Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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f(x) = ln (2x - 1); größtmöglicher Definitionsbereich; Wertetabelle; Nullstelle und Skizze; Tangente t in P (1; f (1)); M (0; 3) ist Mittelpunkt des Kreises k mit r = sqrt 5; Gleichung; Nachweis t berührt k -> Berührungspunkt; Stammfunktion F(x) = 1/2 (2x-1) * ln (2x-1) - x; Flächeninhalt; ga (x) = ax2; a: ga durch Q (0,5; 0,5); x = 1,5 -> Anstieg 2; a = 1/3 -> Schnittpunkte mit t; x = u minimaler Abstand

Teil A2: Analysis

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f(x) = {x^2`+`9} over 2x; größtmöglicher Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, lokale Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Skizze); Tangenten parallel zur Winkelhalbierenden des II. und des IV. Quadranten; der Umfang eines Rechtecks OSPR soll minimal werden; h1 (x) = x/2 + 3; x = 1 -> Fläche A1; h2 (x) = x/2 -> Fläche A2 = 2,25 FE; y = k -> Schnittpunkte mit f in Abhängigkeit von k

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und Gerade g sind gegeben -> C liegt auf g; Schnittpunkt D von g mit y-z-Ebene; Winkel BAC und Flächeninhalt Dreieck ABC; Umkreismittelpunkt M; Geradengleichungen von Mittelsenkrechten; Umkreises k; Pyramide -> Volumen; einbeschrieber Kreiskegel -> Verhältnis Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen; S sei ein beliebiger Punkt als Spitze eines Kreiskegels und als Spitze der in den Kreiskegel einbeschriebenen Pyramide –> zu zeigen ist, daß das Verhältnis des Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen von den Koordinaten des Punktes S unabhängig ist

Teil B2: Geometrie und Algebra

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A, B, C und D sind gegeben -> Dreieck ABC ist gleichschenklig; Länge der Basis und Größe des Basiswinkels;vec ABorthogonal ?vec BD; Ebene EABC -> allgemeiner Form; D in E; F(xF; 4; zF) so daß ABFC Parallelogramm ist; Viereck ABCD ist ebenfalls ein Parallelogramm -> Diagonale Strecke AC schneidet x-y-Ebene in S; Gerade gOS; Kreis k mit Mittelpunkt S und Radius r =sqrt 29 -> alle Tangenten an k, die parallel zur Geraden g verlaufen

Teil C1: Numerische Verfahren

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Gleichung: 2x - x = 3 graphisch; rechnerisch mit allgemeinen Iterationsverfahrens; f(x) = 8x3 - 55,5x + 13,75; Begründung, daß im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich 1 genau eine Nullstelle liegt und Nullstelle im Intervall 3 kleiner gleich x kleiner gleich 2 mit Hilfe des Newton-Verfahrens

Teil C2: Kegelschnitte

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Ellipse: x2 +4y2 = 100 und P1, P2 als Punkte dieser Ellipse gegeben -> Konstruktion; Tangente t in P1 schneidet die Ordinatenachse im Punkt A; Normale n in P1 schneidet die Abszissenachse im Punkt B -> Flächeninhalt Dreieck ABP1; Koordinaten aller Ellipsenpunkte Ci für die das Dreieck Dreieck P1P2Ci einen Flächeninhalt von 42 FE besitzt

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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Gleichungssystems I:
x + y + z = 3,5
x + 2y + 3z = 11,5
2x - 3y 2z = -3

Gleichungssystem II:
x + y + z = 3
2x - y + 3z = 19
x + 2y + alphaz = -10
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d: f(1) = 2 und f(2) = 6 und f'(1) = -12 und f"(1) = 2

Teil C4: Stochastik

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Urne - 2 gelbe, 3 blaue und 5 weiße Kugeln - mit einem Griff werden 3 Kugeln entnommen -> Ergebnismenge; Wahrscheinlichkeiten vorgegebener Ereignisse; nacheinander mit Zurücklegen Ziehen; Urne - 8 weiße und 2 blaue Kugeln - viermal mit Zurücklegen gezogen - Zufallsgröße X -> P (X = 0), P (X = 1), P (X = 3) und Erwartungswert: Urne - 1 gelbe, 2 blaue und 1 weiße Kugel Ergebnismenge: s = { g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg} -> Beschreiben Sie das Zufallsexperiment, das zu dieser Ergebnismenge führt

Teil C5: Stochastik

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Zwei Geldbörsen - einfache Ereignisse; Bernoulli-Kette; P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), P (X = 4) und Erwartungswert einer Zufallsgröße X

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = ln (2x - 1) (x Element von Df).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an und vervollständigen Sie folgende Wertetabelle.
    x 0,6 2,0 5,0
    f(x) 0,5 1,5

    Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f.
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,6 kleiner gleich x kleiner gleich 5,0.

    5 BE

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graph der Funktion f im Punkt P (1; f (1)).

    3 BE

  3. Der Punkt M (0; 3) ist der Mittelpunkt des Kreises k mit dem Radius r = sqrt 5.
    Zeichnen Sie den Kreis k in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a) ein und stellen Sie die Gleichung des Kreises k auf.
    Weisen Sie rechnerisch nach, daß die Tangente t auch den Kreis k berührt.
    Geben Sie die Koordinaten des Berührungspunktes an.

    6 BE

  4. Gegeben sei die Funktion F durch F(x) = 1/2 (2x-1) * ln (2x-1) - x (x Element reeller Zahlen; x > 0,5)
    Zeigen Sie, daß die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist.
    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graph der Funktion f, der x-Achse und der Geraden x = 5 eingeschlossen wird.

    4 BE

    Gegeben sind weiterhin die Parabeln ga durch y = ga (x) = ax2 (x Element reeller Zahlen; a Element reeller Zahlen).

  5. Für welches a verläuft eine der Parabeln ga durch den Punkt Q (0,5; 0,5)?

    1 BE

  6. Welche Parabel ga hat für x = 1,5 den Anstieg 2?

    2 BE

    Bei den folgenden Aufgabenteilen wird die Parabel ga mit a = 1/3 betrachtet.

  7. Zeichnen Sie diese Parabel in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a ein.
    Die Tangente t und diese Parabel schneiden einander. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte.

    4 BE

  8. Jede Gerade x = u (0,5 < u < 5,0) schneidet diese Parabel in je einem Punkt Ru und den Graphen der Funktion f in je einem Punkt Su.
    Es existiert ein u, für welches der Abstand der Punkte Ru und Su minimal ist.
    Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

    5 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y= f(x) = {x^2`+`9} over 2x(x Element von Df)
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, lokale Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen).
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -5 kleiner gleich x kleiner gleich 5.

    10 BE

  2. Am Graph der Funktion f existieren Tangenten, welche parallel zur Winkelhalbierenden des II. und des IV. Quadranten verlaufen.
    Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung einer solchen Tangente.

    5 BE

  3. Der Punkt O sei der Koordinatenursprung; der Punkt P (x; f (x)) mit x > 0 liegt auf dem Graphen der Funktion f.
    Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt R.
    Die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P schneidet die x-Achse im Punkt S.
    Bestimmen Sie x so, daß der Umfang des Rechtecks OSPR minimal wird.
    Berechnen Sie diesen Umfang.

    5 BE

  4. Gegeben ist die Gerade h1 durch y = h1 (x) = x/2 + 3 (x Element reeller Zahlen).
    Die Gerade h1 der Graph der Funktion f und die Gerade x = 1 begrenzen eine Fläche A1 vollständig.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt von A1.
    Durch h2 mit y = h2 (x) = x/2 ist eine weitere Gerade gegeben.
    Der Graph der Funktion f und die Gerade h2 begrenzen im Intervall 1 kleiner gleich x kleiner gleich a (a > 1) eine Fläche A2.
    Für welches a gilt: A2 = 2,25 Flächeneinheiten?

    7 BE

  5. Für jedes k (k Element reeller Zahlen) ist durch die Gleichung y = k eine Gerade bestimmt.
    Untersuchen Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graph von f in Abhängigkeit von k.

    3 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (7; -5; 0) und B (2; 0; 0) gegeben, außerdem die Gerade g mit der folgenden Gleichung : vec x ~=~  (ALIGNR STACK { -2 # 22 # 10 }) `+`  t`(ALIGNR STACK {-2 # 14 # 5 }) (t Element reeller Zahlen).
  1. Zeigen Sie, daß der Punkt C (2; -6; 0) auf der Geraden g liegt.
    Ermitteln Sie den Schnittpunkt D der Geraden g mit der y-z-Ebene.

    3 BE

  2. Begründen Sie (ohne Rechnung), daß das Dreieck Dreieck ABC in der x-y-Ebene liegt.
    Berechnen Sie den Innenwinkel Winkel BAC des Dreiecks Dreieck ABC sowie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    5 BE

  3. Die Mittelsenkrechten der Strecken Strecke AB und Strecke BC schneiden sich im Umkreismittelpunkt M des Dreiecks Dreieck ABC.
    Stellen Sie Geradengleichungen dieser Mittelsenkrechten auf und bestimmen Sie die Koordinaten von M.
    Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie nachweisen, daß der Punkt M auch auf der Mittelsenkrechten von Strecke AC liegt.

    7 BE

  4. Ermitteln Sie eine Gleichung des Umkreises k des Dreiecks Dreieck ABC.

    1 BE

  5. Das Dreieck Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Punkt D ist.
    Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide.
    Diese Pyramide ist in den Kreiskegel einbeschrieben, dessen Grundfläche der Kreis k und dessen Spitze ebenfalls der Punkt D ist.
    Bestimmen Sie das Volumen des Kreiskegels und ermitteln Sie das Verhältnis dieses Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen.

    2 BE

  6. Es sei S ein beliebiger Punkt im Koordinatensystem, welcher nicht in der x-y-Ebene liegt.
    Der Punkt S ist die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundfläche der Kreis k ist. Außerdem ist der Punkt S auch die Spitze der in den Kreiskegel einbeschriebenen Pyramide, deren Grundfläche das Dreieck Dreieck ABC ist.
    Zeigen Sie, daß das Verhältnis des Kreiskegelvolumens zum Pyramidenvolumen von den Koordinaten des Punktes S unabhängig ist.

    2 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (2; 2; -2), B (4; -4; 2), C (8; 2; 2), und D (6; 8; -2) gegeben.
  1. Zeigen Sie, daß das Dreieck Dreieck ABC gleichschenklig ist. Berechnen Sie die Länge seiner Basis und die Größe eines Basiswinkels.

    4 BE

  2. Untersuchen Sie, ob die Vektoren vec AB und vec BD zueinander orthogonal sind.

    3 BE

  3. Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E.
    Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form an und untersuchen Sie, ob der Punkt D in dieser Ebene liegt.

    3 BE

  4. Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes F (xF; 4; zF) (xF, zF Element reeller Zahlen) so daß das Viereck ABFC ein Parallelogramm ist.

    2 BE

  5. Das Viereck ABCD ist ebenfalls ein Parallelogramm.
    Die Diagonale Strecke AC des Parallelogramms ABCD schneidet die x-y-Ebene im Punkt S.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S.
    Zeigen Sie, daß S der Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms ABCD ist.

    5 BE

  6. Die Gerade g geht durch den Koordinatenursprung und den Punkt S.
    In der x-y-Ebene liegt ein Kreis k mit dem Mittelpunkt S und dem Radius r =sqrt 29.
    Ermitteln Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g verlaufen.

    3 BE
    20 BE

Teil C1: Numerische Verfahren

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  1. Lösen Sie die Gleichung 2x - x = 3 (x Element reeller Zahlen) graphisch.
    Bestimmen Sie rechnerisch mit Hilfe des allgemeinen Iterationsverfahrens die positive Lösung der Gleichung auf drei Dezimalstellen genau, indem Sie die Gleichung nach dem Exponaten auflösen.
    Vergleichen Sie die graphisch und die rechnerisch ermittelte Lösung miteinander.

    5 BE

  2. Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 8x3 - 55,5x + 13,75 (x Element reeller Zahlen).
    Die Funktion f besitzt in den Intervallen -3 kleiner gleich x kleiner gleich –2 und 2 kleiner gleich x kleiner gleich 3 jeweils genau eine Nullstelle.
    Begründen Sie ohne graphische Darstellung und Berechnung der Nullstelle, daß im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich 1 genau eine Nullstelle liegt.
    Berechnen Sie die Nullstelle im Intervall 3 kleiner gleich x kleiner gleich 2 mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf 2 Dezimalstellen genau.

Teil C2: Kegelschnitte

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Ellipse durch die Gleichung x2 +4y2 = 100 gegeben. P1 (6; 4) und P2 (x2 < 0; 4) seien Punkte dieser Ellipse.
  1. Konstruieren Sie zusätzlich zu den Scheitelpunkten mindestens 12 Punkte dieser Ellipse und zeichnen Sie die Ellipse.

    3 BE

  2. Die Tangente t an die Ellipse im Punkt P1 schneidet die Ordinatenachse im Punkt A.
    Die Normale n im Punkt P1 schneidet die Abszissenachse im Punkt B.
    Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A und B sowie den Flächeninhalt des Dreiecks Dreieck ABP1.

    4 BE

  3. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Ellipsenpunkte Ci für die das Dreieck Dreieck P1P2Ci einen Flächeninhalt von 42 FE besitzt.

    3 BE
    10 BE

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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  1. Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems I:
    x + y + z = 3,5
    x + 2y + 3z = 11,5
    2x - 3y 2z = -3

    3 BE

  2. Gegeben sei das Gleichungssystem II:
    x + y + z = 3
    2x - y + 3z = 19
    x + 2y + alphaz = -10
    Es sei (x; y; 4) eine Lösung des Systems II.
    Es gibt genau ein alphaElement reeller Zahlen, für daß das System II dann eindeutig lösbar ist.
    Ermitteln Sie alpha und gehen Sie die zugehörige Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

    2 BE

  3. Die Funktionen f mit f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; a, b, c, d Element reeller Zahlen und a ungleich 0 sind ganzrationale Funktionen 3 Grades.
    Für eine dieser Funktionen gilt:
    f(1) = 2 und
    f(2) = 6 und
    f'(1) = -12 und
    f"(1) = 2.
    Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser speziellen Funktion.

    5 BE
    10 BE

Teil C4: Stochastik

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Eine Urne enthalte 2 gelbe (g), 3 blaue (b) und 5 weiße (w) Kugeln.
  1. Aus dieser Urne werden mit einem Griff 3 Kugeln entnommen.
    Geben Sie für dieses Zufallsexperiment eine vollständige Ergebnismenge an.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignissen
    Ereignis A: Alle 3 Kugeln sind blau.
    Ereignis B: Die gezogenen Kugeln haben drei verschiedene Farben.
    Ereignis C: Mindestens zwei gezogene Kugeln sind weiß.

    4 BE

  2. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die Ereignisse A und B, wenn der Ziehungsvorgang so verändert wird, daß man jetzt nacheinander mit Zurücklegen zieht?

    2 BE

  3. In der Urne seien nun 8 weiße und 2 blaue Kugeln. Es werde viermal mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der dabei gezogenen weißen Kugeln.
    Beschreiben Sie die Verteilung der Zufallsgröße X.
    Berechnen Sie P (X = 0), P (X = 1), P (X = 3) und den Erwartungswert für diese Zufallsgröße.

    3 BE

  4. Die Urne enthalte schließlich 1 gelbe, 2 blaue und 1 weiße Kugel. Ein Zufallsexperiment liefere folgende Ergebnismenge: s = { g; bg; wg; bbg; bwg; wbg; bbwg; bwbg; wbbg}.
    Beschreiben Sie das Zufallsexperiment, das zu dieser Ergebnismenge führt.

    1 BE
    10 BE

Teil C5: Stochastik

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Von zwei äußerlich nicht unterscheidbaren Geldbörsen enthalte die erste vier Zweimarkstücke und zwei Einmarkstücke, die zweite drei Zweimarkstücke und drei Einmarkstücke. Weitere Münzen oder Geldscheine befinden sich nicht in diesen Geldbörsen. Beim zufälligen Ziehen einer Münze aus einer Geldbörse seien Ein- und Zweimarkstücke nicht unterscheidbar.
  1. Einer der beiden Geldbörsen wird eine Münze entnommen, wobei die Auswahl der Geldbörse und die Auswahl der Münze zufällig sind.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entnommene Münze ein Zweimarkstück?

    3 BE

  2. Beiden Geldbörsen wird je eine Münze zufällig entnommen.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nach dieser Entnahme die Geldbeträge in beiden Geldbörsen gleich?

    2 BE

  3. Der ersten Geldbörse wird eine Münze zufällig entnommen. Wenn sie kein Zweimarkstück ist, wird sie in die Börse zurückgelegt; der Zufallsversuch wird wiederholt. Nach dem erstmaligen Erscheinen eines Zweimarkstückes erfolgen keine weiteren Versuche.
    Wie oft muß man den Zufallsversuch durchführen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % ein Zweimarkstück zu erhalten?

    2 BE

  4. Der zweiten Geldbörse wird viermal nacheinander ohne Zurücklegen je eine Münze entnommen. Die Zufallsgröße X beschreibe, beim wievielten Zugriff erstmals ein Zweimarkstück erhalten wird.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X = 1), P (X = 2), P (X = 3), P (X = 4) und den Erwartungswert von X.

    3 BE
    10 BE

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