PäPIKK    Mathe    Abitur  Leistungskurs 2002

24. May 2012  ©  Frank Müller

Aufgabenstellungen

Gegeben sind Funktionen f_k und g_k durch die Gleichungen

y=f_k(x)=x² e^1-kx und y=g_k(x)=x e^1-kx (k∈R, k>0; x∈R)

1. Geben Sie für die Funktionen f_k die Nullstellen an.
   Weisen Sie nach, dass für die 2. Ableitung der Funktionen f_k gilt: f_k’’(x)=e^1-kx (k²x²-4kx+2) (k ∈R, k>0; x ∈R).
   Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Funktionen f_k und untersuchen Sie die Art der Extrema.
   Zeigen Sie, dass eine Funktion existiert, auf deren Graph alle lokalen Extrem­punkte der Graphen der Funktionen f_k liegen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 12

2. Für jedes k besitzt der Graph der Funktion f_k genau zwei Wendepunkte.
   Berechnen Sie die Wendestellen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Für jedes k haben die Graphen der Funktionen f_k und g_k genau zwei gemeinsame Punkte.
   Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
   Geben Sie den Wert k an, für den sich die zugehörigen Graphen im Punkt Q(1 | 1) schneiden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

4. Für jedes k existiert die Tangente an den Graphen der Funktion f_k an der Stelle x = 1.
   Ermitteln Sie den Wert k, für den der Anstiegwinkel dieser Tangente 45° beträgt und geben Sie für diesen Fall eine Gleichung dieser Tangenten an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

5. Für jedes u (u∈R; u>0) sind der Koordinatenursprung und der Punkt R_u(u | f₁(u)) Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
   Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes R_u so, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks maximal wird.
   Geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

6. Bestimmen Sie eine Gleichung einer Stammfunktion G_k der Funktion g_k.
   
   Der Graph der Funktion g₁, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 4 begrenzen eine Fläche vollständig.
   Für jedes a (a ∈R, 0<a<4) zerlegt die Gerade mit der Gleichung x=a diese Fläche in zwei Teilflächen.
   Ermitteln Sie den Wert a, für den beide Teilflächen den gleichen Flächeninhalt besitzen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(8 | 0 | -5), B( 5 | 8 | 0 ), C( -4 | 4 | 1 ), D( -1 | - 4 | -4 und für jedes a (a ∈R, a>0) der Punkt S_a (2 + 2a | 2 - 3a | -2 + 6a) gegeben.
Für jedes a (a ∈R, a>0) sind die Punkte A, B, C, D und S, Eckpunkte einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD.

1. Weisen Sie nach, dass jede Pyramide ABCDS, eine gerade, quadratische Pyra­mide ist.
   Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS₃.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S_a für den die Pyramide ABCDS_a ein Volumen von 38 1/9 hat.

   Erreichbare BE-Anzahl: 13

2. Ermitteln Sie die Größe des Schnittwinkels der Ebene einer Seitenfläche der Pyramide ABCDS₃ mit der Ebene der Grundfläche dieser Pyramide.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Der Kreis k ist Umkreis der Grundfläche der Pyramide ABCDS₃. Ermitteln Sie das Volumen des Kreiskegels, der durch den Kreis k und den Punkt S₃ als Spitze bestimmt ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Die x-y-Koordinatenebene teilt die Pyramidengrundfläche ABCD in zwei Teilflächen.
   Geben Sie jeweils die Art der entstehenden Teilflächen an und begründen Sie Ihre Entscheidung.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt derjenigen Teilfläche, die den Punkt C als Eck­punkt enthält.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

Eine Firma stellt Heizelemente mit einer Leistung von 1000 W her.

1. Zwei Kontrolleure K₁ und K₂ überprüfen die in der Firma produzierten Heizele­mente auf Mängel.
   Kontrolleur K₁ prüft 65% und Kontrolleur K₂ prüft 35% der Produkte. Bekannt ist, dass Mängel durch Kontrolleur K₁ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,85 und durch Kontrolleur K₂ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,90 entdeckt werden.
   
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein mangelhaftes Heizelement erkannt wird.
   Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bei der Kontrolle nicht er­kanntes, mangelhaftes Heizelement von Kontrolleur K₁ geprüft wurde.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

2. Das Heizelement und ein weiteres Teil bilden die für das Funktionieren eines elektrischen Gerätes verantwortlichen Bestandteile. Im Verlauf eines Jahres fällt das Heizelement mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,10 und das andere Teil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,08 aus. Die Ausfälle sind voneinander unabhängig. Die Reparatur des Heizelements kostet 25 € und die des anderen Teils 15 €.
   
   Führen Sie eine Zufallsgröße ein, die die im Verlauf eines Jahres auftretenden Reparaturkosten beschreibt und berechnen Sie die im Jahr pro produziertes Gerät zu erwartenden Reparaturkosten.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Die Leistung der in der Firma produzierten genormten Heizelemente (Nennleistung 1000 W) sei normalverteilt mit einer Standardabweichung von 100 W.
   Ermitteln Sie unter diesen Voraussetzungen, welcher Anteil der produ­zierten Heizelemente eine Leistung zwischen 950 W und 1050 W aufweist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. 60% aller Heizelemente werden auf Maschine M₁, die restlichen auf Maschine M₂ gefertigt.
   Berechnen Sie den Anteil der fehlerhaften Teile an der Gesamtproduktion der Firma unter den Voraussetzungen, dass 90% der auf Maschine M₁ produzierten Teile fehlerfrei sind und dass 58% aller fehlerfreien Teile von dieser Maschine kommen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Gegeben ist die Funktion y = f(t) = 5 e^{(-¼ t)} · sin(π t) (t ∈R, t³0).
Der Graph der Funktion f beschreibt eine gedämpfte Schwingung eines Feder­schwingers.
Der Wert f(t) entspricht der Auslenkung (Elongation) des Schwingers zum Zeitpunkt t.

1. In dieser Teilaufgabe wird der Verlauf der Schwingung dieses Federschwingers im Zeitintervall 0<=t<=2 betrachtet.
   Geben Sie die Nullstellen, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

2. Weisen Sie nach, dass keine Extremstelle der Funktion f das arithmetische Mittel der jeweils benachbarten Nullstellen ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Die Funktionswerte f(n + ½) (n∈N) können näherungsweise als momentane maximale Auslenkungen der Schwingung des Federschwingers betrachtet werden.
   
   Weisen Sie nach, dass die Folge der Beträge dieser Funktionswerte eine geometrische Zahlenfolge ist.
   Ermitteln Sie, wie viele aufeinander folgende Glieder dieser Folge zu addieren sind, damit die Summe erstmals größer als 19 ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 7

Abbildung 7: (Skizze nicht maßstäblich)

Bei einer bestimmten Lage des Bohrtisches befinden sich die vier Eckpunkte der Tischplatte E_ha, F_h, G_h und H_ha in der Ebene E mit der Gleichung y + z = 12.

1. Berechnen Sie, um welche Höhe h der Bohrtisch angehoben ist.
   Berechnen Sie den Neigungswinkel a.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

2. Zur Kontrolle der Bohrtischlage wird vom Punkt L(0; 10; 20) aus ein Laserstrahl auf den Bohrtisch gerichtet und bei oben beschriebener Lage am Punkt R( 6; 6; 6 ) der Bohrtischebene reflektiert. Ein Kontrollsensor für den Empfang des reflektierten Strahles soll an der Wand der Werkhalle, die durch die Gleichung y = 13 beschrie­ben wird, angebracht werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Kontrollsensor befestigt werden muss.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

   Der Bohrtisch sei nun um eine Höhe h angehoben und um einen Winkel a gekippt.

3. Zeigen Sie, dass die Gleichung der Ebene Ε_h±, in der sich der Bohrtisch in diesem allgemeinen Fall befindet, in der Form

   (sin a) y + (cos a) z = 8 · sin a + h cos a

   angegeben werden kann.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

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