LK - 1999 - Aufgabe B: Lösungen, Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Nachweis, dass Punkt A nicht auf der Geraden g liegt
Ansatz für Gleichung der Ebene E
Gleichung der Ebene E: 2x-y+3z=-8
Ansatz für Schnittwinkel
Schnittwinkel: = 18,0°
Untersuchung auf Parallelität
Untersuchung auf gemeinsame Punkte
Nachweis der Lagebeziehung

8 BE
Ansatz für Gleichschenkligkeit
Wert des Parameters in der Gleichung der Geraden
Koordinaten des Punktes C: C (¼; 5/8; -21/8)

3 BE
Ansatz für Nachweis der Schnittgerade
Nachweis, dass die Gerade h in jeder Ebene E, liegt
Ansatz für Parameter a₁
Parameter a₁: a₁ = (7a₂ - 38)/(2a₂ - 7)

4 BE

Lösungen

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	Teil B
a	A nicht auf g => A und zwei bel. Punkte P₁ und P₂ aus g sind nicht kollinear und legen somit die Ebene E eindeutig fest z. B. P₁ = (3 \| 2 \| –4) und P₂ = (1 \| 1 \| -3) => $vec {P_1 A}$ = (3 \| 0 \| -2); = $vec {P_2 A}$ (5 \| 1 \| -3) und E: = + k $vec {P_1 A}$ + l $vec {P_2 A}$ (Lösung mittels GTR: prgmGEOMETRI ist zwar nicht erlaubt, bringt aber schnell: E: 2x - y + 3z = -8) Schnittwinkel: Normalenvektor der Ebene: = (2 \| -1 \| 3) und Richtungsvektor der Gerade h ergeben mit $%alpha ~=~ sin^-1 {vec n %cdot vec r} over {lline vec n rline lline vec r rline }$ = 17,8° g und h sind windschief, da deren Richtungsvektoren nicht parallel sind und sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben
b	Ansatz: I: und II: $vec x_C ~=~ left ( alignr stack {3#2#-4} right ) `+`t_c cdot left ( alignr stack {2#1#-1} right )$ folgt I': $lline left ( alignr stack {6#2#-6} right ) `-` vec x_C rline ~=~ lline left ( alignr stack {-1#-5#1} right ) `-` vec x_C rline$ und t_C = -11/8 und
c	h Ç E_a: (-5 + a)(-1 + k) + (2 - a)(-5 + k) - 3(1 - k) = -8 + 4a => -8 + 4a = -8 + 4a => h Ì E_a Stellungsvektor von E_a: $vec n_a ~=~ left ( alignl stack {-5 + a # -2 + a # -3} right )$ für a₁ ¹ a₂ gilt: E_a1 ^ E_a2 und $vec n_{a_1} cdot vec n_{a_2} ~=~0$ es folgt: (-5 + a₁)(-5 + a₂) + (-2 + a₁)(-2 + a₂) + 9 = 0 und $a_1 ~=~ {7a_2`-`38} over {2 a_2 `-`7}$

Teil B

A nicht auf g => A und zwei bel. Punkte P₁ und P₂ aus g sind nicht kollinear und legen somit die Ebene E eindeutig fest
z. B. P₁ = (3 | 2 | –4) und P₂ = (1 | 1 | -3)
=> $vec {P_1 A}$ = (3 | 0 | -2); = $vec {P_2 A}$ (5 | 1 | -3) und
E: = + k $vec {P_1 A}$ + l $vec {P_2 A}$
(Lösung mittels GTR: prgmGEOMETRI ist zwar nicht erlaubt, bringt aber schnell:
E: 2x - y + 3z = -8)

Schnittwinkel: Normalenvektor der Ebene: = (2 | -1 | 3) und Richtungsvektor der Gerade h ergeben mit $%alpha ~=~ sin^-1 {vec n %cdot vec r} over {lline vec n rline lline vec r rline }$ = 17,8°

g und h sind windschief, da deren Richtungsvektoren nicht parallel sind und sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben

Ansatz:
I: und II: $vec x_C ~=~ left ( alignr stack {3#2#-4} right ) `+`t_c cdot left ( alignr stack {2#1#-1} right )$ folgt
I': $lline left ( alignr stack {6#2#-6} right ) `-` vec x_C rline ~=~ lline left ( alignr stack {-1#-5#1} right ) `-` vec x_C rline$ und t_C = -11/8 und left ( alignr stack {1 over 4 # 5 over 8 # - {21 over 8}} right )

h Ç E_a:
(-5 + a)(-1 + k) + (2 - a)(-5 + k) - 3(1 - k) = -8 + 4a => -8 + 4a = -8 + 4a => h Ì E_a

Stellungsvektor von E_a: $vec n_a ~=~ left ( alignl stack {-5 + a # -2 + a # -3} right )$ für a₁ ¹ a₂ gilt: E_a1 ^ E_a2 und $vec n_{a_1} cdot vec n_{a_2} ~=~0$ es folgt: (-5 + a₁)(-5 + a₂) + (-2 + a₁)(-2 + a₂) + 9 = 0 und $a_1 ~=~ {7a_2`-`38} over {2 a_2 `-`7}$

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/

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