 2,5 ln (x-3); Definitionsbereich von f; Schnittpunkt der Funktionen S; Schnittwinkel der Tangenten in S; Nachweis vorgegebner Stammfunktion F; durch f, g und die x-Achse wird eine Fläche vollständig begrenzt -> ermitteln des Flächeninhaltes; Für jedes a begrenzen f, die x-Achse und x = a eine Fläche vollständig -> Inhalt dieser Fläche für den Parameterwert a = 1,5 ist ln 2 – 0,5 hat.
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
A,B und Ca
sind gegeben; Ebene E ist durch die Punkte A, B und C2
bestimmt; für Ebene E eine Gleichung in allgemeiner Form;
Untersuchung, ob das Dreieck ABC2 rechtwinklig ist; Auf
existiert ein Punkt D so, dass für Dreieck ADC2 und
Dreieck DBC2 ein vorgebenes Flächenverhältnis
entsteht -> D
Es existieren Dreiecke ABCa,
für die die Größe der Winkel BCaA jeweils 90°
beträgt.
Berechnen Sie für diese Dreiecke den Wert des Parameters a.
Alle Punkte Ca
liegen in der Ebene E.
Ermitteln Sie rechnerisch alle Werte a, für die die Ebene E durch
die Punkte A, B und Ca eindeutig bestimmt ist.
Teil A: Analysis |
Gegeben sind die Funktion
f durch y = f(x) = 1/6 x(x-8)² (x
)
und die Gerade g durch die Gleichung y = 2 x + 8.
Geben Sie die
Nullstellen der Funktion f an und berechnen Sie die lokalen
Extremstellen der Funktion f.
Weisen Sie die Art der Extrema nach.
Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes.
Ermitteln Sie alle Argumente x, deren Funktionswert größer
als das lokale Maximum der Funktion f ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 10
Weisen Sie nach, dass
die Gerade g Tangente an den Graphen der Funktion f ist.
Ermitteln Sie eine Gleichung einer zur Geraden g parallelen Gerade,
die ebenfalls Tangente an den Graphen der Funktion f ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Die
Gerade g und der Graph der Funktion f begrenzen eine Fläche
vollständig.
Ermitteln Sie deren Inhalt.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Für
jedes u (u ,
0 < u < 8) sind der Punkt Pu (u; f(u)) und der
Koordinatenursprung Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen
achsenparallelen Rechtecks.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Pu, dessen
zugehöriges Rechteck den größtmöglichen Flächeninhalt
von allen so gebildeten Rechtecken besitzt.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Jede
durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade hat mindestens einen
gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion f.
Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit
dem Graphen der Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der
Geraden.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1; 1; 0), B(7; -3; 0), C(4; 6; 0) und H(2; 2; 0) gegeben.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Punkte A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind und begründend Sie, dass dieses Dreieck in der x-y-Koordinatenebene liegt.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Berechnen Sie die Größe
des Innenwinkels CBA des Dreiecks ABC.
Zeigen Sie, dass die Maßzahl des Flächeninhalt des
Dreiecks ABC 30 ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Weisen Sie rechnerisch
nach, dass der Punkt H der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks
ABC ist.
Die Punkte S seien die Spitzen von Pyramiden ABCS mit dem Höhenfußpunkt
H.
Berechnen Sie die Koordinaten eines der Punktes S, so dass das
Volumen der zugehörigen Pyramide ABCS 100 beträgt.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Es existieren Punkte P
so, dass die Pyramiden ABCP mit der Grundfläche ABC gleich lange
Seitenkanten 
,
und 
haben.
Berechnen Sie die Koordinaten aller Punkte P, für die das
Volumen der zugehörigen Pyramide ABCP 100 beträgt.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Test C: Stochastik |
Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt. Davon sind genau einer blau, genau einer rot und alle restlichen Sektoren weiß gefärbt. Bei einem GIücksspiel beträgt der Einsatz je Drehung 2 DM. Wird der rote Sektor bei einer Drehung ermittelt, erhält der Spieler 30 DM, beim blauen Sektor 10 DM ausgezahlt Bei den weißen Sektoren wird nichts ausgezahlt. Die Ergebnisse der Drehungen sind voneinander unabhängig.
Bestimmen Sie die Höhe
des Gewinns (Auszahlung abzüglich des Einsatzes), den ein Spieler
bei einer Drehung erwarten kann.
Welcher Betrag sollte beim Ermitteln des roten Sektors an den Spieler
gezahlt werden, wenn die anderen Bedingungen bleiben und der Betreiber
des Glücksrades durchschnittlich 0,20 DM je Drehung ”verdienen”
will?
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Wie viele Drehungen müssen mindestens durchgeführt werden; damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal den roten Sektor zu ermitteln, mindestens 95% beträgt?
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Ein weiteres GIücksrad
ist in 10 gleich große Sektoren unterteilt. Die Ergebnisse der
Drehungen sind voneinander unabhängig. Nach jeder Drehung wird
der ermittelte Sektor markiert. Das Rad wird zehnmal gedreht.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der danach alle 10 Sektoren
markiert sind.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Das in Aufgabenteil c)
beschriebene Glücksrad wird zwei Mal gedreht und die ermittelten
Sektoren werden markiert.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der danach zwei markierte
Sektoren nebeneinander liegen.
Erreichbare BE-Anzahl: 1
Ein ”elektronisches
Glücksrad” in einem Spielautomaten ist so programmiert, dass
sich die Gewinnchance mit zunehmender Anzahl von Versuchen eines
Spielers in einer Serie verringert. Die Gewinnwahrscheinlichkeit PG
wurde dafür in Abhängigkeit von der Anzahl z der Versuche
durch PG(z) =
definiert.
Jacqueline behauptet, nach 20 Versuchen sei die
Gewinnwahrscheinlichkeit noch größer als 10%. Überprüfen
Sie diese Behauptung.
Franziska möchte das Spiel abbrechen, bevor die Gewinnchance
kleiner als 0,07 ist.
Ermitteln Sie, nach welchem Versuch Franziska das Spiel spätestens
beenden muss.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.
Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad) |
Gegeben sind
die Funktionen f durch y = f(x) = ln(2x-1) (x 
Df) und g durch y = g(x) = 2,5 ln (x-3) (x
,
x > 3).
Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an.
Erreichbare BE-Anzahl: 1
Die Graphen der beiden
Funktionen f und g schneiden sich im Punkt S.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes S an.
Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Tangenten an die Graphen der
Funktionen f und g im Punkt S.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit
y = F(x) = 1/2 [(2x -1) ln(2x –1) - 2x ]
eine Stammfunktion der Funktion f ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Durch den
Graphen der Funktion f, den Graphen der Funktion g und die x-Achse
wird eine Fläche vollständig begrenzt.
Ermitteln Sie mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder
unter Verwendung der für die Funktion g(x) existierenden
Stammfunktion G(x) mit
G(x) = 2,5 [(x-3) ln(x – 3) – x]
den Inhalt dieser Fläche.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Für
jedes a (a ,
a > 1 ) begrenzen der Graph der Funktion f, die x-Achse und die
Gerade mit der Gleichung x = a eine Fläche vollständig.
Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche für den
Parameterwert a = 1,5 die Maßzahl ln 2 – 0,5 hat.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
ln einem kartesischen
Koordinatensystem sind die Punkte A (10; 2; 3), B (4; 5; 9) und Ca (3+a;4;10
– a) (a )
gegeben. Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C2
bestimmt.
Stellen Sie für
die Ebene E eine Gleichung in allgemeiner Form auf.
Die Punkte A, B und C2 sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob das Dreieck ABC2
rechtwinklig ist.
Auf der Seite
existiert ein Punkt D so, dass für das Verhältnis des Flächeninhaltes
A1 des Dreiecks ADC2 zum Flächeninhalt A2
des Dreiecks DBC2 gilt: A1 : A2 =
1: 5.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
Es existieren Dreiecke
ABCa, für die die Größe der Winkel BCaA
jeweils 90° beträgt.
Berechnen Sie für diese Dreiecke den Wert des Parameters a.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Alle Punkte Ca
liegen in der Ebene E.
Ermitteln Sie rechnerisch alle Werte a, für die die Ebene E
durch die Punkte A, B und Ca eindeutig bestimmt ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/
