Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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y = f(x) = -1/3 x3 + 3x; y = g(x) = 5/6 x2; Kurvendiskussion (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Verhalten im Unendlichen); Graph; Schnittpunkt der Graphen von f und g; Schnittwinkel; Verhältnis der Inhalte von Teilflächen; Flächeninhalt eines Dreiecks; maximalen Flächeninhalt eines Dreiecks; Nullstellen von y = fa(x)= -1/3 x3 - 1/a x

Teil A2: Analysis

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y = f(x) = x (2 - ln x); Definitionsbereich; Kurvendiskussion; (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema); Wertetabelle; Zeichnung; F(x) = 5/4 x2 - 1/2 x2 * ln x Nachweis Stammfunktion; Inhalt einer Fläche; g(x) = 2x + 1; x = u; kleinster Abstand overline {P_u Q_u}; fa(x) = x * (a - ln x) Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema; a für Anstieg 1 in x = 1

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und M gegeben -> g durch A und M; g und gemeinsame Punkte mit den Koordinatenebenen; Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig; D mit Quadrates ABCD; M Mittelpunkt der Strecke Strecke AC ; Kugel K um M durch A; P1 gegeben -> Pyramide ABCDP1; Zeichnung von ABCDP1; Verhältnis der Volumina von K und ABCDP1; B, C und F(0; 1; 3) wird eine Ebene E bestimmt -> allgemeiner Form; Begrenzungsflächen der Pyramide ABCDPl liegt in E

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Gerade g1 durch A und B sowie g2 durch C(2; -9; 6) und den Richtungsvektor gegeben -> S ist gemeinsamer Punkt von g1 und g2; Schnittwinkel; g1 und g2 liegen auf Ebene E -> Parameterform und allgemeiner Form; Viereck ACBF mit Diagonalenschnittpunkt T und vorgegebenem VerhältnisStrecke AT:Strecke TB und Strecke CT:Strecke TF -> Punktes F; g1 schneidet die x-y-Ebene in P1 und g2 schneidet in P2 ->Strecke P1p2 sei Diagonale eines Quadrates P1P3P2P4; Flächeninhalt und Eckpunkte P3 und P4; Pyramide P1P3P2P4S(1; -8; 4) ist keine gerade Pyramide

Teil C1: Numerische Verfahren

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rechnerisch 2`*`e^(1`-` 1 over 3 x)`-`2 over 3~=~0; graphisch x2 + sqrt x= 2; allgemeines Iterationsverfahren ex + x - 3 = 0; Textaufgabe

Teil C2: Kegelschnitte

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Ellipse 9x2 + 25y2 = 225; Konstruktion; Tangenten in 4 vorgegebenen Punkten -> Rhombus; Flächeninhalt; y = m x –> alle Schnittpunkte

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gegeben sind zwei linearen Gleichungssysteme; Lösungsmengen (I) und (II) in Abhängigkeit von r;
r: Systeme (I) und (II) sind äquivalent; endliche Zahlenfolge (an) = (a1; a2; a3; a4)

Teil C4: Stochastik

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Bogenschütze -> Wahrscheinlichkeiten vorgegebener Ereignisse; Erwartungswert; Bernoulli-Kette

Teil C5: Stochastik

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Skatspiel; Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; Unabhängigkeit; Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Buben im Skat -> Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen f und g durch

y = f(x) = -1/3 x3 + 3x

(x Element reeller Zahlen) und

y = g(x) = 5/6 x2

(x Element reeller Zahlen).

  1. Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Verhalten im Unendlichen). Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -3,5 kleiner gleich x kleiner gleich 3,5 und den Graph der Funktion g im Intervall -2,5 kleiner gleich x kleiner gleich 2,5 in ein Koordinatensystem.

    9 BE

  2. Der Punkt S1 (2; 10/3) ist ein Schnittpunkt der Graphen von f und g.
    Berechnen Sie die Koordinaten aller weiteren Schnittpunkte dieser Graphen.
    Ermitteln Sie rechnerisch den Schnittwinkel zwischen den Tangenten an die Graphen der Funktionen f und g im Punkt S1

    5 BE

  3. Durch den Koordinatenursprung und den Punkt Sl ist eine Gerade h eindeutig bestimmt. Sie zerlegt im ersten Quadranten die von den Graphen von f und g begrenzte Fläche in zwei Teilflächen.
    In welchem Verhältnis stehen die Inhalte dieser Teilflächen zueinander?

    6 BE

  4. Die Gerade h, die Senkrechte zur Geraden h im Punkt S1 und die y-Achse begrenzen ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    2 BE

  5. Für jedes xp mit 0 < xp < 3 wird durch den Koordinatenursprung, den Punkt P(xp; f(xp)) und den Punkt Q(xp; 0) ein Dreieck bestimmt.
    Ermitteln Sie den Wert xp, für den der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird, und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

    5 BE

  6. Gegeben sind die Funktionen fa durch

    y = fa(x)= -1/3 x3 - 1/a x (a Element reeller Zahlen, a ungleich 0; x Element reeller Zahlen).

    Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a.

    3 BE

    30BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x (2 - ln x) (x Element von Df).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).

    7 BE

  2. Vervollständigen Sie folgende Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,2 kleiner gleich x kleiner gleich 8.
    x 0,2 1 e 5 e2 8
    f(x)

    Geben Sie das Verhalten der Funktion f für x -> inf an.

    3 BE

  3. Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit y = F(x) = 5/4 x2 - 1/2 x2 * ln x (x Element reeller Zahlen; x > 0) eine Stammfunktion der Funktion f ist.
    Der Graph der Funktion f, die Gerade x = 1 und die x-Achse begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    5 BE

  4. Gegeben sei die Gerade g durch y = g(x) = 2x + 1 (x Element reeller Zahlen).
    Jede Gerade mit der Gleichung x = u (u Element reeller Zahlen, u > 0) schneidet den Graph der Funktion f im Punkt Pu und die Gerade g im Punkt Qu.
    Für welches u ist der Abstand overline {P_u Q_u} am kleinsten?
    Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

    5 BE

  5. Gegeben sind die Funktionen fa durch y = fa(x) = x * (a - ln x) (a Element reeller Zahlen; x Elemtent des Definitionsbereiches in Abhängigkeit von t).
    Ermitteln Sie für fa die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema.
    Zeigen Sie, daß die Extrempunkte von fa auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegen.

    6 BE

  6. Es existiert genau ein a, für das die Funktion fa an der Stelle x = 1 den Anstieg l hat.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph dieser speziellen Funktion fa an der Stelle x = l.

    4 BE

    30BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6; 1; 1), B(2; 5; 1), C(-2; 1; 1)
und M(2; 1; l) gegeben.
  1. Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und M.
    Untersuchen Sie die Gerade g auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenebenen.

    4 BE

  2. Zeigen Sie, daß das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist. Der Punkt D sei Eckpunkt des Quadrates ABCD.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.

    4 BE

  3. Weisen Sie rechnerisch nach, daß der Punkt M Mittelpunkt der Strecke Strecke AC ist.
    K sei die Kugel um M durch den Punkt A.
    Geben Sie eine Gleichung der Kugel K an.

    3 BE

  4. Der auf der Kugel K liegende Punkt P1(2; 1; 5) ist ein Eckpunkt der geraden Pyramide ABCDP1.
    Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1 in ein kartesisches Koordinatensystem.
    Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina der Kugel K und der Pyramide ABCDP1.

    5BE

  5. Durch die Punkte B, C und F(0; 1; 3) wird eine Ebene E bestimmt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form.
    Weisen Sie nach, daß eine der Begrenzungsflächen der Pyramide ABCDPl in der Ebene E liegt.

    4 BE

    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g1 durch die Punkte A(3; 4; -2) und B(2; -2; 1) sowie die Gerade g2 durch den Punkt C(2; -9; 6) und den Richtungsvektor vec a_2~=~(ALIGNR  STACK { 3 # -3 # 6 }) gegeben.
  1. Zeigen Sie, daß der Punkt S(l; -8; 4) gemeinsamer Punkt der Geraden g1 und g2 ist.
    Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden g1 und g2.

    5 BE

  2. Die Geraden g1 und g2 liegen in einer Ebene E.
    Stellen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in allgemeiner Form auf.

    4 BE

  3. In der Ebene B existiert ein Viereck ACBF mit dem Diagonalenschnittpunkt T so, daß das Verhältnis der Strecken Strecke AT:Strecke TB und Strecke CT:Strecke TF jeweils 1 : 2 beträgt.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes F.

    3 BE

  4. Die Gerade g1 schneidet die x-y-Ebene im Punkt P1 und die Gerade g2 schneidet die x-y-Ebene im Punkt P2.
    Die Strecke Strecke P1p2 sei außerdem Diagonale eines in der x-y-Ebene liegenden Quadrates P1P3P2P4.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Quadrates.
    Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P3 und P4.

    6 BE

  5. Zeigen Sie, daß die Pyramide P1P3P2P4S mit der Grundfläche P1P3P2P4 und der Spitze S(1; -8; 4) keine gerade Pyramide ist.

    2 BE

    20BE

Teil C1: Numerische Verfahren

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  1. Ermitteln Sie rechnerisch die Lösungsmenge der Gleichung 2`*`e^(1`-` 1 over 3 x)`-`2 over 3~=~0.
    Ermitteln Sie graphisch die Lösungsmenge der Gleichung x2 + sqrt x= 2.

    3 BE

  2. Lösen Sie die Gleichung ex + x - 3 = 0 mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens auf drei Dezimalstellen genau.

    3 BE

  3. Einer Halbkugel mit dem Radius R = 5 cm soll ein Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h (h > 3 cm) einbeschrieben werden, dessen Volumen halb so groß wie das Volumen der Halbkugel ist (siehe Skizze).
    Skizze
    Skizze nicht maßstäblich
    Ermitteln Sie eine Gleichung zur Bestimmung der Höhe h des Zylinders. Berechnen Sie diese Zylinderhöhe mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf zwei Dezimalstellen genau.

    4 BE

    10 BE

Teil C2: Kegelschnitte

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch die Gleichung 9x2 + 25y2 = 225
gegeben.
  1. Konstruieren Sie mindestens 16 Punkte der Ellipse, und zeichnen Sie diese Ellipse.

    2 BE

  2. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Tangenten an die Ellipse in den Punkten
    P1(4; y1) mit y1 > 0,
    P2(4; y2) mit y2 < 0,
    P3(-4; y3) mit y3 > 0 und
    P4(-4; y4) mit y4 < 0.
    Zeigen Sie, daß die Schnittpunkte dieser Tangenten Eckpunkte von einem Rhombus sind.
    Berechnen Sie von diesem Rhombus den Flächeninhalt.

    6 BE

  3. Durch die Gleichung y = m x (m Element reeller Zahlen) sind Geraden gegeben.
    Berechnen Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ellipse.

    2 BE

    10 BE

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gegeben sind die linearen Gleichungssysteme

2x - 3y + z = 0 x + y + z = r
(I): x + y - z = 3 und (II): 4x - 6y + 2z = 0 (x,y,z,rElement reeller Zahlen)
-3x + 2y + 2z = -7 3x - 2y - 2z = 7
  1. Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Systems (I).

    2 BE

  2. Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Systems (II) in Abhängigkeit von r.
    Für welchen Wert r sind die Systeme (I) und (II) zueinander äquivalent?

    4 BE

  3. Gegeben ist eine endliche Zahlenfolge (an) = (a1; a2; a3; a4).
    Es gelten folgende Aussagen:

    1. Die Summe der ersten drei Glieder beträgt 24.
    2. Die Summe der letzten zwei Glieder beträgt 28.
    3. Das Anfangsglied ist gleich der Differenz a4 - a3.
    4. Das dritte Glied ist dreimal so groß wie das erste Glied.

    Berechnen Sie die vier Glieder der Zahlenfolge.

    4 BE
    10 BE

Teil C4: Stochastik

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Ein Bogenschütze schießt auf ein Ziel. Bei jedem Schuß dieses Bogenschützen sei die Trefferwahrscheinlichkeit 0,6.
  1. Dieser Bogenschütze schießt viermal.
    Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Der Schütze erzielt genau zwei Treffer.
    Ereignis B : Der Schütze erzielt mindestens einen Treffer.
    Wie viele Treffer sind bei diesen vier Versuchen zu erwarten?

    4 BE

  2. Das Schießen auf das Ziel wird von diesem Schützen bis zum ersten Treffer, höchstens aber bis einschließlich zum vierten Schuß fortgesetzt. Die Zufallsgröße Y bezeichne die Anzahl der dabei abgegebenen Schüsse.
    Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße Y.

    3 BE

  3. Bei einer Serie von Schüssen soll die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mindestens einmal zu treffen, größer als 0,99 sein.
    Berechnen Sie die Anzahl der Schüsse, die dieser Schütze dafür mindestens abgeben muß.

    3 BE

    10 BE

Teil C5: Stochastik

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Ein Skatspiel (32 Karten) enthält je 8 Karten der Spielfarben Rot, Eicheln, Grün und Schellen. In jeder der vier Spielfarben gibt es genau eine Karte mit dem Spielsymbol Bube. Ein solches Spiel wird gut gemischt und wie folgt ausgeteilt: 3 Spieler bekommen je 10 Karten, 2 Karten werden gesondert hingelegt und bilden den sogenannten Skat.
  1. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Die erste verteilte Karte gehört zur Spielfarbe Rot.
    Ereignis B: Die erste verteilte Karte gehört zur Spielfarbe Rot oder ist ein Bube.

    3 BE

  2. Ist das Ereignis, daß die erste verteilte Karte ein Bube ist, unabhängig vom Ereignis, daß sie zur Farbe Rot gehört?
    Begründen Sie Ihre Antwort.

    2 BE

  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die im Skat liegenden Karten von verschiedener Spielfarbe?

    2 BE

  4. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Buben im Skat.
    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an.
    Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X.

    3 BE

    10 BE


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