Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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Funktionsgleichung y = f(x) =(x^2+2x+1)/(4x-4) (xElement vonDf).; Kurvendiskussion; Ermitteln spezieller Tangenten; Flächeninhalt in Abhängigkeit eines Parameters; Ermitteln eines Parameters zu vorgegebenen Flächeninhalt; Grenzwert des Flächeninhaltes; Extremwertaufgabe zum Flächeninhalt des Dreiecks ABC

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Untersuchung eines schiefen Prismas; Finden der restlichen Eckpukte; Zeichnen; Ermitteln einer Ebenengleichung in parameterfreier Form; Nachweis, daß Grundfläche ein Rechteck ist; Ermitteln von Kugelmittelpunkten zu vier vorgegebenen Punkten

Teil C: Stochastik

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sechs Schüler der Klasse 8, acht Schüler der Klasse 9 und vier Schüler der Klasse 10; Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse und Anordnungsmöglichkeiten; Trefferwahrscheinlichkeiten; Test

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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die Punkte A, B, D und E sowie die Ebenen Et: (2t +9)x + (-4t + 26)y + (10t - 21)z = 44t (tElement reller Zahlen) sind gegeben; Ermittle C so, daß Quadrat entsteht; Ermittle Gerade als Schnittpunkt zweier Ebenen; Berechne Maße des Kreises durch die Schnittmenge der im Würfel einbeschriebenen Kugel und der Ebene Et

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Flugrouten werden durch Graphen der Funktionen y = fa (x) = a-1x2 - ax + a (a {-3; 1/2; 2; 3;}; x , x 0) beschrieben; Parameter a haben verschiedene Wahrscheinlichkeiten; Anzahl verschiedener Reihenfolgen; Ermittle Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse; Test


Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material Stochastik

Teil A: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) =(x^2+2x+1)/(4x-4) (xElement vonDf).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und ermitteln Sie für den Graph der Funktion f die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte sowie die Art der Extrema, und untersuchen Sie den Graph der Funktion f auf die Existenz von Wendepunkten (Hinweis: f''(x)=2/(x-1)^3).
    Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f in der Umgebung der Polstelle.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph Asymptote des Graphen der Funktion f ist.
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -4<=x<=6.

    Erreichbare BE-Anzahl: 12

  2. An den Graph der Funktion f existieren Tangenten, welche durch den Koordinatenursprung verlaufen.1
    Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine Gleichung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Der Graph der Funktion f und die Geraden mit den Gleichungen y = 1/4 (x + 3), x = 3 und x = z (z, z > 3) begrenzen für jeden Wert z jeweils eine Fläche A(z) vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A(z).
    Berechnen Sie den Wert z, für den der Inhalt dieser Fläche 1 beträgt.

    Ermitteln Sie .

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  4. Für jedes u (uElement reeller Zahlen, u > 1) wird durch die Punkte A(0, 0), B(u; 0) und C(u: f(u)) ein Dreieck bestimmt.
    Ermitteln Sie den Wert u, für den das zugehörige Dreieck den kleinsten Flächeninhalt aller so gebildeten Dreiecke hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 7

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein schiefes Prisma ABCDEFGH mit der Grundfläche ABCD durch die Eckpunkte A(4; -2; -3), B(8; 2; -1), C(6; 3; 1), D(2; -1 ; -1) und H(l; 0; 5) gegeben.
Die Punkte D und H gehören zu ein und derselben Körperkante.

  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Prismas.
    Zeichnen Sie dieses Prisma in ein Koordinatensystem.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Stellen Sie für die Ebene in der die Grundfläche ABCD liegt, eine Gleichung in parameterfreier Form auf.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Weisen Sie nach, daß die Grundfläche ABCD ein Rechteck ist Berechnen Sie das Volumen des Prismas ABCDEFGH

    Erreichbare BE-Anzahl 3

  4. Es existieren genau zwei Kugeln mit dem Radius 3/2*sqrt(30)auf denen die Punkte A, B, C und D liegen.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes einer dieser Kugeln.

    Erreichbare BE Anzahl: 3

Test C: Stochastik

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Bei einem Sportfest wird eine Schule durch sechs Schüler der Klasse 8, acht Schüler der Klasse 9 und vier Schüler der Klasse 10 vertreten.

  1. Vor der Eröffnung werden zwei Schüler dieser Schule ausgelost, die die Sportgeräte auf die Wettkampfstätten zu verteilen haben.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Beide Schüler sind Schüler der Klasse 8.
    Ereignis B: Ein Schüler ist aus Klasse 9 und ein Schüler ist aus Klasse 10.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Zur Eröffnung des Sportfestes stellen sich alle Teilnehmer dieser Schule in einer Linie auf.
    Wie viele Anordnungsmöglichkeiten gibt es, wenn nur die Zugehörigkeit zu den Klassen interessiert?
    Wie groß ist bei zufälliger Anordnung der Teilnehmer in der Linie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die vier Schüler aus Klasse 10 nebeneinander stehen?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Ein Wettbewerb ist der Ballzielwurf Peters Trefferwahrscheinlichkeit sei bei jedem Wurf 0,3.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Peter bei 10 Würfen genau 5 Treffer erzielt.
    Wie oft muß Peter werfen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er wenigstens einmal trifft, mindestens 0,95 beträgt?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Ein weiterer Wettbewerb ist der Weitsprung.
    Ein Sportlehrer behauptet, er könne beim Anlauf eines Schülers schon vier Meter vor dem Erreichen des Absprungbalkens in mindestens 90% aller Fälle voraussagen, ob der Schüler übertritt oder nicht. Die Hypothese des Sportlehrers wird bei dem Sportfest getestet, bei dem 50 Sprünge durchgeführt werden.
    Wie oft muß der Sportlehrer die richtige Voraussage treffen, damit bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% seine Hypothese nicht abgelehnt werden kann?

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Teil D: Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus:

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

Erwartungsbild --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0; -1 ; 2), B(3; 3; 2), D(-4; 2; 2) und E(0; -1; 7) sowie die Ebenen Et durch (2t +9)x + (-4t + 26)y + (10t - 21)z = 44t (tElement reller Zahlen) gegeben.

  1. Weisen Sie nach, daß ein Punkt C existiert, so daß das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Der Körper ABCDEFGH ist ein Würfel. Jede Ebene Et (t ) schneidet die Ebene, in der die Seitenfläche BCGF des Würfels liegt, in ein und derselben Geraden.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Dem Würfel ABCDEFGH ist eine Kugel einbeschrieben, die jede Seitenfläche des Würfels berührt. Die Ebene E1 schneidet diese Kugel in einem Kreis. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius dieses Schnittkreises.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Bei einem Flugsimulator wird ein Flugverlauf durch einen Computer simuliert. Für die Festlegung der Flugroute wird das gedachte Übungsgebiet mit einem x-y-Koordinatensystem unterlegt. Der Beginn des "Fluges" ist stets auf der y-Achse. Die möglichen Flugrouten werden durch Graphen der Funktionen fa mit

y = fa (x) = a-1x2 - ax + a (a {-3; 1/2; 2; 3;}; x , x 0) beschrieben.

Der Parameter a wird vor jedem simulierten Flug neu und unabhängig vom vorangegangenen Flug durch den Computer mit folgenden Wahrscheinlichkeiten ermittelt: P(a = -3) = 0,3; P(a = 1/2) = 0,1; P(a = 2) = 0,4 und P(a = 3) = 0,2.

  1. Vier Personen absolvieren nacheinander je genau drei "Flügen" am Flugsimulator.
    Wie viele verschiedene Reihenfolgen von Flugrouten sind dabei möglich?

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  2. b) In der Skizze sind mögliche Flugrouten mit einer Rechtskurve und einer Linkskurve dargestellt.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, daß bei 12 simulierten Flügen höchstens zwei Rechtskurven durchflogen werden.

    Erreichbare BE-Anzahl 3

  3. Schneidet bzw. berührt eine Flugroute die x-Achse wird durch den Computer eine Sonderaktion (z. B. Ausfall eines Triebwerkes) simuliert.
    Wie viele Sonderaktionen sind durchschnittlich bei 12 simulierten Flügen zu erwarten?

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Bei einer Veränderung des Computerprogrammes werden auch die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten des Parameters a verändert. Herr Meyer behauptet, die Wahrscheinlichkeit eine Rechtskurve zu "durchfliegen" sei mindestens 0,5. Bei einem Test tritt in 6 von 20 Versuchen eine Flugroute mit einer Rechtskurve auf. Herr Meyer verwirft deshalb seine Behauptung.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art bei diesem Test.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2


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I: Binomialverteilung Bn, p(k) für n = 20 und n = 50
II: Summenfunktion der Binomialverteilung Fn;p(k) = Bn;p(0) + ... + Bn;p(k)

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