Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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f(x) = (x2 - 4x + 3) * (x + 2) -> Kurvendiskussion (Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Zeichnung); Punkte mit Tangenten parallel zu g: y = x + 6; p(x) = x3 + 6 -> Flächeninhalt; hm (x) = m * x + 6 -> m: f und hm haben genau drei gemeinsame Punkte; Schnittpunkte h0,25 mit f und Koordinatenursprung bilden ein Dreieck -> Flächeninhalt

Teil A2: Analysis

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f(x) = {2`+`LN x} over x-> größtmöglicher Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Zeichnung); Tangente t an f in P(l; f(l)); Geraden h senkrecht zu t; t schneidet die x-Achse im Punkt Q, die Gerade h schneidet die x-Achse im Punkt R -> Flächeninhalt DreieckPQR; F(x) = 1/2 * (ln x)2 + 2 ln x ist Stammfunktion; Stammfunktion G(Wurzel e) = 2; x = e -> Inhalt der vollständig begrenzten Fläche; g(x) = x -> zwei Teilflächen -> Verhältnis der Flächeninhalte; x = u schneidet f in S und g in T -> overline ST maximal

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Quader ABCOEFGH mit A, G gegeben -> B, C, E, F und H; Vektor OT, Vektor OP und Vektor OM; Vektoren Vektor TB, Vektor BF und Vektor AM als Linearkombinationen der Vektoren Vektor a, Vektor b und Vektor c darstellen; Schnittwinkels Strecke AG und Strecke BH; Volumen der Pyramide XYZG; Kreis k: (x + 2)2+(y +2)2 = 45 -> Sehne Strecke S1S2; zu g parallelen Tangenten an k

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und D sind gegeben -> Ebene E: EABC -> Parametergleichung und allgemeiner Form; D ist in E; ABCD ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm; Mittellinie m -> Winkel BAD und Flächeninhalt ABCD; ABCF ist ein Parallelogramm -> F; Gerade g: gAB -> Kreises k -> es gibt keine Tangente an k , die T enthält

Teil C1: Numerische Verfahren

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x3 - x + 6 = 0 hat genau eine Lösung; ln x + 1/2 x - 1 = 0 graphisch lösen und allgemeines Iterationsverfahrens mit vorgegebener Iterationsvorschrift ; geraden Kreiskegel (Radius, Höhe) ist in geraden Kreiszylinder einbeschrieben -> x3 - 12x2 + 144 = 0 -> Newton-Verfahren

Teil C2: Kegelschnitte

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Kreis: x2 + y2 = 25 und Parabel y2 = 16/3 x gegeben -> Brennpunktes F und Leitlinie der Parabel; Konstruktion; Schnittpunkte; Tangenten in bestimmten Punkten -> Schnittwinkel; Normale -> Flächeninhalt Dreiecks FLR; andere Parabel

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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I: 8x - 8y - 4z = 16; II: 2x + (t-4) y - z = 5; III: (8 - 2t)x - 4y + 2z = -10; Lösungsmenge für t = l; t fürL = { (-1/ 8; y; 4)}; t für die das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, bzw. unendlich viele Lösungen besitzt

Teil C4: Stochastik

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Bauteile: "nicht maßgerecht" und "nicht funktionsfähig" unabhängig voneinander -> P(weder noch); 10 Bauteile zufällig entnommen; 50 Bauteile; Erwartungswert

Teil C5: Stochastik

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Autowerkstatt mit elektronischen Wegfahrsperren und Alarmanlagen -> Kombinatorik; einfache Ereignisse; Binomialverteilung; Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (x2 - 4x + 3) * (x + 2) (x Element reeller Zahlen).
  1. Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -2,5 kleiner gleich x kleiner gleich 3,5.

    13 BE

  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen der Graph der Funktion f Tangenten besitzt, die parallel zur Geraden g mit der Gleichung y = x + 6 (x Element reeller Zahlen) verlaufen.

    4 BE

  3. Gegeben ist die Funktion p durch y = p(x) = x3 + 6 (x Element reeller Zahlen).
    Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion p vollständig begrenzt wird.

    5 BE

    Gegeben sind die Funktionen hm durch y = hm (x) = m * x + 6 (m Element reeller Zahlen; x Element reeller Zahlen).

  4. Für welche Werte von m besitzen die Graphen der Funktionen f und hm genau drei gemeinsame Punkte?

    4 BE

  5. Die beiden Schnittpunkte des Graphen der Funktion h0,25 mit dem Graph der Funktion f, die nicht auf der y-Achse liegen, und der Koordinatenursprung bilden ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    4 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = {2`+`LN x} over x (x Element von Df).
  1. Bestimmen Sie für die Funktion f den größtmöglichen Definitionsbereich.
    Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,1 kleiner gleich x kleiner gleich 4.

    8 BE

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph der Funktion f im Punkt P(l; f(l)).
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h, welche die Tangente t im Punkt P senkrecht schneidet.
    Die Tangente t schneidet die x-Achse im Punkt Q, die Gerade h schneidet die x-Achse im Punkt R. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PQR.

    6BE

  3. Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit F(x) = 1/2 * (ln x)2 + 2 ln x ( x Element reeller Zahlen, x > 0) eine Stammfunktion der Funktion f ist.
    Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion G der Funktion f für die G(Wurzel e) = 2 gilt.

    3 BE

  4. Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = e begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    2BE

  5. Gegeben ist die Funktion g durch y = g(x) =x (x Element reeller Zahlen, x ungleich 0).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion g im Intervall 0 < x < 4 in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a.
    Der Graph der Funktion g zerlegt die im Aufgabenteil d beschriebene Fläche in zwei Teilflächen.
    Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen.

    6 BE

  6. Die Gerade mit der Gleichung x = u (u Element reeller Zahlen, u > e-l ) schneidet den Graph der Funktion f im Punkt S und den Graph der Funktion g aus Aufgabenteil e im Punkt T.
    Für welchen Wert von u ist die Länge der Strecke overline ST maximal?

    5 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

Skizze Von dem in der Abbildung dargestellten Quader ABCOEFGH sind die Punkte A(2; 0; 0) und G(0; 4; 3) gegeben. Desweiteren ist T der Diagonalenschnittpunkt des Vierecks ABCO, P der Diagonalenschnittpunkt des Vierecks ABFE sowie M der Diagonalenschnittpunkt des Vierecks ABGH. Außerdem gilt Vektor a = Ortsvektor A, Vektor b = Ortsvektor C, Vektor c = Vektor OH.
  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte B, C, E, F und H sowie die Ortsvektoren Vektor OT, Vektor OP und Vektor OM.

    3BE

  2. Stellen Sie die Vektoren Vektor TB, Vektor BF und Vektor AM als Linearkombinationen der Vektoren Vektor a, Vektor b und Vektor c dar.

    3 BE

  3. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen den Raumdiagonalen Strecke AG und Strecke BH.

    2 BE

  4. Ein Dreieck XYZ ist durch die Vektoren vec OX~=~(ALIGNR  STACK {-2 # -1 # 0 }), vec XY~=~(ALIGNR  STACK {5 # 2 # 0 }) und den Punkt Z(2; 3; 0) bestimmt.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Y sowie das Volumen der Pyramide XYZG.

    4 BE

  5. In der x-y-Ebene ist der Kreis k gegeben durch die Gleichung (x + 2)2+(y +2)2 = 45. Die Gerade g, die durch die Punkte A und C verläuft, schneidet den Kreis k in den Punkten S1 und S2.
    Berechnen Sie die Länge der Sehne Strecke S1S2.
    Ermitteln Sie je eine Gleichung der zu der Geraden g parallelen Tangenten an den Kreis k.

    8 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2; 5; -3), B(-4; 8; 3), C(-3; 2; 3) und D(-l ; 1 ; 1) gegeben.
  1. Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E.
    Stellen Sie für die Ebene E eine Parametergleichung und eine Gleichung in allgemeiner Form auf.
    Weisen Sie nach, daß der Punkt D ebenfalls in der Ebene E liegt.

    4 BE

  2. Zeigen Sie, daß das Viereck ABCD ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist.
    Durch die Mittellinie der beiden nichtparallelen Seiten des Trapezes ABCD verläuft die Gerade m.
    Geben Sie eine Gleichung für die Gerade m an.
    Berechnen Sie die Größe des Winkels BAD und den Flächeninhalt des Trapezes ABCD.

    8 BE

  3. Das Viereck ABCF ist ein Parallelogramm.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes F.

    1 BE

  4. Die Gerade g enthält die Punkte A und B und schneidet die x-y-Ebene im Punkt M. Der Punkt M ist der Mittelpunkt eines in der x-y-Ebene liegenden Kreises k der durch den Koordinatenursprung verläuft.
    Stellen Sie eine Gleichung für den Kreis k auf.
    Die Gerade h enthält die Punkte A und D und schneidet die x-y-Ebene im Punkt T.
    Weisen Sie nach, daß es keine Tangente an den Kreis k gibt, die den Punkt T enthält.

    7 BE
    20 BE

Teil C1: Numerische Verfahren

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

  1. Zeigen Sie, daß die Gleichung x3 - x + 6 = 0 im Bereich der reellen Zahlen genau eine Lösung besitzt, und geben Sie diese Lösung an. Rahmen1

    2 BE

  2. Lösen Sie die Gleichung In x + 1/2 x - 1 = 0 graphisch.
    Bestimmen Sie mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens die Lösung dieser Gleichung auf zwei Dezimalstellen genau.
    Benutzen Sie die Iterationsvorschrift x_{n+1} = e^{size*1,8 {1-0,5*x_n}}.

    4 BE

  3. Die Skizze zeigt einen Schnitt durch einen geraden Kreiskegel (Radius R = 5 cm, Höhe H = 12 cm), in den ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben ist. Das Volumen des Kreiszylinders beträgt 25 % des Kegelvolumens. Weisen Sie nach, daß sich die Höhe x des Restkegels mit Hilfe der Gleichung x3 - 12x2 + 144 = 0 ermitteln läßt.
    Berechnen Sie die Höhe x mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf drei Dezimalstellen genau.
    Geben Sie die Höhe h und den Radius r des Zylinders auf zwei Dezimalstellen genau an.

    4 BE
    10 BE

Teil C2: Kegelschnitte

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind ein Kreis durch die Gleichung x2 + y2 = 25 und eine Parabel durch die Gleichung y2 = 16/3 x gegeben.
  1. Geben Sie die Koordinaten des Brennpunktes F und eine Gleichung für die Leitlinie der Parabel an.
    Konstruieren Sie mindestens 10 Punkte der Parabel, und zeichnen Sie die Parabel mindestens im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich 6.

    3 BE

  2. Der Kreis und die Parabel schneiden einander im ersten Quadranten im Punkt R.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R.
    Die Gerade tk sei Tangente an den Kreis im Punkt R.
    Die Gerade tp sei Tangente an die Parabel im Punkt R.
    Stellen Sie je eine Gleichung für die Tangenten tk und tp auf, und berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen diesen beiden Tangenten.

    4 BE

  3. Durch den Brennpunkt F verläuft eine Gerade, die auf der Tangente tp senkrecht steht und die Leitlinie der Parabel im Punkt L schneidet.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks FLR.

    2 BE

  4. Eine andere Parabel, die nach oben geöffnet ist und deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, verläuft ebenfalls durch den Punkt R.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Parabel.

    1 BE
    10 BE

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Für jedes t (t Element reeller Zahlen) ist ein lineares Gleichungssystem durch folgende Gleichungen gegeben:
8x - 8y - 4z = 16 (x, y, z Element reeller Zahlen)
2x + (t-4) y - z = 5
(8 - 2t)x - 4y + 2z = -10
  1. Ermitteln Sie für t = l die Lösungsmenge des zugehörigen Gleichungssystems.

    3 BE

  2. Berechnen Sie den Wert des Parameters t, für den das zugehörige Gleichungssystem die Lösungsmenge L = { (-1/ 8; y; 4)} (y Element reeller Zahlen) besitzt.

    3 BE

  3. Berechnen Sie jeweils die Werte des Parameters t, für die das zugehörige Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, bzw. unendlich viele Lösungen besitzt.

    4 BE
    10 BE

Teil C4: Stochastik

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Bei der Herstellung bestimmter Bauteile treten die beiden Fehler "nicht maßgerecht" und "nicht funktionsfähig" unabhängig voneinander auf. Dabei kommt der Fehler "nicht maßgerecht" mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 und der Fehler "nicht funktionsfähig" mit der Wahrscheinlichkeit 0,075 vor.
  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist ein der Produktion zufällig entnommenes Bauteil keinen der beiden Fehler auf?

    2 BE

  2. Der Produktion werden 10 Bauteile zufällig entnommen.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter ihnen mehr als ein nicht maßgerechtes Bauteil befindet?

    2 BE

  3. Von 50 Bauteilen sind genau 4 fehlerhaft, Die Bauteile werden nacheinander in zufälliger Reihenfolge geprüft.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei den ersten vier Überprüfungen alle fehlerhaften Bauteile kontrolliert werden.

    2BE

  4. Alle produzierten Bauteile werden nacheinander und unabhängig voneinander auf Funktionsfähigkeit kontrolliert. Bei einer ersten Prüfung, die 10 Sekunden dauert, kann in 50 % der Fälle über die Funktionsfähigkeit eines Bauteiles entschieden werden. Nur wenn die erste Prüfung zu keiner Entscheidung führte, wird unmittelbar danach eine zweite Prüfung von 30 Sekunden Dauer durchgeführt und dabei endgültig über die Funktionsfähigkeit entschieden.
    Die Zufallsgröße Z gibt die für die Kontrolle von 4 Bauteilen auf Funktionsfähigkeit erforderliche Zeit an.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert der Zufallsgröße Z.

    4 BE
    10 BE

Teil C5: Stochastik

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Eine Autowerkstatt rüstet Autos mit elektronischen Wegfahrsperren und Alarmanlagen aus.
  1. Die Werkstatt verfügt über 14 Stellplätze für PKW, von denen sich vier Stellplätze in der Werkstatthalle befinden.
    Am Feierabend sind im Werkstattgelände zehn PKW, von denen bereits in acht PKW eine Wegfahrsperre eingebaut wurde. Die Fahrzeuge ohne Wegfahrsperre sollen innerhalb der Werkstatthalle, die mit Wegfahrsperre außerhalb abgestellt werden.
    Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Stellflächen zu belegen, wenn die Anordnung der Fahrzeuge innerhalb einer Belegung keine Rolle spielt?

    1 BE

  2. Der Lagerbestand besteht zu 40 % aus Wegfahrsperren vom Typ I und zu 60 % aus Wegfahrsperren vom Typ II. Die Ausschußquote liegt bei Typ I bei 3 %, bei Typ II bei 4 %.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig aus dem Lager entnommene Wegfahrsperre Ausschuß?

    2 BE

  3. Eine Lieferfirma sucht in der laufenden Produktion nach Ausschußstücken. Es werden 50 Wegfahrsperren des Typs II (Ausschußquote 4 %) geprüft.
    Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
    Ereignis A: Es ist genau eine Wegfahrsperre Ausschuß.
    Ereignis B: Es sind mehr als 2 Wegfahrsperren Ausschuß.

    Für eine Wegfahrsperre vom Typ II zahlt die Werkstatt an den Hersteller 250 DM. Eine defekte Wegfahrsperre braucht durch die Werkstatt nicht bezahlt zu werden.
    Welchen Betrag muß die Werkstatt im Durchschnitt für 50 gelieferte Wegfahrsperren des Typs II bezahlen?

    5 BE

  4. Im Rahmen einer Sonderaktion werden Kunden, die die Werkstatt betreten, befragt, ob sie den Einbau einer sehr preiswerten Alarmanlage wünschen. Erfahrungsgemäß entscheiden sich die Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/8 für den Einbau. Sobald sich ein Kunde für den Einbau entscheidet, wird die Befragung für diesen Tag abgebrochen, spätestens jedoch nach dem vierten befragten Kunden.
    Wie viele Befragungen führt die Werkstatt durchschnittlich an einem Tag durch?

    2 BE
    10 BE

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