Teil A: Analysis

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Der Erstkorrektor teilt den Zweit- und Drittkorrektoren als Sachinformation die von den Prüfungsteilnehmern verwendeten GTR-Typen mit

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen von Funktionen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Definitionsbereich: Df = {x | x g þ, x <> 2}
    Nullstellen: xN1 = 0, xN2 = 8/3
    Verhalten im Unendlichen: lim f( x ) = 3 für x -> +/- inf
    Koordinaten des Extrempunktes: Pmax (4; 4)

    4 BE

  2. 1. Ableitung
    Gleichung einer Tangente durch O(0; 0): y = – 2x (x g þ)
    Ansatz für Gleichung der weiteren Tangente
    Berührungsstelle
    Gleichung der weiteren Tangente: y = 1,125 x (x g þ)

    5 BE

  3. Zielfunktion
    Extremstelle
    Koordinaten des Punktes Pu: Pu (3,50; 3,89)
    Flächeninhalt: » 25,28

    4 BE

  4. Schnittstelle des Graphen der Funktion f mit der Geraden y = 3
    ein Flächeninhalt
    Schnittstellen des Graphen der Funktion f mit der Geraden y = 3,5
    zweiter Flächeninhalt und Verhältnis: =1: 2,5

    4 BE

  5. Ansatz für Nachweis Nachweis für a = 6
    1. Ableitung
    Extremstelle in Abhängigkeit von a
    Wert für a: a = 12
    2. Ableitung Ansatz für Wert a
    Wert für a: a = 3

    8 BE

Lösungen

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Teil A

a

f(x) -> Y1 auf GTR

DB: Df

NST: 0 = 3x02 - 8 x0 = x0 (3x0 - 8) => x01 = 0 und x02 = 8/3

Verhalten im Unendlichen

lokale Extrema mit GTR:
f'(xe) = 0 => solve(nDerive(Y1, X, X), X, 4) -> 4
f (xe) => Y1(4) -> 4
EMax(4 | 4)
und Nachweis lok. Extrema:
f''(xe) => nDerive(nDerive(Y1, X, X), X, 4) -> -.5 => lokales Maximum und keine weiteren lok. Extrema, aufgrund des Verhaltens im Unendlichen und des Monotonieverhaltens

b

Tangente durch O => t: y = mx + n und n = 0
Anstieg m = f'(xt) mit Berührungsstelle xt g Df
f'(x) = (-4x + 16)/((x - 2)3) {Quotientenregel}
Ansatz für Tangente:
f(xt) = f'(xt) xt
{0 = {3`x_t ^2 `- ` 8 x_t} over {(x_t`-`2)^2} `+ `{(4`x_t ^2 `- ` 16) %cdot x_t} over {(x_t`-`2)^3}}~~ divides {%cdot (x_t`-`2)^3} => 0 = xt2 (3xt - 10)
=> xt1 = 0 und xt2 = 10/3
=> t1: y = -2x und t2: y = 9/8 x

c

Zielfunktion: A(u) = (10 - u) f(u) = (10 - u) ( 3u2 - 8u) / (u - 2)2

Ansatz Extremstelle ue: A'(ue) = 0
GTR: solve(nDerive((10-X)Y1(X),X,X),X,4) -> ue = 3.4978

Pu (3,4978 | 3,8876)

A(ue) = 25,2778 FE

d

Schnittstellen mittels GTR:
solve(Y1-3,X,3) -> xS3 = 3

solve(Y1-3.5,X,3) -> xS 3,5 | 1 = 3,1716 (speichere auf Variable A) und
solve(Y1-3.5,X,10) -> xS 3,5 | 2 = 8,8284 (speichere auf B)

A1 = F(B) - F(A) - 3,5 (B - A) = 1,3941 FE
A2 = F(10) - F(3) - 3 * 7 = 3,4236 FE

A1/A2 = 0,4072

e

f'a (x) = (-12x + ax + 2a) / (x - 2)3

f'a (xe) = 0 => 0 = -12x + axe + 2a => xe = -2a / (a - 12)
für a = 6 ist xe = 2 nicht Element des Definitionsbereichs
für a = 12 führt f'12 (xe) = 0 zu einem Widerspruch

Ansatz Wendestelle xW = 0: f''a (0) = 0 =>
z. B. mit GTR: solve(nDerive(nDerive(fa(x),X,X),X,0),A,8) -> a=3

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/