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Teil D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:

  1. Ansatz für Lage
    Aussage für t = 6/19: die Gerade g liegt in der Ebene Et
    Aussage für alle anderen t: die Gerade g verläuft parallel zur entsprechenden Ebene Et

    3 BE

  2. Ansatz für Gleichung der Ebene der Fahrbahn der B 174
    Gleichung dieser Ebene E6/7
    Durchfahrtshöhe: 7 m

    3 BE

  3. Ansatz für Gleichung der Ebene der Rampe Gleichung der Ebene der Rampe
    Ansatz für Anhebungshöhe
    Anhebungshöhe der S 228: 2 m

  4. 4 BE

Lösungen

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Teil D2

a

Lagebeziehung g und Et:

vec x ~=~left ( stack{x # y# z} right )~=~left ( alignr stack{-30 # 58 # -5} right ) ~+~ s %cdot ` left ( stack{3 # 1 # 0} right ) in Et:

(-6 + 7t)(-30 + 3s) + (18 - 21t)(58 + s) + 180(-5) = -516 + 1232 t => t = 6/19
Interpretation des Ergebnisses: für t = 6/19 ist Gerade g in Et enthalten, sonst verläuft die Gerade echt parallel zu Et

b

P liegt in Et => (-6 + 7t)*(-19) + (18 - 21t) * 55 + 180 * 3 = -516 + 1232 t
nach Lösung der Gleichung: t = 6/7 und E6/7: 180·z = 540 (für die B 174);

diese Straße verläuft parallel zur x-y-Ebene des Koordinatensystems und hat eine Höhe von z = 3 m; für die Gerade findet man die (konstante) Höhe z = -5 m; abzüglich der Stärke der Brücke ergibt sich die Durchfahrthöhe: h = 7 m

c

Lösungsidee: gesucht ist ein t*, so dass die Ebene Et* zur z-Achse den vorgegebenen Winkel erhält, die Gerade g* liegt dann in dieser Ebene, ist und hat lediglich die Form: g*: vec x ~=~left ( stack{x # y# z} right )~=~left ( alignr stack{-30 # 58 # -5} right ) ~+~ s %cdot ` left ( stack{3 # 1 # 0} right )

Lösung:
Normalenvektor der Ebene Et: vec n ~=~ left ( stack{-6`+`7t # 18`-`21t# 180} right ) und dem
Ansatz für t*: cos 2,86° ~=~ {vec n cdot vec e_z} over left lline vec n right rline mit ist der Einheitsvektor in z-Richtung folgt: cos 2,86° ~=~ 180 over {sqrt{70 cdot (7 t^2 `-`12 t `+`468)}} und t*1 = 0.450906; t*2 = 1.26337

Daraus ergibt sich Ebene Et*1:
(-6 + 7·0.450906)·x + (18 - 21·0.450906)·y + 180·z = -516 + 1232·0.450906
- 2.84365·x + 8.53097·y + 180·z = 39.5161
und mit Gerade g*:
- 2.84365·(-30 + 3·s) + 8.53097·(58 + s) + 180·z = 39.5161
und nach Vereinfachung:
z » -3,00 m

Damit muss die Straße um 2 Meter angehoben werden.

Anmerkung: Für t*2 ergibt sich z » 9,00 m -> als Höhe der Straße unbrauchbar.

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/


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