Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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  1. Nachweis, dass Punkt A nicht auf der Geraden g liegt
    Ansatz für Gleichung der Ebene E
    Gleichung der Ebene E: 2x-y+3z=-8
    Ansatz für Schnittwinkel
    Schnittwinkel: = 18,0°
    Untersuchung auf Parallelität
    Untersuchung auf gemeinsame Punkte
    Nachweis der Lagebeziehung

    8 BE

  2. Ansatz für Gleichschenkligkeit
    Wert des Parameters in der Gleichung der Geraden
    Koordinaten des Punktes C: C (¼; 5/8; -21/8)

    3 BE

  3. Ansatz für Nachweis der Schnittgerade
    Nachweis, dass die Gerade h in jeder Ebene E, liegt
    Ansatz für Parameter a1
    Parameter a1: a1 = (7a2 - 38)/(2a2 - 7)

    4 BE

Lösungen

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Teil B

a

A nicht auf g => A und zwei bel. Punkte P1 und P2 aus g sind nicht kollinear und legen somit die Ebene E eindeutig fest
z. B. P1 = (3 | 2 | –4) und P2 = (1 | 1 | -3)
=> vec {P_1 A}= (3 | 0 | -2); =vec {P_2 A} (5 | 1 | -3) und
E: = + kvec {P_1 A}+ lvec {P_2 A}
(Lösung mittels GTR: prgmGEOMETRI ist zwar nicht erlaubt, bringt aber schnell:
E: 2x - y + 3z = -8)

Schnittwinkel: Normalenvektor der Ebene: = (2 | -1 | 3) und Richtungsvektor der Gerade h ergeben mit %alpha ~=~ sin^-1 {vec n %cdot vec r} over {lline vec n rline lline vec r rline }= 17,8°

g und h sind windschief, da deren Richtungsvektoren nicht parallel sind und sie keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben

b

Ansatz:
I: und II: vec x_C ~=~  left ( alignr stack {3#2#-4} right )  `+`t_c cdot left ( alignr stack {2#1#-1} right ) folgt
I': lline  left ( alignr stack {6#2#-6} right ) `-` vec x_C rline ~=~ lline  left ( alignr stack {-1#-5#1} right ) `-` vec x_C rline und tC = -11/8 und left ( alignr stack {1 over 4 # 5 over 8 # - {21 over 8}} right )

c

h Ç Ea:
(-5 + a)(-1 + k) + (2 - a)(-5 + k) - 3(1 - k) = -8 + 4a => -8 + 4a = -8 + 4a => h Ì Ea

Stellungsvektor von Ea: vec n_a ~=~ left ( alignl stack {-5 + a # -2 + a # -3} right ) für a1 ¹ a2 gilt: Ea1 ^ Ea2 und vec n_{a_1} cdot vec n_{a_2} ~=~0 es folgt: (-5 + a1)(-5 + a2) + (-2 + a1)(-2 + a2) + 9 = 0 und a_1 ~=~ {7a_2`-`38} over {2 a_2 `-`7}

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