PäPIKK    Mathe    Abitur  Leistungskurs 2004

24. May 2012  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen

Für jedes a (a ∈ R,a > 0) ist eine Funktion f_a gegeben durch (x ∈ R).

1. Geben Sie von der Funktion f_½ Näherungswerte für die Nullstelle, die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und dessen Art sowie eine Gleichung der Asymptote an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion f_a genau eine Nullstelle bei besitzt.
   Der Graph der Funktion fa besitzt genau einen Extrem- und genau einen Wendepunkt.
   Ermitteln Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und weisen Sie seine Art nach.
   Begründen Sie, dass für jedes a der Graph der Funktion f_a den gleichen Wendepunkt hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 12

3. Der Graph der Funktion f_a und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Die Tangente und die Normale an den Graphen der Funktion f_a im Schnittpunkt des Graphen der Funktion f_a mit der Ordinatenachse bilden mit der Abszissenachse ein Dreieck. Es existiert genau ein Wert a, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.
   Berechnen Sie diesen Wert a.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

5. Der Graph der Funktion f_½ und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche vollständig. Betrachtet werden Kreise, deren Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist und die diese Fläche vollständig enthalten.
   Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Radius des kleinstmöglichen dieser Kreise zu ermitteln, und geben Sie einen Näherungswert für diesen Radius an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

6. Für jedes n (n ∈ R) ist eine Gerade g_n mit der Gleichung g_n(x) = (2e − e²)·x + n (x ∈ R) gegeben.
   Ermitteln Sie den Wert n, für den die Gerade gn Tangente an den Graphen der Funktion f_½ ist.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6 | 1 | 0), B(6 |6 | 15/4), D(2 |1 | 0) und (t ∈ R, t > 0) gegeben.

Für jedes t sind die Punkte A, B, C, D und S_t Eckpunkte einer Pyramide mit der rechteckigen Grundfläche ABCD.

1. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C.
   Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an, in der die Grundfläche jeder dieser Pyramiden liegt.
   Treffen Sie eine Aussage zur Lage der Ebene E im Koordinatensystem.
   Weisen Sie nach, dass jede dieser Pyramiden gerade ist.
   Zeigen Sie, dass t die Höhe jeder dieser Pyramiden ist und geben Sie deren Volumen in Abhängigkeit von t an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 10

2. Es existiert genau eine Pyramide ABCDS_t, für die die Seitenfläche ABS_t mit der Grundfläche einen Neigungswinkel von 45° bildet. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert t.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt der Seitenfläche ABS_t stets größer als ist.
   Berechnen Sie den Wert t, für den der Flächeninhalt der Seitenfläche ABS_t beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Stellen Sie die Pyramide ABCDS₅ in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
   Eine Ebene F enthalte die Punkte A und D und halbiere die Höhe der Pyramide ABGDS₅.
   Die Schnittfigur zwischen der Ebene F und der Pyramide ABCDS₅ ist ein Viereck.
   Geben Sie die Art dieses speziellen Vierecks an und begründen Sie Ihre Entscheidung.
   Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Ebene F die Seitenkante teilt.

Eine Produktionsstätte zur Herstellung von Hochleistungsakkus für Handys und Laptops wird aufgebaut. Beim Probebetrieb werden der Produktion Stichproben entnommen, um die Qualität der Erzeugnisse zu untersuchen. Dabei wird nach festen Kriterien zwischen Qualität I, Qualität II und Ausschuss unterschieden.

1. Es wurden folgende sechs Stichproben durchgeführt:

   Nummer der Stichprobe	1	2	3	4	5	6
   Anzahl der Akkus in der Stichprobe	20	25	20	30	35	25
   Anzahl der Akkus mit der Qualität I	16	21	18	24	27	20
   Anzahl der Akkus mit der Qualität II	3	4	1	3	4	3

   Geben Sie auf der Grundlage dieser Stichproben einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein zufällig ausgewähltes Produkt Ausschuss ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

Nach Anlauf der Produktion beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Produkt die Qualitätsstufe I besitzt, 86% und dafür, dass es die Qualitätsstufe II besitzt, 12%.

2. Jeweils 50 Akkus werden in einer Kiste verpackt.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   Ereignis A: Eine zufällig ausgewählte Kiste enthält mehr als 45 Akkus der Qualitätsstufe I.
   Ereignis B: Mindestens 8, aber weniger als 12 Akkus einer zufällig ausgewählten Kiste besitzen die Qualitätsstufe II oder sind Ausschuss.
   Ereignis C: Unter fünf zufällig ausgewählten Kisten gibt es mehr als zwei, die kein Ausschussstück enthalten.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

3. Von der Endkontrolle weiß man, dass Akkus der Qualität I zu 95% als solche erkannt und zu 5% fälschlicherweise der Qualität 11 zugeordnet werden.
   Akkus der Qualität I1 werden zu 85% als solche erkannt, zu 5% aber fälschlicherweise der Qualitätsstufe I und zu 10% fälschlicherweise dem Ausschuss zugeordnet. Ausschussstücke werden mit 92% als solche erkannt, zu 8% aber fälschlicherweise der Qualitätsstufe 1I zugeordnet.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig herausgegriffener und überprüfter Akku richtig eingestuft wurde.
   Ermitteln Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein der Qualität II zugeordneter Akku tatsächlich dieser Qualitätsstufe angehört.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

4. Betrachtet wird die Zufallsgröße W, die die bei der Produktion auftretenden Ausschussakkus zählt.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 1000 produzierten Akkus der Wert der Zufallsgröße W um weniger als 3 von dem zu erwartenden Wert abweicht.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Für jedes t (t ∈ R, t > 0) ist eine Funktion f_t gegeben durch y=f_t(x)=ln(2t-x)-x² (x ∈ D_ft).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion ft und eine Gleichung der Asymptote an.
   Der Graph der Funktion ft besitzt genau einen lokalen Extrempunkt.
   Berechnen Sie die Extremsteile.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Zeigen Sie durch Integration, dass für alle reelle Zahlen x > 0 gilt: ∫ ln x dx= x·lnx − x + c (c ∈ R).
   Der Graph der Funktion f_t (t > ½), der Graph der Funktion g mit g(x)= -x² (x ∈ R) und die Ordinatenachse begrenzen eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Wert t, für den der Inhalt dieser Fläche ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

3. Es gibt genau einen Wert t, für den die Funktion f_t genau eine Nullstelle besitzt.
   Ermitteln Sie einen Näherungswert für t.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind für jedes a (a ∈ R, a > 0) die Punkte A_a(a | 0 | 0), B_a(0 | a | 0 ) und C_a(0 | 0 | a) sowie der Punkt D_a(a | a | a) gegeben. Das Dreieck A_aB_aC_a ist gleichseitig.

1. Zeigen Sie, dass der Körper A_aB_aC_aD_a ein reguläres Tetraeder (ein Körper, der von genau vier gleichseitigen Dreiecksflächen begrenzt wird) ist.
   Außer dem Punkt D_a existiert ein weiterer Punkt, der Eckpunkt eines regulären Tetraeders mit der Seitenfläche A_aB_aC_a ist.
   Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punktes.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Es gibt genau einen Punkt P_a, der von jedem Eckpunkt des regulären Tetraeders A_aB_aC_aD_a den gleichen Abstand hat.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den der Abstand 3√3 beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Von einem regulären Tetraeder A_aB_aC_aD_a werden durch parallel zu den Seitenflächen führende Schnitte vier zueinander kongruente Tetraeder abgetrennt, deren Kantenlängen der ursprünglichen Tetraederkantenlänge beträgt.
   Berechnen Sie den Wert a, für den bei dieser Zerlegung das Volumen des Restkörpers 207 beträgt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 11 May 2007 12:59:59

37 ?