PäPIKK    Mathe    Abitur  Grundkurs Nachtermin 2001

24. May 2012  ©  Frank Müller

gk Nachtermin: Aufgaben

Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung y = (x ∈ R).

1. Geben Sie für die Funktion f die Nullstellen, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema an.
   Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f genau einen Wendepunkt hat, und geben Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 9

2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt P.
   Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck vollständig.
   Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

3. Geben Sie den Inhalt der Fläche an, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse vollständig begrenzt wird.
   Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion von f, deren Graph durch den Punkt A (0; 1) verläuft. Es existiert eine Zahl a (a ∈ R, a > 0) so, dass das bestimmte Integral ist.¹

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

4. Eine Gerade g ist durch die Punkte A(0; 1) und B(4; 2,5) bestimmt. Es existieren Tangenten an den Graphen der Funktion f, die parallel zur Geraden g verlaufen.
   Ermitteln Sie die Abszissen der Berührungspunkte dieser Tangenten mit dem Graphen der Funktion f.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2; 1; -1), B(6; 4; -2), C(5; 6; 0), D(1; 3; 1), F(4; 6; 4) und H(-l; 5; 7) gegeben.
Die Punkte A, B, C, D, E, F, G und H sind Eckpunkte eines schiefen Prismas mit der Grundfläche ABCD (vergl. Abbildung).

1. Geben Sie die Koordinaten der Punkte G und E an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Weisen Sie nach, dass die Grundfläche des Prismas ein Rechteck ist.
   Untersuchen Sie, welche beiden Seitenflächen des Prismas den größten Flächeninhalt haben.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

3. Untersuchen Sie, ob sich alle Raumdiagonalen des Prismas in genau einem Punkt schneiden.
   Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Diagonalen.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Eine zur Grundfläche parallele Ebene zerlegt das Prisma in zwei Teilkörper mit gleichen Volumina.
   Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene in parameterfreier Form.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

5. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Punkt P(3; 4; 1) im Inneren des Prismas liegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

In einer Urne befinden sich 25 gleich große Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 25 gekennzeichnet sind.

1. Für das einmalige Ziehen einer Kugel interessieren folgende Ereignisse:
   Ereignis A: Die Quersumme der Zahl auf der gezogenen Kugel ist 4.
   Ereignis B: Die Zahl auf der gezogenen Kugel ist durch 2 oder durch 3 teilbar.
   Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Ziehen mit Zurücklegen mindestens eine der gezogenen Zahlen größer als 18 ist.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

3. Es werden sieben Ziehungen mit Zurücklegen durchgeführt.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den sieben gezogenen Kugeln höchstens 5 mit einer geraden Zahl befinden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

4. Bei einem Gewinnspiel wählt der Spieler eine natürliche Zahl von 1 bis 25. Danach wird aus der beschriebenen Urne 2 mal mit Zurücklegen gezogen. Wird die gewählte Zahl gezogen, erhält er jeweils 100 €, bei jeder anderen Zahl hat er jeweils 4 € zu zahlen.
   Würden Sie ein derartiges Spiel spielen? Begründen Sie Ihre Entscheidung rechnerisch.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

5. Wir betrachten folgenden Zufallsversuch: Aus der beschriebenen Urne werden nacheinander Kugeln gezogen. Nach jeder Ziehung wird die Zahl festgestellt, mit der die Kugel gekennzeichnet ist. Ist diese Zahl gerade, ist der Versuch beendet. Ist sie ungerade, wird diese Kugel beiseite gelegt und dafür in die Urne eine weitere Kugel mit einer geraden Zahl gegeben. Nach maximal vier Ziehungen ist der Versuch unabhängig vom Ergebnis der 4. Ziehung beendet.
   Berechnen Sie, mit wie vielen Ziehungen man durchschnittlich pro Versuch rechnen muss.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Der symmetrische Giebel eines Barock­hauses soll rekonstruiert werden. Der Giebel ist in der Abbildung in einem Koordinatensystem dargestellt. Eine für alle x (x ∈ R) definierte, gerade, ganz­rationale Funktion f beschreibt im entsprechenden Intervall den oberen Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den Graphen der Funktion f in den Punkten P₁(4; 0) und P₂(4; 0) (1 Einheit = l m).

Die maximale Höhe des Giebels über der Dachkante (x-Achse) beträgt 4,0 m. (siehe Abbildung - nicht maßstäblich).

1. Begründen Sie, dass die Funktion f eine Funktion mindestens 4. Grades sein muss.

   Erreichbare BE-Anzahl: 1

2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion f.

   Erreichbare BE-Anzahl: 4

3. Ein Architekt beschreibt einen solchen Giebelrand durch den Graphen der Funktion g mit y = (x ∈ R).
   Dieser Giebel soll durch eine waagerechte Linie in zwei flächengleiche Teile zerlegt werden. Während der untere Teil des Giebels mit Ornamenten verziert wird, ist beabsichtigt, im oberen Teil des Giebels Fenster anzubringen.
   Ermitteln Sie auf Dezimeter genau, bis zu welcher Höhe der Giebel mit Ornamenten versehen werden soll.

   Erreichbare BE-Anzahl: 5

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1; 5;-3), C(-3;-9;-3) sowie für jedes t (t ∈ R) eine Gerade g_t durch (r ∈ R) gegeben.

1. Zeigen Sie, dass der Punkt A auf der Geraden g₈ liegt.
   Ermitteln Sie den Wert t, für den der Punkt C auf der zugehörigen Gerade g_t liegt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

2. Alle Geraden g_t liegen in einer Ebene E.
   Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene E an.
   Beschreiben Sie die Lage der Ebene E im kartesischen Koordinatensystem.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

3. Begründen Sie, dass keine der Geraden g_t durch den Koordinatenursprung verläuft.
   Es gibt genau eine Gerade g_t, die vom Koordinatenursprung einen minimalen Abstand besitzt.
   Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

4. Es existieren ein Punkt B auf der Geraden g_-17 und ein Punkt D auf der Geraden g₈, so dass das Viereck ABCD ein Quadrat mit der Diagonale ist.
   Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B und D.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Gegeben sind die Funktionen f durch y = f(x) = x²/9 + 9/x² (x ∈ D_f und g durch y = g(x) = x²/9 (x ∈ R).

1. Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an.
   Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Symmetrie.
   Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f sowie deren Art an.
   Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion f keine Wendepunkte besitzt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

2. Ermitteln Sie eine Gleichung de Tangente t, die den Graphen der Funktion f im Punkt P(6; f(6)) berührt.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

3. Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P(6; f(6)) und der Graph der Funktion f begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche vollständig.
   Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

4. Bestimmen Sie alle Werte x, für die sich die Funktionswerte f(x) und g(x) um weniger als 0,001 unterscheiden.

   Erreichbare BE-Anzahl: 2

5. Die Graphen der Funktionen f und g sowie die Ger den mit den Gleichungen x = 3 und x = k (k ∈ R, k > 3) begrenzen eine Fläche vollständig.
   Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von k.
   Ermitteln Sie den Grenzwert dieses Flächeninhaltes für k →?

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

6. Für jedes u (u ∈ R, u > 0) sind die Punkte A_u (u; f (u)), B_u (-u; f(-u)) und der Koordinatenursprung O(0;0) die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
   Zeigen Sie rechnerisch, dass es genau einen Wert u gibt, für d der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal wird.
   Geben Sie für diesen Fall die Koordinaten der Punkte A_u und B_u sowie den Flächeninhalt an.

   Erreichbare BE-Anzahl: 6

7. Gegeben ist die Funktion h mit y = h(x) = -x³/27 + x (x ∈ R). Die Graphen der Funktion f und h besitzen genau zwei gemeinsame Punkte.
   Ermitteln die Koordinaten dieser gemeinsamen Punkte.
   Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionen f und h in genau einem dieser gemeinsamen Punkte den gleichen Anstieg haben.

   Erreichbare BE-Anzahl: 3

Copyright © F. Müller eine private Seite auf dem Sächsischen Bildungsserver zuletzt geändert am 25 Mar 2007 14:45:48

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