PäPIKK    Mathe    Abitur  Grundkurs 2005

24. May 2012  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen

Gegeben ist die Funktion f durch (x ∈ D_f).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f und die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen dieser Funktion mit den Koordinatenachsen an.
   Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf achsenparallele Asymptoten und geben Sie deren Gleichungen an.
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion f keine lokalen Extrempunkte besitzt.
   Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an. Erreichbare BE-Anzahl: 9

2. Es existieren genau zwei Tangenten an den Graphen der Funktion f, die senkrecht zur Geraden mit der Gleichung (x ∈ R) verlaufen.
   Ermitteln Sie eine Gleichung einer dieser Tangenten. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Für jedes u (u ∈ R; 3 < u < 10) sind die Punkte P_u(u | f(u)), Q_u(u | 0) und R(-2 | 0) Eckpunkte eine Dreiecks. Es gibt genau ein solches Dreieck mit minimalem Flächeninhalt.
   Ermitteln Sie diesen Flächeninhalt. Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Gegeben ist die Funktion F durch F(x) = -10 ln(3 - x) - 2x (x ∈ D_F).
   Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D_F der Funktion F an.
   Weisen Sie nach, dass für alle x ∈ D_F die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f ist.
   Der Graph der Funktion f, die Gerade x = v (v ∈ R; -2 < v < 3) und die Abszissenachse begrenzen eine Fläche A₁ vollständig.
   Ermitteln Sie den Wert v, so dass der Inhalt dieser Fläche 10 ln 5 - 8 beträgt.
   Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche A₂ vollständig.
   Geben Sie mit einem Näherungswert an, um wie viel Prozent die Fläche A₂ kleiner als die Fläche A₁= 10 ln 5 - 8 ist. Erreichbare BE-Anzahl: 7

5. Für jedes a (a ∈ R) ist eine Funktion g_a durch g_a(x)=f(x)+a (x ∈ D_ga) gegeben. Es existieren Werte a, für die der Graph der Funktion g_a und die Koordinatenachsen im zweiten Quadranten eine Fläche vollständig begrenzen.
   Geben Sie alle Werte für a an, die diese Bedingung erfüllen. Begründen Sie.
   Erreichbare BE-Anzahl: 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-6 | -5 | 2), B(-1 | -5 | 2), C(-3 | -1 | 2) und P_a(a | 2a | - a/3) (a ∈ R, a ≠ 0) gegeben.

1. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.
   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Die Punkte A, Bund C bestimmen eine Ebene E.
   Beschreiben Sie die besondere Lage der Ebene E im kartesischen Koordinatensystem.
   Für genau einen Wert a liegt der zugehörige Punkt Pa in der Ebene E. Ermitteln Sie diesen Wert für a. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Begründen Sie, dass genau ein Punkt Q existiert, für den die Punkte A, B, C und Q Eckpunkte eines Rhombus sind.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q. Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Das Dreieck ABC ist Grundfläche von Pyramiden.
   Ermitteln Sie die Koordinaten eines möglichen Punktes für die Spitze einer solchen Pyramide, deren Volumen 100 beträgt. Erreichbare BE-Anzahl: 3

5. Das Dreieck A'B'C' entsteht durch senkrechte Projektion des Dreiecks ABC in die x-y-Koordinaten­ebene. Der Kreis k ist Umkreis des Dreiecks A'B'C'.
   Geben Sie jeweils eine Gleichung einer Sekante, einer Tangente und einer Passante bezüglich des Kreises k an. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Der Radiosender "Freestyle" wählt jeden seiner gespielten Titel zufällig durch einen Computer aus. Bei diesen Titeln handelt es sich zu 30% um englische, zu 25% um deutsche und zu 15% um italienische Titel.

1. Lutz schaltet das Radio ein, während gerade ein Titel läuft.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dieser Titel weder ein italienischer noch ein englischer ist. Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Fred hört an einem Nachmittag auf diesem Sender 24 Titel.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: Ereignis A: Er hört keinen deutschen Titel.
   Ereignis B: Er hört genau drei englische Titel.
   Ereignis C: Die Anzahl der von ihm gehörten deutschen Titel weicht um höchstens 2 von der zu erwartenden Anzahl deutscher Titel ab. Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Berechnen Sie, wie viele Titel Fred mindestens hören muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98% wenigstens einen deutschen Titel hört. Erreichbare BE-Anzahl: 2

4. Der Radiosender will täglich mit 5 Kandidaten das Spiel "Musik-Doppelpack" spielen. Dabei muss der Kandidat eine beliebige Uhrzeit angeben.
   Werden unmittelbar nach dieser Zeit in direkter Aufeinanderfolge zwei englische Titel gespielt, so erhält der Kandidat 150 €, bei zwei deutschen Titeln 200 € und bei zwei italienischen Titeln z Euro (z ∈ R). In allen anderen Fällen bekommt der Kandidat nichts ausgezahlt.
   Der Sender möchte durchschnittlich pro Tag höchstens 175 € auszahlen.
   Ermitteln Sie den maximal möglichen Wert für z. Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Die Skizze (nicht maßstäblich) zeigt den Querschnitt eines Hochwasserüberlaufkanals. Die y-Achse ist Symmetrieachse des Querschnitts. Eine der beiden Böschungslinien kann näherungsweise in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Funktion f mit (x ∈ D_f) beschrieben werden. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Der maximale Pegel beträgt 2,0 m, der Normalpegel 1,6 m.

1. Geben Sie die Breite der Wasseroberfläche bei maximalem Pegel an. Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Zuwachs der Querschnittsfläche des mit Wasser gefüllten Teils des Kanals, wenn der Pegel vom Normalpegel bis zum maximalen Pegel steigt. Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Ein kritischer Pegel wird erreicht, wenn der Neigungswinkel der Böschungslinie gegenüber der Wasseroberfläche 165° überschreitet.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für diesen kritischen Pegel. Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Von einem Punkt P(10 | 5) aus soll der Kanal überwacht werden.
   Untersuchen Sie, ob bei Normalpegel die gesamte Breite der Wasseroberfläche einsehbar ist. Erreichbare BE-Anzahl: 3

Aus einem Quader mit einer Höhe h und einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge von 5,0 dm soll ein Gedenkstein hergestellt werden.
In einem kartesischen Koordinatensystem befindet sich die quadratische Grundfläche OABC in der x-y-Koordinatenebene (siehe Skizze - Skizze nicht maßstäblich). Eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter.

Der Gedenkstein OABCDEHI entsteht durch Abtrennen eines Teils des Quaders. Die Schnittfläche liegt dabei in der Ebene mit der Gleichung
2y + 5z = 60.

1. Zur Ermittlung der Herstellungskosten ist die Kenntnis der Größe der Schnittfläche erforderlich.
   Berechnen Sie den Inhalt der Schnittfläche in Quadratdezimetern. Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Bei der Gravur der Schrift auf den Gedenkstein tritt erfahrungsgemäß bei einem von 600 Zeichen eine Beschädigung des Steines auf. Die Art des Zeichens spielt dabei keine Rolle.
   Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Stein nicht beschädigt wird, wenn die Gedenkschrift aus 34 Zeichen besteht.
   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Aus dem vom Quader abgetrennten dreiseitigen Prisma soll ein neuer Quader mit maximalem Volumen hergestellt werden.
   Bestimmen Sie die Abmessungen dieses Quaders. Erreichbare BE-Anzahl: 4

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 25 Mar 2007 15:18:33

40 ?