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Teil A: Analysis

Lösungen

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Erläuterugen BE
a

größtmöglicher Definitionsbereich; {x | x Î R, x ¹ -1}

Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse: Sy (0; 1)

Koordinaten des Schnittpunktes mit der x-Achse; Sx (1; 0)

Koordinaten und Art des ersten lokalen Extrempunktes: PMIN (1; 0)

Koordinaten und Art des zweiten lokalen Extrempunktes: PMAX (-3; -8)

Hinweis: für Obenstehendes ist keinerlei Rechnung notwendig ("geben Sie an ..."). Die Funktion f(x) sei GTR-Funktion Y1. Die Koordinaten der Extrema könnten dann durch solve(nDerive(Y1,X,X),X,1) -> 1,0000; Y1(1) -> 0 und deren Art durchnDerive(Derive(Y1,X,X),X,1) -> 1 > 0 bzw. solve(nDerive(Y1,X,X),X,-2) -> -3,0000; Y1(-3) -> 0 und nDerive(Derive(Y1,X,X),X,-3) -> -1 < 0 berechnet werden.

Ansatz für 1. Ableitung
1. Ableitung

f'(x) `=`( x`-`3`+` 4 over {x`+`1})'`=`1`-`4 over {(x`+`1)^2}

2. Ableitung

f''(x) `=`(1`-`4 over {(x`+`1)^2})' `=`8 over (x`+`1)^3

Ansatz für Nachweis, dass der Graph keine Wendepunkte besitzt

f''(xW) ¹ 0, da 8 ¹ 0

Nachweis, dass der Graph keine Wendepunkte besitzt

Verhalten im Unendlichen: lim csub{x rightarrow +- infinity } f(x)`=`+- infinity

lim csub{x rightarrow +- infinity } {x`-`3`+`4 over {x`+`1}}`=`( lim csub{x rightarrow +- infinity } {x}) `-`3`+`0`=`+- infinity

Ansatz für Stellen x

f' (xS) = -3 und Lösung der Gleichung matrix{1`-`4 over {(x`+`1)^2}# "=" # -3 ##4#"="#4 over {(x`+`1)^2} ##1#"="#(x`+`1)^2 ##+-1#"="#x`+`1}

Stellen x: x1 = -2; x2 = 0

 13
b

Nachweis der Richtigkeit der Schreibweise der Funktionsgleichung

x`-`3`+` 4 over {x`+`1}`=` {(x`-`3)(x`+`1)} over {x`+`1}`+` 4 over {x`+`1}

Begründung

lim csub{x rightarrow +- infinity} (f(x)`-`y)`=` lim csub{x rightarrow +- infinity} {4 over {x`+`1}} `=`0

ganzrationaler Anteil der Stammfunktion

Gleichung der Stammfunktion

int {x`-`3`+` 4 over {x`+`1}} dx `=` int {x`-`3} dx `+` int {4 over {x`+`1}} dx '=' 1 over 2 x^2 `-`3x + 4 ln abs {x`+`1}

Ansatz für Flächeninhalt

int from{1} to{10} f(x) ` dx `=`F(10)`-`F(1)

Flächeninhalt

GTR: fnInt(Y1,X,1,10) -> 29,3190
exakter Wert: 4·ln (11/2) + 45/2 		6
c

Zielfunktion

Hinweis: wieder reicht der Einsatz des GTR: solve(nDerive(Y1-(8X/9-2.5),X,X),X,8) -> 5,0000

Extremstelle: xMIN = 5

und Y1(5)-(40/9-2.5) -> 0,7222 (exakter Wert: 13/18)

minimale Differenz d: d » 0,72

 3
d Die Gerade y=.75 x + n ist in der "Höhe" verschiebbar. Gesucht sind also alle Stellen, an denen der Anstieg der Funktion f(x) gleich .75 ist.

Ansatz für quadratische Gleichung

f' (xS) = .75 => 1`-`4 over {(x`+`1)^2}`=`3 over 4 => x`+`1`=`+- 4

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

xS1 = 3; xS2 = -5

Werte n

mit n = f(xS) - .75xS folgt: nS1 = -1.25; nS2 = -5.25		 3
25

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/


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