Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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f(x) = ln (2x - 1); größtmöglicher Definitionsbereich; Wertetabelle; Nullstelle und Skizze; Tangente t in P (1; f (1)); M (0; 3) ist Mittelpunkt des Kreises k mit r = ; Gleichung; Nachweis t berührt k -> Berührungspunkt; Stammfunktion F(x) = 1/2 (2x-1) * ln (2x-1) - x; Flächeninhalt; g_a (x) = ax²; a: g_a durch Q (0,5; 0,5); x = 1,5 -> Anstieg 2; a = 1/3 -> Schnittpunkte mit t; x = u minimaler Abstand

Teil A2: Analysis

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f(x) = ${x^2`+`9} over 2x$ ; größtmöglicher Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, lokale Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Skizze); Tangenten parallel zur Winkelhalbierenden des II. und des IV. Quadranten; der Umfang eines Rechtecks OSPR soll minimal werden; h₁ (x) = x/2 + 3; x = 1 -> Fläche A₁; h₂ (x) = x/2 -> Fläche A₂ = 2,25 FE; y = k -> Schnittpunkte mit f in Abhängigkeit von k

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und Gerade g sind gegeben -> C liegt auf g; Schnittpunkt D von g mit y-z-Ebene; BAC und Flächeninhalt ABC; Umkreismittelpunkt M; Geradengleichungen von Mittelsenkrechten; Umkreises k; Pyramide -> Volumen; einbeschrieber Kreiskegel -> Verhältnis Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen; S sei ein beliebiger Punkt als Spitze eines Kreiskegels und als Spitze der in den Kreiskegel einbeschriebenen Pyramide –> zu zeigen ist, daß das Verhältnis des Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen von den Koordinaten des Punktes S unabhängig ist

Teil B2: Geometrie und Algebra

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A, B, C und D sind gegeben -> ABC ist gleichschenklig; Länge der Basis und Größe des Basiswinkels; ?; Ebene E_ABC -> allgemeiner Form; D in E; F(x_F; 4; z_F) so daß ABFC Parallelogramm ist; Viereck ABCD ist ebenfalls ein Parallelogramm -> Diagonale schneidet x-y-Ebene in S; Gerade g_OS; Kreis k mit Mittelpunkt S und Radius r = -> alle Tangenten an k, die parallel zur Geraden g verlaufen

Teil C1: Numerische Verfahren

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Gleichung: 2^x - x = 3 graphisch; rechnerisch mit allgemeinen Iterationsverfahrens; f(x) = 8x³ - 55,5x + 13,75; Begründung, daß im Intervall 0 x 1 genau eine Nullstelle liegt und Nullstelle im Intervall 3 x 2 mit Hilfe des Newton-Verfahrens

Teil C2: Kegelschnitte

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Ellipse: x₂ +4y² = 100 und P₁, P₂ als Punkte dieser Ellipse gegeben -> Konstruktion; Tangente t in P₁ schneidet die Ordinatenachse im Punkt A; Normale n in P₁ schneidet die Abszissenachse im Punkt B -> Flächeninhalt ABP₁; Koordinaten aller Ellipsenpunkte C_i für die das Dreieck P₁P₂C_i einen Flächeninhalt von 42 FE besitzt

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gleichungssystems I:
x + y + z = 3,5
x + 2y + 3z = 11,5
2x - 3y 2z = -3

Gleichungssystem II:
x + y + z = 3
2x - y + 3z = 19
x + 2y +

z = -10

f(x) = ax³ + bx² + cx + d: f(1) = 2 und f(2) = 6 und f'(1) = -12 und f"(1) = 2

Teil C4: Stochastik

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Urne - 2 gelbe, 3 blaue und 5 weiße Kugeln - mit einem Griff werden 3 Kugeln entnommen -> Ergebnismenge; Wahrscheinlichkeiten vorgegebener Ereignisse; nacheinander mit Zurücklegen Ziehen; Urne - 8 weiße und 2 blaue Kugeln - viermal mit Zurücklegen gezogen - Zufallsgröße X -> P (X = 0), P (X = 1), P (X = 3) und Erwartungswert: Urne - 1 gelbe, 2 blaue und 1 weiße Kugel Ergebnismenge: s = { g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg} -> Beschreiben Sie das Zufallsexperiment, das zu dieser Ergebnismenge führt

Teil C5: Stochastik

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Zwei Geldbörsen - einfache Ereignisse; Bernoulli-Kette; P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), P (X = 4) und Erwartungswert einer Zufallsgröße X

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = ln (2x - 1) (x D_f).

Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an und vervollständigen Sie folgende Wertetabelle.

x	0,6		2,0		5,0
f(x)		0,5		1,5

Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f.
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,6 x 5,0.

5 BE

Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph der Funktion f im Punkt P (1; f (1)).
3 BE
Der Punkt M (0; 3) ist der Mittelpunkt des Kreises k mit dem Radius r = .
Zeichnen Sie den Kreis k in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein und stellen Sie die Gleichung des Kreises k auf.
Weisen Sie rechnerisch nach, daß die Tangente t auch den Kreis k berührt.
Geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an.
6 BE
Gegeben sei die Funktion F durch F(x) = 1/2 (2x-1) * ln (2x-1) - x (x ; x > 0,5)
Zeigen Sie, daß die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion f, der x-Achse und der Geraden x = 5 eingeschlossen wird.
4 BE

Gegeben sind weiterhin die Parabeln g_a durch y = g_a (x) = ax² (x ; a ).
Für welches a verläuft eine der Parabeln g_a durch den Punkt Q (0,5; 0,5)?

1 BE
Welche Parabel g_a hat für x = 1,5 den Anstieg 2?

2 BE

Bei den folgenden Aufgabenteilen wird die Parabel g_a mit a = 1/3 betrachtet.
Zeichnen Sie diese Parabel in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a ein.
Die Tangente t und diese Parabel schneiden einander. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte.

4 BE
Jede Gerade x = u (0,5 < u < 5,0) schneidet diese Parabel in je einem Punkt R_u und den Graphen der Funktion f in je einem Punkt S_u.
Es existiert ein u, für welches der Abstand der Punkte R_u und S_u minimal ist.
Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

5 BE
30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y= f(x) = ${x^2`+`9} over 2x$ (x D_f)

Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, lokale Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen).
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -5 x 5.
10 BE
Am Graph der Funktion f existieren Tangenten, welche parallel zur Winkelhalbierenden des II. und des IV. Quadranten verlaufen.
Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung einer solchen Tangente.
5 BE
Der Punkt O sei der Koordinatenursprung; der Punkt P (x; f (x)) mit x > 0 liegt auf dem Graphen der Funktion f.
Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt R.
Die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P schneidet die x-Achse im Punkt S.
Bestimmen Sie x so, daß der Umfang des Rechtecks OSPR minimal wird.
Berechnen Sie diesen Umfang.
5 BE
Gegeben ist die Gerade h₁ durch y = h₁ (x) = x/2 + 3 (x ).
Die Gerade h₁ der Graph der Funktion f und die Gerade x = 1 begrenzen eine Fläche A₁vollständig.
Berechnen Sie den Flächeninhalt von A₁.
Durch h₂ mit y = h₂ (x) = x/2 ist eine weitere Gerade gegeben.
Der Graph der Funktion f und die Gerade h₂ begrenzen im Intervall 1 x a (a > 1) eine Fläche A₂.
Für welches a gilt: A₂ = 2,25 Flächeneinheiten?
7 BE
Für jedes k (k ) ist durch die Gleichung y = k eine Gerade bestimmt.
Untersuchen Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graph von f in Abhängigkeit von k.
3 BE
30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (7; -5; 0) und B (2; 0; 0) gegeben, außerdem die Gerade g mit der folgenden Gleichung : (t ).

Zeigen Sie, daß der Punkt C (2; -6; 0) auf der Geraden g liegt.
Ermitteln Sie den Schnittpunkt D der Geraden g mit der y-z-Ebene.
3 BE
Begründen Sie (ohne Rechnung), daß das Dreieck ABC in der x-y-Ebene liegt.
Berechnen Sie den Innenwinkel BAC des Dreiecks ABC sowie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
5 BE
Die Mittelsenkrechten der Strecken und schneiden sich im Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC.
Stellen Sie Geradengleichungen dieser Mittelsenkrechten auf und bestimmen Sie die Koordinaten von M.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie nachweisen, daß der Punkt M auch auf der Mittelsenkrechten von liegt.
7 BE
Ermitteln Sie eine Gleichung des Umkreises k des Dreiecks ABC.
1 BE
Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt D ist.
Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide.
Diese Pyramide ist in den Kreiskegel einbeschrieben, dessen Grundfläche der Kreis k und dessen Spitze ebenfalls der Punkt D ist.
Bestimmen Sie das Volumen des Kreiskegels und ermitteln Sie das Verhältnis dieses Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen.
2 BE
Es sei S ein beliebiger Punkt im Koordinatensystem, welcher nicht in der x-y-Ebene liegt.
Der Punkt S ist die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundfläche der Kreis k ist. Außerdem ist der Punkt S auch die Spitze der in den Kreiskegel einbeschriebenen Pyramide, deren Grundfläche das Dreieck ABC ist.
Zeigen Sie, daß das Verhältnis des Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen von den Koordinaten des Punktes S unabhängig ist.
2 BE
20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (2; 2; -2), B (4; -4; 2), C (8; 2; 2), und D (6; 8; -2) gegeben.

Zeigen Sie, daß das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Berechnen Sie die Länge seiner Basis und die Größe eines Basiswinkels.
4 BE
Untersuchen Sie, ob die Vektoren und zueinander orthogonal sind.
3 BE
Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form an und untersuchen Sie, ob der Punkt D in dieser Ebene liegt.
3 BE
Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes F (x_F; 4; z_F) (x_F, z_F ) so daß das Viereck ABFC ein Parallelogramm ist.
2 BE
Das Viereck ABCD ist ebenfalls ein Parallelogramm.
Die Diagonale des Parallelogramms ABCD schneidet die x-y-Ebene im Punkt S.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S.
Zeigen Sie, daß S der Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms ABCD ist.
5 BE
Die Gerade g geht durch den Koordinatenursprung und den Punkt S.
In der x-y-Ebene liegt ein Kreis k mit dem Mittelpunkt S und dem Radius r =.
Ermitteln Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g verlaufen.
3 BE
20 BE

Teil C1: Numerische Verfahren

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Lösen Sie die Gleichung 2^x - x = 3 (x ) graphisch.
Bestimmen Sie rechnerisch mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens die positive Lösung der Gleichung auf drei Dezimalstellen genau, indem Sie die Gleichung nach dem Exponaten auflösen.
Vergleichen Sie die graphisch und die rechnerisch ermittelte Lösung miteinander.
5 BE
Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 8x³ - 55,5x + 13,75 (x ).
Die Funktion f besitzt in den Intervallen -3 x –2 und 2 x 3 jeweils genau eine Nullstelle.
Begründen Sie ohne graphische Darstellung und Berechnung der Nullstelle, daß im Intervall 0 x 1 genau eine Nullstelle liegt.
Berechnen Sie die Nullstelle im Intervall 3 x 2 mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf 2 Dezimalstellen genau.

Teil C2: Kegelschnitte

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch die Gleichung x₂ +4y² = 100 gegeben. P₁ (6; 4) und P₂ (x₂ < 0; 4) seien Punkte dieser Ellipse.

Konstruieren Sie zusätzlich zu den Scheitelpunkten mindestens 12 Punkte dieser Ellipse und zeichnen Sie die Ellipse.
3 BE
Die Tangente t an die Ellipse im Punkt P₁ schneidet die Ordinatenachse im Punkt A.
Die Normale n im Punkt P₁ schneidet die Abszissenachse im Punkt B.
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A und B sowie den Flächeninhalt des Dreiecks ABP₁.
4 BE
Bestimmen Sie die Koordinaten aller Ellipsenpunkte C_i für die das Dreieck P₁P₂C_i einen Flächeninhalt von 42 FE besitzt.
3 BE
10 BE

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems I:
x + y + z = 3,5
x + 2y + 3z = 11,5
2x - 3y 2z = -3
3 BE
Gegeben sei das Gleichungssystem II:
x + y + z = 3
2x - y + 3z = 19
x + 2y + z = -10
Es sei (x; y; 4) eine Lösung des Systems II.
Es gibt genau ein , für daß das System II dann eindeutig lösbar ist.
Ermitteln Sie und gehen Sie die zugehörige Lösungsmenge des Gleichungssystems an.
2 BE
Die Funktionen f mit f(x) = ax³ + bx² + cx + d; a, b, c, d und a 0 sind ganzrationale Funktionen 3 Grades.
Für eine dieser Funktionen gilt:
f(1) = 2 und
f(2) = 6 und
f'(1) = -12 und
f"(1) = 2.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser speziellen Funktion.
5 BE
10 BE

Teil C4: Stochastik

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Eine Urne enthalte 2 gelbe (g), 3 blaue (b) und 5 weiße (w) Kugeln.

Aus dieser Urne werden mit einem Griff 3 Kugeln entnommen.
Geben Sie für dieses Zufallsexperiment eine vollständige Ergebnismenge an.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignissen
Ereignis A: Alle 3 Kugeln sind blau.
Ereignis B: Die gezogenen Kugeln haben drei verschiedene Farben.
Ereignis C: Mindestens zwei gezogene Kugeln sind weiß.
4 BE
Welche Wahrscheinlichkeiten haben die Ereignisse A und B, wenn der Ziehungsvorgang so verändert wird, daß man jetzt nacheinander mit Zurücklegen zieht?
2 BE
In der Urne seien nun 8 weiße und 2 blaue Kugeln. Es werde viermal mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der dabei gezogenen weißen Kugeln.
Beschreiben Sie die Verteilung der Zufallsgröße X.
Berechnen Sie P (X = 0), P (X = 1), P (X = 3) und den Erwartungswert für diese Zufallsgröße.
3 BE
Die Urne enthalte schließlich 1 gelbe, 2 blaue und 1 weiße Kugel. Ein Zufallsexperiment liefere folgende Ergebnismenge: s = { g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg}.
Beschreiben Sie das Zufallsexperiment, das zu dieser Ergebnismenge führt.
1 BE
10 BE

Teil C5: Stochastik

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Von zwei äußerlich nicht unterscheidbaren Geldbörsen enthalte die erste vier Zweimarkstücke und zwei Einmarkstücke, die zweite drei Zweimarkstücke und drei Einmarkstücke. Weitere Münzen oder Geldscheine befinden sich nicht in diesen Geldbörsen. Beim zufälligen Ziehen einer Münze aus einer Geldbörse seien Ein- und Zweimarkstücke nicht unterscheidbar.

Einer der beiden Geldbörsen wird eine Münze entnommen, wobei die Auswahl der Geldbörse und die Auswahl der Münze zufällig sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entnommene Münze ein Zweimarkstück?
3 BE
Beiden Geldbörsen wird je eine Münze zufällig entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nach dieser Entnahme die Geldbeträge in beiden Geldbörsen gleich?
2 BE
Der ersten Geldbörse wird eine Münze zufällig entnommen. Wenn sie kein Zweimarkstück ist, wird sie in die Börse zurückgelegt; der Zufallsversuch wird wiederholt. Nach dem erstmaligen Erscheinen eines Zweimarkstückes erfolgen keine weiteren Versuche.
Wie oft muß man den Zufallsversuch durchführen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % ein Zweimarkstück zu erhalten?
2 BE
Der zweiten Geldbörse wird viermal nacheinander ohne Zurücklegen je eine Münze entnommen. Die Zufallsgröße X beschreibe, beim wievielten Zugriff erstmals ein Zweimarkstück erhalten wird.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), P (X = 4) und den Erwartungswert von X.
3 BE
10 BE

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