Leistungskurs

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Teil A1: Analysis

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f(x) = (x^3`+` 3x^2`-` 4) / x; Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Zeichnung -4 kleiner gleich x kleiner gleich 2,1; p(x) = x2 - x + 6 -> Schnittpunkte von f und p; Inhalt der im I. Quadranten durch f und p vollständig begrenzten Fläche; fk (x) = (x^3`+` 3kx^2`-` 4k^3) / x -> Nullstelle ist x = -2k -> weiteren Nullstellen; Wendepunkte von fk und deren Ortskurve; Wendetangente;
für welchen Wert von k schneidet die Wendetangente die y-Achse im Punkt (`0;~ - 3 over 2 NROOT 3 2 )?

Teil A2: Analysis

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fa (x)= 1 over a `x ` sqrt(a-x);Kurvendiskussion (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema) für f4; Stellen, an denen die Funktion f4 den Funktionswert 3/4 besitzt; Zeichnung; Tangente an f4 in P (7/4 ; f(7/4)); Ortskurve der lokalen Maxima von fa; Volumen des Rotationskörpers Ka durch Rotation im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich a; Inhalt einer durch fa und Achsen eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von a und a für vorgegebenen Flächeninhalt 7,2.

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A und B sowie die Ebenen Ek sind gegeben -> Schnittpunkt und –winkel von gAB und E2 zwischen der Geraden g und der Ebene E2; Abstand Koordinatenursprungs zu g; Ek, die durch A bzw. B verlaufen und Abstand dieser beiden Ebenen; Schnittpunkte von E2 mit den Achsen Sx, Sy bzw. Sz; O, Sx, Sy und Sz bestimmen Pyramide und Kugel K -> Nachweis Mittelpunkt und K; Volumen eines geraden Kreiskegels

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Kugel K und P1, P2 Element von K sind gegeben; Gleichung von K; Punkte Ri auf der Kugel K; Gleichung der Tangentialebene E in P2; Lagebeziehungen E zu den Achsen; Tangente tl an K: enthält Q und verläuft parallel zur y-z-Ebene; Kreis k in x-y-Ebene mit M und durch P1 -> Gleichung und Schnittpunkte von k x- und y-Achse; Flächeninhalt des Kreissektors P1MP2; Kreiskegel -> Verhältnis der Volumina des Kegels und der Pyramide MP1P2S; Schnittpunkt und –winkel der Geraden h und der y-z-Ebene; Eckpunkte eines Drachenviereckes, dessen Eckpunkte auf k liegen mit dem Flächeninhalt 20.

Teil C1: Stochastik

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Wasserleitungen in einem Neubau: zwei Typen (I und II) von Absperrventilen -> Wahrscheinlichkeit von Ereignissen zur Binomialverteilungen und bedingte Wahrscheinlichkeiten

Teil C2: Stochastik

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Glücksrädern Gl und G2: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse zur Binomialverteilung, Erwartungswert der Binomialverteilung und Überprüfen zweier Spielstrategien mittels Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (x^3`+` 3x^2`-` 4) / x (x Element von Df).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen Sie für f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -4 kleiner gleich x kleiner gleich 2,1.

    2BE

  2. Gegeben ist die Funktion p durch y = p(x) = x2 - x + 6 (x Element reeller Zahlen).
    Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und p.

    2 BE

  3. Die Graphen der Funktion f und p und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    5 BE

    Gegeben ist eine Funktionenschar durch y = fk (x) = (x^3`+` 3kx^2`-` 4k^3) / x (k Element reeller Zahlen, k > 0; x Element des Definitionsbereichs von f von k).

  4. Zeigen Sie, daß jede Funktion fk an der Stelle x = -2k eine Nullstelle hat, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.

    3 BE

  5. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von fk. Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Funktion, auf deren Graph alle Wendepunkte der Graphen von fk liegen.

    5 BE

  6. Ermitteln Sie eine Gleichung der Wendetangente an der Graph der Funktion fk.
    Für welchen Wert von k schneidet die Wendetangente die y-Achse im Punkt (`0;~ - 3 over 2 NROOT 3 2 )?

    3 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktionenschar durch y = fa (x)= 1 over a `x ` sqrt(a-x) (a Element reeller Zahlen,a > 0; x Element reeller Zahlen, 0 kleiner gleich x kleiner gleich a).
  1. Führen Sie für die Funktion f4 eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Ermitteln Sie rechnerisch alle Stellen, an denen die Funktion f4 den Funktionswert 3/4 besitzt.
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f4 im gesamten Definitionsbereich.

    13BE

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f4 im Punkt P (7/4 ; f(7/4)).

    3 BE

  3. Jede der Funktionen fa besitzt genau ein lokales Maximum. Geben Sie eine Gleichung der Funktion an, auf deren Graph alle Maximumpunkte der Graphen von fa liegen.

    5 BE

  4. Jeder der Graphen von fa erzeugt bei Rotation um die x-Achse über dem Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich a einen Rotationskörper Ka.
    Berechnen Sie das Volumen des Körpers Ka.

    3 BE

  5. Für jedes a schließt der Graph der Funktion fa mit der x-Achse eine Fläche ein.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
    Geben Sie eine Gleichung der Funktion fa an, für die der Inhalt dieser Fläche 7,2 beträgt.

    6 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (8; -10; 1) und B (-1; 14; -5) sowie die Ebenen Ek durch x + y + z - k = 0 (k Element reeller Zahlen) gegeben.
  1. Die durch die Punkte A und B bestimmte Gerade g schneidet die Ebene E2 im Punkt S.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S sowie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene E2.

    5 BE

  2. Bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs zur Geraden g.

    3 BE

  3. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der beiden Ebenen Ek, die durch den Punkt A bzw. durch den Punkt B verlaufen, und bestimmen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

    4 BE

  4. Sx, Sy bzw. Sz seien die Schnittpunkte der Ebene E2 mit der x, y bzw. z-Achse.
    Geben Sie die Koordinaten der Punkte Sx, Sy und Sz an.
    Durch den Koordinatenursprung O und die Punkte Sx, Sy und Sz ist eine Pyramide bestimmt. Alle Eckpunkte dieser Pyramide liegen auf einer Kugel K.
    Zeigen Sie, daß der Punkt M(1; 1; 1) Mittelpunkt der Kugel K ist.
    Ermitteln Sie eine Gleichung für die Kugel K.

    4 BE

  5. Ermitteln Sie das Volumen des geraden Kreiskegels, dessen Grundfläche in der Ebene E2 liegt, dessen Spitze der Koordinatenursprung O ist und dessen Seitenlinien mit der Grundfläche eine Winkel von pi/6 einschließen.

    4 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(2; 3; 0) sowie die Punkte P1(3; 6; 0) und P2(3; 0; 0) (P1, P2 Element von K) gegeben.
  1. Geben Sie eine Gleichung der Kugel K an.
    Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte Ri (2; yi; 0) (i Element von N), die auf der Kugel K liegen.

    3 BE

  2. Die Ebene E sei die Tangentialebene im Punkt P2 an die Kugel K.
    Geben Sie eine Gleichung für die Ebene E an.
    Untersuchen Sie die Lagebeziehungen der Ebene E zu den Koordinatenachsen.
    Gegeben ist die Gerade tl durch vec x ~=~  ( STACK {2 # 3 # 7 }) `*` u`( STACK {0 # sqrt(390) # 39 }) (u Element reeller Zahlen).
    Die Gerade t1 ist Tangente an die Kugel K, enthält den Punkt Q(2; 3; 7) und verläuft parallel zur y-z-Ebene.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der nicht mit t1 identischen Geraden t2, die ebenfalls diese drei Eigenschaften erfüllt.

    4 BE


    Ein in der x-y-Ebene liegender Kreis k hat den Mittelpunkt M(2; 3; 0) und verläuft durch den Punkt P1.

  3. Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an, und ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von k mit der x-Achse und der y-Achse.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kreissektors P1MP2.

    4 BE

  4. Durch den Kreis k und den Punkt S(3; 3' 7) wird ein Kreiskegel bestimmt.
    Ermitteln Sie das Verhältnis der Volumina dieses Kreiskegels und der Pyramide MP1P2S.

    3 BE

  5. Die Gerade h sei eine zur Strecke Strecke MS parallele Gerade durch den Punkt P1.
    Zeigen Sie, daß die Gerade h die y-z-Ebene schneidet, und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes an.
    Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Geraden h mit der x-y-Ebene.

    3 BE

  6. Unter allen Drachenvierecken, deren Eckpunkte auf dem Kreis k liegen, hat genau ein Viereck UVP1W mit U(1; 0; 0) den Flächeninhalt 20.
    Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte dieses Drachenvierecks.

    3 BE
    20 BE

Teil C1: Stochastik

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Beim Installieren von Wasserleitungen in einem Neubau werden zwei unterschiedliche Typen (I und II) von Absperrventilen benutzt.
Erfahrungsgemäß sind 5 % der Ventile des Typs I und 10 % der Ventile des Typs II defekt.
  1. Ein Klempner kauft 20 Ventile vom Typ I.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Alle Ventile funktionieren.
    Ereignis B: Höchstens zwei Ventile sind defekt.
    Ereignis C: Mindestens zwei und höchstens drei Ventile sind defekt.

    3 BE

  2. In einem Haus mit vier Wohnungen werden Ventile wie folgt installiert:
    Wohnung

    Ventile des Typs I

    Ventile des Typs II

    1

    3

    3

    2

    1

    2

    3

    0

    2

    4

    5

    2

    4 BE

    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    Ereignis D: In Wohnung 2 ist genau ein Ventil defekt.
    Ereignis E: Alle Ventile der vier Wohnungen funktionieren.
    Ereignis F: In mindestens einer Wohnung sind genau zwei Ventile des Typs I defekt.
    (Hinweis: Bei Ereignis F werden die Ventile des Typs II nicht berücksichtigt.)

  3. In einem Abschnitt einer Ringwasserleitung sind sechs Ventile des gleichen Typs eingebaut. Es sei bekannt, daß aus Versehen genau ein defektes Ventil eingebaut wurde.
    Um das defekte Ventil herauszufinden, werden die Ventile der Reihe nach geprüft. Der Prüfvorgang wird beendet, wenn feststeht, an welcher Stelle sich das defekte Ventil befindet.
    Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl der zu prüfenden Ventile.

    3 BE
    10 BE

Teil C2: Stochastik

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Von zwei Glücksrädern Gl und G2 sei folgendes bekannt:
Das Glücksrad G1 erzeugt die Zahl l mit der Wahrscheinlichkeit 0,35, die Zahl 2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 und die Zahl 3 mit der Wahrscheinlichkeit 0, 15.
Das Glücksrad G2 erzeugt die Zahl 3 mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 und die Zahl 6 mit der
Wahrscheinlichkeit 0,6.
  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Bei viermaligen Drehen von G2 wird genau zweimal die Zahl 3 erzeugt.
    Ereignis B: Beim dreimaligen Drehen von G2 ist die Summe der erzeugten Zahlen eine gerade Zahl.
    Ereignis C: Beim dreimaligen Drehen von G2 beträgt die Summe der erzeugten Zahlen 9.
    Ereignis D: Beim gleichzeitigen Drehen von G1 und G2 ist die durch G1 erzeugte Zahl ein Teiler der von G2 erzeugten Zahl.

    5 BE

  2. Ein Zufallsversuch besteht im gleichzeitigen Drehen von G1 und G2.
    Ereignis F: Beide Räder erzeugen die gleiche Zahl.
    Wie oft ist das Eintreten von Ereignis F bei 50 Versuchswiederholungen durchschnittlich zu erwarten?
    Wie oft muß der Zufallsversuch wenigstens ausgeführt werden, damit das Ereignis F mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens einmal eintritt?

    2 BE

  3. Ein Spielautomat in einer Diskothek enthält als Zufallsgerät das Glücksrad G1.
    Ein Spiel besteht im einmaligen Drehen des Rades. Der Einsatz beträgt 1 DM. Wird die Zahl 3 erzeugt, erhält der Spieler 2 DM. Wird die Zahl 2 erzeugt, darf der Spieler wählen, ob er kostenlos ein zweites Mal das Rad dreht oder l DM ausgezahlt bekommt. Wird die Zahl l erzeugt, bekommt der Spieler nichts ausgezahlt.
    Einige Gäste der Diskothek beraten, welche der folgenden Strategien günstiger sei:
    Strategie I: Der Spieler hört nach einem Spiel sofort auf.
    Strategie II: Wird die Zahl l oder die Zahl 3 erzeugt, hört der Spieler auf.
    Wird die Zahl 2 erzeugt, entscheidet sich der Spieler für nochmaliges Drehen. Danach beendet der Spieler das Spiel.
    Entscheiden und begründen Sie:
    Welche Strategie bringt langfristig dem Automatenbetreiber mehr Gewinn?
    Bei welcher Strategie ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Spieler 2 DM erhält größer?

    3 BE
    10 BE


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