Teil A: Analysis

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Erläuterugen BE
a

größtmöglicher Definitionsbereich: Dfa = { x | x Î R, x ¹ -2, x ¹ – a }

Nullstellen für a ¹ 4

Polstellen für a ¹ 4

Nullstellen für a = 4

Polstellen für a = 4

Ausschluss von x = -4 als Polstelle im Fall a = 4

Nullstellen Polstellen
1. Fall: a=4 xN = 1 xP = -2
2. Fall: a ¹ 4 xN1 = 1; xN2 = -4 xP1 = -2; xP2 = -a
6
b x`-`4`+`9 over {(x`+`2)}`=`{(x`-`4) cdot (x`+`2)} over {x`+`2}`+`9 over {(x`+`2)}`=`f_4 (x)

Nachweis

Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f4: z.B. F(x) = ½ x2 – 4x + 9 ln |x + 2|

F* (-1) = ½ + 4 + 9 ln (1) + C = 9

Gleichung der Funktion F*: F* (x) = ½ x2 – 4x + 9 ln |x + 2| + 4,5

Ansatz für Flächeninhalt

Flächeninhalt A: A » 0,60

exakter Wert: 9 ln(5/3) - 4
5
c

Polstellen: xP1 = -3 und xP2 = -2

Aussage zur Stetigkeit

Aussage zu Grenzwerten

oder: Anhand einer passenden Wertetabelle Einstellungen für Tabelle Tabelle bemerkt man, dass sich das Monotonieverhalten der Funktion ändert. Im genannten Bereich ist die Funktion stetig, also muss es mindestens einen Tiefpunkt geben.
3
d

Ansatz für Nachweis der Asymptote

eine Variante, die ohne Polynomdivision auskommt
f_3 (x)`=`{(x`-`1)^2(x`+`4)} over {(x`+`3)(x`+`2)}`=`{x^3`+`2x^2`-`7x`+`4} over {x^2`+`5x`+`6}
(x^2`+`5x`+`6) cdot (x`-`3) `=` x^3  `+` 2x^2  `-` 9x `-` 18
f_3 (x)`={x^3`+`2x^2`-`7x`+`4} over {x^2`+`5x`+`6} `=`x`-`3 `+`{2x`+`22} over {x^2`+`5x`+`6}

Nachweis der Asymptote

lim csub{x rightarrow +- infinity} f_3 (x) `-` (x`-`3)`= lim csub{x rightarrow +- infinity} {{2x`+`22} over {x^2`+`5x`+`6}} `=`0

Grundseite des Dreiecks

b = f(u) - u + 3

Höhe des Dreiecks

h = u

Flächeninhaft in Abhängigkeit von u: A(u) = (u2 + 11u)/(u2 +5u + 6)

weiter mit GTR: solve(nDerive((X2 + 11X)/(X2 +5X + 6),X,X),X,5) -> 4,4641 (exakter Wert: 2 sqrt(3) + 1)

Wert u: u » 4,46

6
e

Absolutglied in der Gleichung der Funktion p

~~~~~p(x) `=`ax^3`+`bx^2`+`cx`+`d newline I:~~~p(-1)`=`f_3 (-1) newline II:~~p(0)`=`f_3 (0) newline III:~p(1)`=`f_3 (1) newline IV:~p'`(-1)`=`-13

eine Gleichung des Gleichungssystems

aus II folgt d = 2/3
I:~~~-a`+`b`-`c`=` 6`-`2 over 3 newline III:~a`+`b`+`c `=`-`2 over 3 newline IV:~3a`-`2b`+`c`=`-13

vollständiges Gleichungssystem

weiter mit GTR-Programm: LinearGS
Lösung mit GTR
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Gleichung der Funktion p: y = p(x) = - 8/3 x3 + 7/3 x2 – 1/3 x + 2/3

Lösung mit GTR
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Flächeninhalt A: A » 0,61

5
25

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