Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = ½·x⁴ + x³ (x ∈ R)

1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an.
   Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion f.
   Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f nicht punktsymmetrisch zum, Koordinatenursprung und nicht achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
   Ermitteln Sie alle Stellen, an denen der Graph der Funktion f den Anstieg 1 hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 9

2. Die Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt P(1 | f(1)) und die Senkrechte zu t durch P begrenzen mit der y-Achse ein Dreieck vollständig.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks und geben Sie die Größen der Innenwinkel des Dreiecks an.
   Dieses Dreieck wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflächen zerlegt.
   Berechnen Sie mithilfe von Stammfunktionen den Inhalt einer der beiden Teilflächen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 8

3. Für jedes a (a ∈ R,-2 ≤ a < 0) sind die Punkte P_a(a | f(a)) und R(0 | 5) Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
   Bestimmen Sie einen Näherungswert für a, so dass der Umfang des Rechtecks maximal wird.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Für jedes k (k ∈ R, k ≠ 0) ist eine Funktion g_k durch die Gleichung g_k(x) = k·f(x) (x ∈ R) gegeben.
   Begründen Sie, dass die Funktionen g_k und f die gleiche Extremstelle besitzen.
   Geben Sie die Art des Extremums der Funktion g_k in Abhängigkeit von k an.
   Ermitteln Sie den Wert k, für den der Graph der Funktion g_k einen lokalen Maximumpunkt bei hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5 |1 |2), B(-3 |3 |0), M(1 |5 |4) und die Gerade g durch gegeben. Der Punkt M ist Mittelpunkt der Grundkreisfläche eines geraden Kreiskegels mit der Spitze S. Die Punkte A und B liegen auf der Begrenzungslinie der Grundkreisfläche dieses Kegels.
Die Länge einer Mantellinie des Kegels beträgt √45.

1. Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und M nicht auf ein und derselben Geraden liegen.
   Geben Sie eine Gleichung der Ebene in allgemeiner Form an, in der die Grundkreisfläche des Kegels liegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Berechnen Sie das Volumen des geraden Kreiskegels.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Weisen Sie nach, dass die Höhe des geraden Kreiskegels auf der Geraden g liegt.
   Zeigen Sie, dass der Punkt S(2 | 7 | 2) eine mögliche Spitze dieses Kegels ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Berechnen Sie einen Näherungswert für die Größe des Winkels MSA.
   Auf der Geraden g liegen genau zwei Punkte P_i (i = 1; 2), für welche die Größe des Winkels MP_iA 30° beträgt.
   Berechnen Sie einen Näherungswert für die Größe des Winkels AP_iB.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Eine Elektronikfirma stellt USB-Sticks her.

1. Die USB-Sticks werden mit den Speichergrößen 256 MB, 512 MB und 1 GB hergestellt.
   Es gibt diese Sticks jeweils mit oder ohne MP3-Wiedergabe und in verschiedenen Farben.
   Die Firma stellt insgesamt 42 verschiedene Ausstattungen der Sticks her.
   Ermitteln Sie die Anzahl der Farben, in denen die Sticks angeboten werden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Nach der Auslieferung werden erfahrungsgemäß 2,5 % der USB-Sticks reklamiert.

2. Eine Lieferung für ein Geschäft besteht aus 80 USB-Sticks.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   Ereignis A: Es wird kein Stick reklamiert.
   Ereignis B: Weniger als 5 % der Sticks werden reklamiert.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Erfahrungsgemäß sind 68 % der Reklamationen gerechtfertigt.
   Geben Sie die Anzahl der zu erwartenden ungerechtfertigten Reklamationen bei einer Lieferung von 500 USB-Sticks an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

4. Die Elektronikfirma fertigt auch USB-Kabel als Massenware. Erfahrungsgemäß sind in einem Karton mit genau 50 Kabeln genau 5 defekt.
   Innerhalb einer Werbeaktion bietet die Firma diese Kabel Großhändlern zu Sonderkonditionen an. Die Großhändler entnehmen dabei jedem Karton genau zwei Kabel ohne Zurücklegen und prüfen deren Qualität. Sind beide funktionstüchtig, müssen sie für den jeweiligen Karton den vollen Preis zahlen. Befindet sich genau ein defektes unter den gezogenen Kabeln, dürfen sie den Preis für den Karton um 25 % reduzieren. Falls beide gezogenen USB-Kabel defekt sind, erhalten sie den Karton für die Hälfte des Preises.
   Bestimmen Sie, welchen Preis die Elektronikfirma pro Karton festlegen muss, damit sie durchschnittlich 200,00 € pro Karton einnimmt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Zur Neugestaltung eines rechteckigen Parks mit einer Fläche von 0,84 ha wird sein. Grundriss im ersten Quadranten eines kartesisches Koordinatensystems betrachtet (1 Längeneinheit entspricht 1 m). Eine Begrenzungsmauer mit Verlauf von West nach Ost liegt auf der x-Achse, die westliche Begrenzungsmauer mit Verlauf von Süd nach Nord liegt auf der y-Achse.
Der Park hat in Nord-Süd-Richtung eine Ausdehnung von 60,0 m.
In den Punkten D₁(100,0 | 24,0), D₂(120,0 | 24,8) und D₃(10,0 | 40,2) befinden sich drei Steinbögen, die durch einen Weg verbunden werden sollen. Zur Beschreibung des Verlaufs dieses Weges wird der Graph einer quadratischen Funktion q gewählt.
Für den Weg wird in der westlichen Mauer ein Tor eingeplant.
Von diesem Tor soll auch eine geradlinige Straße durch den gesamten Park durch den Punkt D₂ führen.

1. Die von Straße und Weg vom Tor bis zum Punkt 02 eingeschlossene Fläche soll komplett bepflanzt werden.
   Berechnen Sie die Anzahl der dafür erforderlichen Pflanzen, wenn pro Quadratmeter vier Pflanzen benötigt werden (die Breiten von Weg und Straße sind dabei zu vernachlässigen).

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

2. Beim Bau der Straße mit einer Breite von 2,40 m wird durch den Fahrbahnbelag ein Teil des Parks versiegelt.
   Berechnen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche des Parks.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Weiterhin gibt es im Park einen kleinen Bach, dessen Verlauf innerhalb des Parks durch den Graphen der Funktion f mit näherungsweise beschrieben werden kann.
   Die Strecke mit der größten Entfernung in Nord-Süd-Richtung zwischen Weg und Bach soll durch einen kleinen Lehrpfad gestaltet werden.
   Ermitteln Sie die Länge dieses Pfades.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Zwei näherungsweise geradlinig verlaufende Bundesstraßen b₁ und b₂ treffen in einer Stadt aufeinander. Die Straße b₁ verläuft in einem kartesischen Koordinatensystem mit einer Längeneinheit von 1 km durch den Punkt P₁(-3,00 | 3,00). Auf der Straße b₂ liegt der Punkt
P₂(4,00 | 0,00). Beide Straßen treffen im Punkt Q(-0,50 | 0,00) innerhalb des Stadtkerns aufeinander. Die Breiten der Straßen werden vernachlässigt.
Der Koordinatenursprung ist Mittelpunkt des annähernd kreisförmigen Stadtkerns mit einem Radius von 2,00 km.

1. Ein Fahrzeug fährt auf den Straßen b₁ und b₂ vom Punkt P₁ über Q zum Punkt P₂.
   Berechnen Sie die Länge der Fahrtstrecke, die durch den Stadtkern führt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

2. Es soll eine Entlastungsstraße gebaut werden, die durch den Punkt P₃(1,00 | 2,00) verläuft und in den Punkten P₁ und P₂ an die beiden Bundesstraßen b₁ und b₂ glatt (ohne Knick) anschließt.
   Zeigen Sie rechnerisch, dass eine quadratische Funktion durch die Punkte P₁, P₂ und P₃ zur Beschreibung dieser Entlastungsstraße ungeeignet ist.
   Begründen Sie, dass unter den gegebenen Forderungen eine Funktion vierten Grades zur Beschreibung der Entlastungsstraße geeignet ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5