Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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y = f(x) = -1/3 x³ + 3x; y = g(x) = 5/6 x²; Kurvendiskussion (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Verhalten im Unendlichen); Graph; Schnittpunkt der Graphen von f und g; Schnittwinkel; Verhältnis der Inhalte von Teilflächen; Flächeninhalt eines Dreiecks; maximalen Flächeninhalt eines Dreiecks; Nullstellen von y = f_a(x)= -1/3 x³- 1/a x

Teil A2: Analysis

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y = f(x) = x (2 - ln x); Definitionsbereich; Kurvendiskussion; (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema); Wertetabelle; Zeichnung; F(x) = 5/4 x² - 1/2 x² * ln x Nachweis Stammfunktion; Inhalt einer Fläche; g(x) = 2x + 1; x = u; kleinster Abstand $overline {P_u Q_u}$ ; f_a(x) = x * (a - ln x) Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema; a für Anstieg 1 in x = 1

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und M gegeben -> g durch A und M; g und gemeinsame Punkte mit den Koordinatenebenen; Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig; D mit Quadrates ABCD; M Mittelpunkt der Strecke ; Kugel K um M durch A; P₁ gegeben -> Pyramide ABCDP₁; Zeichnung von ABCDP₁; Verhältnis der Volumina von K und ABCDP₁; B, C und F(0; 1; 3) wird eine Ebene E bestimmt -> allgemeiner Form; Begrenzungsflächen der Pyramide ABCDP_l liegt in E

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Gerade g₁ durch A und B sowie g₂ durch C(2; -9; 6) und den Richtungsvektor gegeben -> S ist gemeinsamer Punkt von g₁ und g₂; Schnittwinkel; g₁ und g₂ liegen auf Ebene E -> Parameterform und allgemeiner Form; Viereck ACBF mit Diagonalenschnittpunkt T und vorgegebenem Verhältnis: und : -> Punktes F; g₁ schneidet die x-y-Ebene in P₁ und g₂ schneidet in P₂-> sei Diagonale eines Quadrates P₁P₃P₂P₄; Flächeninhalt und Eckpunkte P₃ und P₄; Pyramide P₁P₃P₂P₄S(1; -8; 4) ist keine gerade Pyramide

Teil C1: Numerische Verfahren

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rechnerisch ; graphisch x² + = 2; allgemeines Iterationsverfahren e^x + x - 3 = 0; Textaufgabe

Teil C2: Kegelschnitte

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Ellipse 9x²+ 25y²= 225; Konstruktion; Tangenten in 4 vorgegebenen Punkten -> Rhombus; Flächeninhalt; y = m x –> alle Schnittpunkte

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gegeben sind zwei linearen Gleichungssysteme; Lösungsmengen (I) und (II) in Abhängigkeit von r; r: Systeme (I) und (II) sind äquivalent; endliche Zahlenfolge (a_n) = (a₁; a₂; a₃; a₄)

Teil C4: Stochastik

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Bogenschütze -> Wahrscheinlichkeiten vorgegebener Ereignisse; Erwartungswert; Bernoulli-Kette

Teil C5: Stochastik

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Skatspiel; Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; Unabhängigkeit; Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Buben im Skat -> Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen f und g durch

y = f(x) = -1/3 x³ + 3x	(x ) und
y = g(x) = 5/6 x²	(x ).

Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Verhalten im Unendlichen). Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -3,5 x 3,5 und den Graph der Funktion g im Intervall -2,5 x 2,5 in ein Koordinatensystem.
9 BE
Der Punkt S₁ (2; 10/3) ist ein Schnittpunkt der Graphen von f und g.
Berechnen Sie die Koordinaten aller weiteren Schnittpunkte dieser Graphen.
Ermitteln Sie rechnerisch den Schnittwinkel zwischen den Tangenten an die Graphen der Funktionen f und g im Punkt S₁

5 BE
Durch den Koordinatenursprung und den Punkt S_l ist eine Gerade h eindeutig bestimmt. Sie zerlegt im ersten Quadranten die von den Graphen von f und g begrenzte Fläche in zwei Teilflächen.
In welchem Verhältnis stehen die Inhalte dieser Teilflächen zueinander?
6 BE
Die Gerade h, die Senkrechte zur Geraden h im Punkt S₁ und die y-Achse begrenzen ein Dreieck.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
2 BE
Für jedes x_p mit 0 < x_p < 3 wird durch den Koordinatenursprung, den Punkt P(x_p; f(x_p)) und den Punkt Q(x_p; 0) ein Dreieck bestimmt.
Ermitteln Sie den Wert x_p, für den der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird, und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.
5 BE
Gegeben sind die Funktionen fa durch
y = f_a(x)= -1/3 x³- 1/a x (a , a 0; x ).

Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von f_a in Abhängigkeit von a.

3 BE

30BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x (2 - ln x) (x D_f).

Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
7 BE

Vervollständigen Sie folgende Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,2

x	0,2	1	e	5	e²	8
f(x)

Geben Sie das Verhalten der Funktion f für x -> an.

3 BE

Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit y = F(x) = 5/4 x² - 1/2 x² * ln x (x ; x > 0) eine Stammfunktion der Funktion f ist.
Der Graph der Funktion f, die Gerade x = 1 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
5 BE
Gegeben sei die Gerade g durch y = g(x) = 2x + 1 (x ).
Jede Gerade mit der Gleichung x = u (u , u > 0) schneidet den Graph der Funktion f im Punkt P_u und die Gerade g im Punkt Q_u.
Für welches u ist der Abstand $overline {P_u Q_u}$ am kleinsten?
Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.
5 BE
Gegeben sind die Funktionen f_a durch y = f_a(x) = x * (a - ln x) (a ; x ).
Ermitteln Sie für f_a die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema.
Zeigen Sie, daß die Extrempunkte von f_a auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegen.
6 BE
Es existiert genau ein a, für das die Funktion f_a an der Stelle x = 1 den Anstieg l hat.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph dieser speziellen Funktion f_a an der Stelle x = l.
4 BE

30BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6; 1; 1), B(2; 5; 1), C(-2; 1; 1)
und M(2; 1; l) gegeben.

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und M.
Untersuchen Sie die Gerade g auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenebenen.
4 BE
Zeigen Sie, daß das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist. Der Punkt D sei Eckpunkt des Quadrates ABCD.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.
4 BE
Weisen Sie rechnerisch nach, daß der Punkt M Mittelpunkt der Strecke ist.
K sei die Kugel um M durch den Punkt A.
Geben Sie eine Gleichung der Kugel K an.
3 BE
Der auf der Kugel K liegende Punkt P₁(2; 1; 5) ist ein Eckpunkt der geraden Pyramide ABCDP₁.
Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP₁ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina der Kugel K und der Pyramide ABCDP₁.
5BE
Durch die Punkte B, C und F(0; 1; 3) wird eine Ebene E bestimmt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form.
Weisen Sie nach, daß eine der Begrenzungsflächen der Pyramide ABCDP_l in der Ebene E liegt.
4 BE

20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g₁ durch die Punkte A(3; 4; -2) und B(2; -2; 1) sowie die Gerade g₂ durch den Punkt C(2; -9; 6) und den Richtungsvektor $vec a_2~=~(ALIGNR STACK { 3 # -3 # 6 })$ gegeben.

Zeigen Sie, daß der Punkt S(l; -8; 4) gemeinsamer Punkt der Geraden g₁ und g₂ ist.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden g₁ und g₂.
5 BE
Die Geraden g₁ und g₂ liegen in einer Ebene E.
Stellen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in allgemeiner Form auf.
4 BE
In der Ebene B existiert ein Viereck ACBF mit dem Diagonalenschnittpunkt T so, daß das Verhältnis der Strecken : und : jeweils 1 : 2 beträgt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes F.
3 BE
Die Gerade g₁ schneidet die x-y-Ebene im Punkt P₁ und die Gerade g₂ schneidet die x-y-Ebene im Punkt P₂.
Die Strecke sei außerdem Diagonale eines in der x-y-Ebene liegenden Quadrates P₁P₃P₂P₄.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Quadrates.
Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P₃ und P₄.

6 BE
Zeigen Sie, daß die Pyramide P₁P₃P₂P₄S mit der Grundfläche P₁P₃P₂P₄und der Spitze S(1; -8; 4) keine gerade Pyramide ist.

2 BE

20BE

Teil C1: Numerische Verfahren

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Ermitteln Sie rechnerisch die Lösungsmenge der Gleichung .
Ermitteln Sie graphisch die Lösungsmenge der Gleichung x² + = 2.
3 BE
Lösen Sie die Gleichung e^x + x - 3 = 0 mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens auf drei Dezimalstellen genau.
3 BE
Einer Halbkugel mit dem Radius R = 5 cm soll ein Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h (h > 3 cm) einbeschrieben werden, dessen Volumen halb so groß wie das Volumen der Halbkugel ist (siehe Skizze).

Skizze nicht maßstäblich

Ermitteln Sie eine Gleichung zur Bestimmung der Höhe h des Zylinders. Berechnen Sie diese Zylinderhöhe mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf zwei Dezimalstellen genau.
4 BE

10 BE

Teil C2: Kegelschnitte

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch die Gleichung 9x²+ 25y²= 225
gegeben.

Konstruieren Sie mindestens 16 Punkte der Ellipse, und zeichnen Sie diese Ellipse.
2 BE
Ermitteln Sie je eine Gleichung der Tangenten an die Ellipse in den Punkten
P₁(4; y₁) mit y₁ > 0,
P₂(4; y₂) mit y₂ < 0,
P₃(-4; y₃) mit y₃ > 0 und
P₄(-4; y₄) mit y₄ < 0.
Zeigen Sie, daß die Schnittpunkte dieser Tangenten Eckpunkte von einem Rhombus sind.
Berechnen Sie von diesem Rhombus den Flächeninhalt.
6 BE
Durch die Gleichung y = m x (m ) sind Geraden gegeben.
Berechnen Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ellipse.
2 BE

10 BE

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gegeben sind die linearen Gleichungssysteme

	2x - 3y + z = 0		x + y + z = r
(I):	x + y - z = 3	und (II):	4x - 6y + 2z = 0	(x,y,z,r)
	-3x + 2y + 2z = -7		3x - 2y - 2z = 7

Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Systems (I).
2 BE
Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Systems (II) in Abhängigkeit von r.
Für welchen Wert r sind die Systeme (I) und (II) zueinander äquivalent?
4 BE
Gegeben ist eine endliche Zahlenfolge (a_n) = (a₁; a₂; a₃; a₄).
Es gelten folgende Aussagen:
1. Die Summe der ersten drei Glieder beträgt 24.
2. Die Summe der letzten zwei Glieder beträgt 28.
3. Das Anfangsglied ist gleich der Differenz a₄ - a₃.
4. Das dritte Glied ist dreimal so groß wie das erste Glied.
Berechnen Sie die vier Glieder der Zahlenfolge.

4 BE
10 BE

Teil C4: Stochastik

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Ein Bogenschütze schießt auf ein Ziel. Bei jedem Schuß dieses Bogenschützen sei die Trefferwahrscheinlichkeit 0,6.

Dieser Bogenschütze schießt viermal.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
Ereignis A: Der Schütze erzielt genau zwei Treffer.
Ereignis B : Der Schütze erzielt mindestens einen Treffer.
Wie viele Treffer sind bei diesen vier Versuchen zu erwarten?
4 BE
Das Schießen auf das Ziel wird von diesem Schützen bis zum ersten Treffer, höchstens aber bis einschließlich zum vierten Schuß fortgesetzt. Die Zufallsgröße Y bezeichne die Anzahl der dabei abgegebenen Schüsse.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Y.
3 BE
Bei einer Serie von Schüssen soll die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mindestens einmal zu treffen, größer als 0,99 sein.
Berechnen Sie die Anzahl der Schüsse, die dieser Schütze dafür mindestens abgeben muß.
3 BE

10 BE

Teil C5: Stochastik

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Ein Skatspiel (32 Karten) enthält je 8 Karten der Spielfarben Rot, Eicheln, Grün und Schellen. In jeder der vier Spielfarben gibt es genau eine Karte mit dem Spielsymbol Bube. Ein solches Spiel wird gut gemischt und wie folgt ausgeteilt: 3 Spieler bekommen je 10 Karten, 2 Karten werden gesondert hingelegt und bilden den sogenannten Skat.

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
Ereignis A: Die erste verteilte Karte gehört zur Spielfarbe Rot.
Ereignis B: Die erste verteilte Karte gehört zur Spielfarbe Rot oder ist ein Bube.
3 BE
Ist das Ereignis, daß die erste verteilte Karte ein Bube ist, unabhängig vom Ereignis, daß sie zur Farbe Rot gehört?
Begründen Sie Ihre Antwort.
2 BE
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die im Skat liegenden Karten von verschiedener Spielfarbe?
2 BE
Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Buben im Skat.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X.
3 BE

10 BE

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