Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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y = fa = 10xe^(-ax^2); Kurvendiskussion; Gerade durch Extrempunkte aller Graphen; Berechnen eines Flächeninhaltes; Dreieck mit maximalem Flächeninhalt

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Es sind Punkte A, Bt, Ct gegeben. Untersucht wird die lineare Abhängigkeit, es wird nachgewiesen, daß die Punkte in ein und derselben Ebene liegen, es wird eine Aussage über die Art des gebildeten Dreiecks getroffen, die Gleichung einer Winkelhalbierenden berechnet und der Parameter t so berechnet, daß der Flächeninhalt eine bestimmte vorgegebene Maßzahl erreicht.

Teil C: Stochastik

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Für verschiedene Produkte einer Firma, die bestimmte Garantieleistungen übernimmt, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, es wird die Unabhängigkeit zweier Fehler untersucht, berechnet, wieviele Geräte der Produktion entnommen weden müssen, damit eine bestimmte Wahrscheinlichkeit erreicht wird und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eins Ereignisses in einer großen Stichprobe (n=750) berechnet.

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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Gegeben ist: y=f(x)=x/((ln x)²). Gesucht wird: der lokale Minimumpunkt und der Punkt auf dem Graphen, dessen Abstand zum Koordinatenursprung minimal ist.

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Die Punkte A, B und C sowie die Gerade g x = (-2; -20; -23)+t(3; -1; 2)sind gegeben. Es wird nachgewiesen, daß zwei Geraden windschief sind, im Dreieck ABC wird der vorgegebene Höhenfußpunkt überprüft und das Volumen des durch Rotation eines Teildreieckes entstehende Körper berechnet. Außerdem ist die Gleichung derjenigen Geraden gesucht, die durch den Punkt A verläuft und die die Gerade g sowie h schneidet.


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Teil A: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a > 0) ist eine Funktion fa gegeben durch y = fa = 10xe^(-ax^2)(x ). Die Abbildung zeigt das mit einem grafikfähigen Taschenrechner erzeugte Bild des Graphen der Funktion f1:

  1. Geben Sie für die Funktion f a den größtmöglichen Definitionsbereich an und führen Sie für die Funktion fa eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte).
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz von Wendepunkten kann verzichtet werden.
    Eine Funktion fa hat den Wertebereich 5<=y<=5.
    Ermitteln Sie für diese Funktion den Wert a.

    Erreichbare BE-Anzahl: 13

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der die lokalen Extrempunkte der Graphen aller Funktionen fa liegen.
    Weisen Sie nach, daß auf der Geraden g ein Punkt existiert, der nicht Extrempunkt einer Funktion fa ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Der Graph der Funktion f1, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = t (t , t > 0) begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Durch den Koordinatenursprung O, den Punkt P (x: 0) und den Punkt Q (x; f1 (x)) wird für jedes x (xElement reeller Zahlen, x > 0) ein Dreieck bestimmt. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1; 1; -1), Bt (1; 1 + t; -1 + 2t) und Ct (1 + 2t; 1 - t; -1) (tElement reeller Zahlen, t > 0) gegeben.

  1. Untersuchen Sie die Vektoren Vektor AB_2 und Vektor AC_4 auf lineare Abhängigkeit. Berechnen Sie die y-Koordinate des Vektors so, daß die Vektoren Vektor x = (4; y; -8), Vektor AB_2 und Vektor AC_4linear abhängig sind.

Erreichbare BE-Anzahl: 5

Weisen Sie rechnerisch nach, daß für jeden Wert t die Punkte A, Bt und Ct ein und dieselbe Ebene bestimmen.

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Für jedes t sind die Punkte A, Bt und Ct Eckpunkte eines Dreiecks A Bt Ct. Weisen Sie rechnerisch nach, daß jedes Dreieck A Bt Ct ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis Strecke B_t C_t ist.

Zeigen Sie, daß eine Gleichung für alle Winkelhalbierenden der Winkel Ct A Bt existiert, die unabhängig vom Wert des Parameters t ist, und ermitteln Sie eine Gleichung dieser Winkelhalbierenden.

Erreichbare BE-Anzahl: 4

Berechnen Sie den Wert des Parameters t, für den das zugehörige Dreieck A Bt Ct den Flächeninhalt .

Erreichbare BE-Anzahl: 3

Test C: Stochastik

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Eine Firma stellt verschiedene Elektronikerzeugnisse her. Eines dieser Produkte besteht aus drei Bauteilen T1, T2 und T3. Falls ein Bauteil ausfällt, ist das Produkt nicht mehr funktionsfähig. Es ist bekannt, daß jedes dieser Teile innerhalb der Garantiezeit mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 ausfällt und daß dieser Ausfall keine Auswirkungen auf die Funktionsfähigkeit der anderen Teile hat. In den Garantiebedingungen erklärt sich die Herstellerfirma bereit, bei jedem Bauteil einmalig die Kosten für den Austausch zu übernehmen. Die Kosten für den Austausch von Tl betragen 150 DM, von T2 120 DM und von T3 30 DM.

  1. Die Zufallsgröße X beschreibt die Kosten pro Produkt, die der Herstellerfirma durch die Garantieleistungen entstehen.
    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an. Ermitteln Sie die Kosten, die die Herstellerfirma durch die Garantieleistungen pro Produkt erwarten muß.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Ein Erzeugnis der Firma sind Taschenrechner. Bekannt ist, daß 10 % der produzierten Geräte defekt sind. Ursache dafür können die Fehler F1 und F2 sein. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Fehler F1 beträgt 0,04. Sowohl Fehler F1 als auch Fehler F2 haben 0,25 % der produzierten Taschenrechner.
    Untersuchen Sie, ob die beiden Fehler Fl und F2 unabhängig voneinander auftreten.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Ein Kontrolleur benötigt für eine Analyse einen Taschenrechner, der sowohl Fehler Fl als auch Fehler F2 aufweist.
    Wie viele Geräte müssen der Produktion wenigstens entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% wenigstens ein solcher Rechner dabei ist?

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Um Taschenrechner preiswert kaufen zu können, gaben die Gymnasien einer Stadt eine Sammelbestellung von 750 Stück bei dieser Firma ab. Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Rechner unter den 750 gelieferten Geräten, die den Fehler Fl aufweisen.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Fehler Fl bei weniger als 20 Rechnern auftritt?

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben ist die Funktion f durch y=f(x)=x/((ln x)²) (xElement vonDf).
Die Abbildung zeigt das mit einem grafikfähigen Taschenrechner erzeugte Bild des Graphen der Funktion f:

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an.
    Der Graph der Funktion f besitzt genau einen lokalen Minimumpunkt. Berechnen Sie dessen Koordinaten.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Es existiert genau ein Punkt P (x; f (x)) (x , x > 1), dessen Abstand zum Koordinatenursprung minimal ist.
    Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes P.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Minimums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl 6

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (3; -5; -15), B(2; 4; -1) und C (8; 10; -7) sowie die Gerade g x = (-2; -20; -23)+t(3; -1; 2)durch (tElement reeller Zahlen) gegeben.

  1. Zeigen Sie, daß die durch die Punkte B und C bestimmte Gerade h windschief zur Geraden g verläuft.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Die Höhe ha auf der Seite Strecke BC des Dreiecks ABC zerlegt das Dreieck in zwei Teildreiecke. Das flächenmäßig größere der beiden Teildreiecke rotiere um die Höhe ha.
    Zeigen Sie, daß der Punkt F (4; 6; -3) Höhenfußpunkt der Höhe ha ist. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Geraden, die durch den Punkt A verläuft und die die Geraden g sowie h schneidet.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3


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Tabelle der Verteilungsfunktion der StandardnormalverteilungTabelle

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/