Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Lösungen und Bewertung

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Erläuterungen BE
a Untersuchung auf Gleichschenkligkeit
vec AB= (8 | -2 | 0), vec BC= (1 | 4 | 0), vec AC= (9 | 2 | 0) und
lline vec AB rline `=`2 sqrt 85, lline vec BC rline `=`sqrt , lline vec AC rline `=`sqrt 85 Þ das Dreieck ist nicht gleichschenklig
Einsatz des GTR: siehe Tabelle
Ansatz für Untersuchung auf Rechtwinkligkeit
mit dem Satz des Pythagoras folgt: 4 × 17 + 17 = 5 × 17 und der rechte Winkel ist β
Nachweis der Rechtwinkligkeit
Ansatz für Flächeninhalt
A =1 over 2 lline vec AB rline cdot lline vec BC rline= ½ √17 × 2√17 = 17
Flächeninhalt A: A = 17
Koordinaten des Mittelpunktes des Umkreises: mit GTR prgmGEOMETRI

Erläuterungen zur Verwendung des GTR

Ansicht GTR

  • Starten des Programms
    (Abbildung 2)

  • Ausführen des Programmteils Dreieck (Abbildung 3)


Abbildung 2


Abbildung 3

  • Eingabe der Punkte A, B und C
    (Abbildung 4, 5)


Abbildung 4


Abbildung 5

  • Nach kurzer Berechnung aller relevanter Daten:

  • Auswahl der interessierenden Angaben

    • Beispiel: Seitenlänge
      In der Ausgabe wird angezeigt, in welcher Liste die Angaben gespeichert wurden. Zumeist sind das die Listen 6 und 5. Sollten die Listen im Display nicht ganz zu lesen sein, können die Listen im Stat − Edit − Menü konsultiert werden. Dazu weiter unten mehr.

    • Beispiel: Winkel


Abbildung 6


Abbildung 7


Abbildung 8


Abbildung 9

  • Beispiel: Umkreis
    Wie in und anderen zu sehen ist, wird immer auch das Quadrat der Längen angegeben. Damit können gegebenenfalls die exakteren Werte verwendet werden.
    Das Programm GEOMETRI.82G sollte so sicher sein, dass Fälle in denen keine Lösungen möglich sind, automatisch erkennt und anzeigt. In diesen Fällen sollte der Benutzer nochmals die eingegebenen Werte überprüfen bzw. über den Sinn der Berechnung nachdenken.


Abbildung 10


Abbildung 11


Abbildung 12

  • Übersicht über das vollständige Menü
    Anmerkungen:

    • Inkreis im Moment noch unfertig (liefert falsche Ergebnisse)

    • Ebenengleichung noch unfertig (liefert keine Ergebnisse)


Abbildung 13



Abbildung 14


  • Das Beenden der Anzeige der Ergebnisse ist auf zweierlei Weisen möglich. Sie kehren in s Display zurück.
    Danach können die gespeicherten Listen kontrolliert werden. Da sind die vollständigen Werte zu sehen.


Abbildung 15


Abbildung 16

  • Die folgenden Listen gehören zur Berechnung der Seitenlängen. Um die Listen zu sehen, wählen Sie + Edit. Wie auch in Abbildung 6 zu erkennen ist, enthält L6 die Seitenlängen und L5 deren Quadrate.


Abbildung 17


Abbildung 18

  • Sollte die Liste L1 nicht beschädigt sein, ist es möglich, die Anzeige der Ergebnisse fortzusetzen ohne die Eckpunkte nochmals einzugeben.
    Starten Sie dazu einfach das Programm prgmZOUTDREI.


Abbildung 19


Abbildung 20


Gleichung des Umkreises: (x − 6,5)2 + (y − 2)2 = 21,25
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b Anzahl der Punkte: 2
siehe Abbildung 21
Begründung
Koordinaten eines solchen Punktes P: P1(5,5; 6,5; 0) bzw. P2(7,5; − 2,5; 0)
Aufgrund der bereits nachgewiesenen Eigenschaften des Dreiecks, bietet es sich an, den Satz des Thales zur Lösung zu verwenden. Bilden wir die Mittelsenkrechte, finden wir y `=` - 9 over 2 x `+`125 over 4 und suchen Schnittpunkte mit dem Umkreis, kommen wir auf die Gleichung ( x `-`6,5)^2`+`(- {9 over 2} x `+`117 over 4)^2 `=` 85 over 4, die wir mit dem GTR lösen könnten solve((X-6.5)²+(-4.5X+29.25)²-21.25,X,Startwert). Wählen wir den Startwert so, dass er einmal links und einmal rechts des Umkreismittelpunktes liegt, so finden wir die entsprechenden x-Werte.
Eine elegantere Lösungsidee finden Sie im Script (Pdf-Format) von Christian Moeller.
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c Ansatz für Koordinaten des Punktes D
Spieglung von B an |AC| − Einschränkung auf x-y-Ebene möglich
  1. vec OD `=`vec OB `+`2 cdot vec AC^"*"_ {"" ortho ""} mit Normierung von vec AC^"*"_ {"" ortho ""} `=` {vec AC_ {"" ortho ""}} over {lline vec AC_ {"" ortho ""} rline } und Skalierung s= des Abstandes von B zu gAC: z. B. vec {AC^"*"_ {"" ortho ""}} `=` {left ( stack {-2 # 9} right )} over {sqrt 85} mit GTR prgmGEOMETRI

  2. ohne Normierung und mit Reduzierung auf die Ebene:
    vec {AC^"#"_ {"" ortho ""}} `=` {left ( stack {-2 # 9} right )} und Gleichsetzen der Geradengleichungen gAC und gBD vec OB `+`s cdot vec {AC_{"" ortho ""}} `=`vec OA `+`t cdot vec AC folgt s = 2/5 und t = 4/5 (z. B. GTR prgmLINEARGS) und vec OD `=`vec OB `+`2 cdot 2 over 5 vec {AC^"#"_{"" ortho ""}}

  3. oder zwei Kreise um A und C durch B:
    68 `=`(x`-`2)^2`+`(y`-`1)^2 newline 17 `=`(x`-`11)^2`+`(y`-`3)^2 und Lösung des Gleichungssystems


Koordinaten des Punktes D: D(8,4; 6,2; 0)

Abbildung 21

Abbildung 22

Abbildung 23


Abbildung 24


2
d Volumen der Pyramide ABCS
Der Flächeninhalt der Grundfläche ist bekannt: 17 FE, die Höhe beträgt 8 LE, da Dreieck ABC in der x-y-Ebene liegt. Außerdem befindet sich S über C.
Vgesamt = 1/3 × 17 × 8 = 2/3 × 17 × 4
Ansatz für Volumen des Pyramidenstumpfes
VSpitze = 1/3 × ¼ 17 × 4, da die Kanten des Dreiecks A'B'C' jeweils halb so lang sind, wie die Originallängen, muss die Fläche des Dreiecks A'B'C' ¼ von 17 betragen.
VStumpf = Vgesamt − VSpitze = (2/3 − 1/12) × 17 × 4 = 7/12 × 17 × 4
Volumen V des Pyramidenstumpfes: V = 119/3
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