Teil D1: Analysis

Lösungen und Bewertung

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Erläuterungen BE
a Nachweis
f_t (x) `=`{x`-`4} over x `-`2x `+`t `=`1 `-`4 over x `-`2x `+`t `=` `-`2x `+`(t `+`1) `-`4 over x mit t=8 folgt das Nachzuweisende
Definitionsbereich: Df8 = {x | x R, x ≠ 0}
Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte:
GTR:
solve(nDerive(Y1,X,X),X, 2) → 1,414 ≈ √2 und
solve(nDerive(Y1,X,X),X,-2) → -1,414 ≈ -√2
  PMIN(-1,4; 14,7) lokales Minimum
  PMAX(1,4; 3,3) lokales Maximum
3
b Ansatz für Stammfunktion
F8(1) = 0 und F_8`(x)`=`int {-2x`+`9}dx `-`4 cdot int {1 over x} dx `+`C `=`-x^2`+`9x`-`4 ln abs x `+`C Þ C = -8
Stammfunktion: F8(x)=-x2 + 9x - 4 ln |x| - 8
2
c f't (x) = 4/x2 − 2 mit f't (xe) = 0 Þ xe = √2 und ye = ft (√2) = 1 − 4√2 + t
Koordinaten des lokalen Maximumpunktes: PMAX(1,4; -4,7 + t) bzw. PMAX(√2; -4√2 + 1 + t)
Ansatz für Nachweis
Wie oben zu sehen ist, gilt: f't (x) = f'(x). Der Parameter t verschiebt die Originalfunktion ft (x) entlang der y-Achse. Damit hat t keinen Einfluss auf den Anstieg der Funktion (und damit der Werte der Ableitungsfunktion f't) einer beliebigen Stelle im Definitionsbereich der Funktion ft.
Nachweis und geometrische Deutung
3
d Ansatz für Werte p und q
g(x) = x2 + px + q
mit f8 (0,5) = 0 und f8 (4) = 0 folgt: g(x) = (x − 0,5) (x − 4) = x2 - 4,5x + 2
Werte p und q: p = − 4,5, q = 2
2
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