Teil A: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
f(x) = 
;
größtmöglicher Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten
im Unendlichen; Koordinaten des lokalen Extrempunktes; zwei Tangenten
durch (0; 0); achsenparallelen Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt;
-> Fläche vollständig begrenzt und in zwei Teilflächen
zerlegt -> Verhältnis der Flächeninhalte;
lokale Extrema und Wendestelle
Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
Gegeben sind: Punkte A, B, Geraden g und h
sowie eine Ebenenschar Ea; Ebene E durch g und A eindeutig
bestimmt, E in parameterfreier Form, Schnittwinkel zwischen h und E;
Nachweis g und h sind windschief; C? auf g mit Dreieck ABC ist
gleichschenklig; h ist Schnittgerade aller Ebenen Ea
und 
stehen aufeinander senkrecht
Teil C: Stochastik |
Erwartungsbild --- home |
Würfelrunde - Gewinnwahrscheinlichkeit; Eignungstest - Wahrscheinlichkeit von vorgegebenen Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit; Näherungsverfahrens von MOIVRE-LAPLACE
Aufgabe D1: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
fa (x) = a²x – In x; Ortskurve der lokalen Extrempunkte; genau eine Nullstelle; Tangente ta durch den Koordinatenursprung, Berührungspunkt Ba und Punkt Pa bestimmen ein Dreieck -> zu ermitteln ist a, für den das zugehörige Dreieck den Flächeninhalt 5 hat
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
Ausbau einer Bundesstraße - Fahrbahn und Rampe - Ebenenschar
Teil A: Analysis |
Gegeben ist die Funktion f durch y=f(x) =
(x
Df).
Bestimmen Sie den größtmögliche
Definitionsbereich der Funktion f, geben Sie deren Nullstellen an und
untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen.
Geben Sie für die Funktion f die Koordinaten des lokalen
Extrempunktes an.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Es existieren genau zwei
Tangenten an den Graphen der Funktion f, die durch den
Koordinatenursprung O (0; 0) verlaufen.
Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine
Gleichung.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Für jedes u (u
,
<
u < 10) sind die Punkte Q (10; 0) und Pu (u; f(u))
Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Unter diesen Rechtecken
gibt es genau eines mit maximalem Flächeninhalt.
Ermitteln Sie für diesen Fall die Koordinaten des Punktes Pu
und den Flächeninhalt des Rechtecks.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Die Funktion F mit(x
,
x > 2)
ist eine Stammfunktion der Funktion f für x > 2.
Durch den Graphen der Funktion f und die Geraden mit den Gleichungen
y = 3 und x = 10 wird eine Fläche vollständig
begrenzt. Diese Fläche wird durch die Gerade mit der Gleichung y
=
in zwei Teilflächen zerlegt.
Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser
Teilflächen.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Für jedes a (a
,
a > 0) ist eine Funktion fa durch y =
(x
)
gegeben.
Zeigen Sie, dass der Graph
der Funktion fg keine lokalen Extrempunkte besitzt. Untersuchen Sie,
ob es weitere Werte a gibt, für die die Funktion f, keine lokalen
Extrempunkte besitzt.
Ermitteln Sie den Wert für a, für den der Graph der
Funktion fa bei xw = 0 eine Wendestelle hat.
Erreichbare BE-Anzahl: 8
Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
die Punkte A (6; 2; – 6) und B (-1; -5; 1), die Gerade g mit
(t )
und
die Gerade h mit 
(k )
sowie
eine Ebenenschar Ea durch (-5 + a) x + (2 - a) y – 3 z =
-8 + 4a (a ,
a 
)
gegeben.
Weisen Sie nach, dass durch den Punkt A
und die Gerade g eine Ebene E eindeutig bestimmt wird.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form.
Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden h und der Ebene
E.
Weisen Sie nach, dass die Geraden g und h windschief zueinander sind.
Erreichbare BE-Anzahl: 8
Auf der Geraden g gibt es genau einen
Punkt C, so dass das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit der
Basis 
ist.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Zeigen Sie, dass die Gerade h
Schnittgerade aller Ebenen der Ebenenschar Ea ist.
Zwei Ebenen
und
der Ebenenschar Ea stehen aufeinander senkrecht.
Ermitteln Sie für diesen Fall den Parameter a1 in
Abhängigkeit vom Parameter a2.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Test C: Stochastik |
Im Rahmen eines Projektes im Mathematikunterricht beobachten Schüler der Jahrgangsstufe 12 die folgenden Sachverhalte und werten diese aus.
In einer Freistunde würfeln Anne, Britta und Claudius. Sie nutzen einen idealen Würfel und würfeln in alphabetischer Reihenfolge. Bei einer Würfelrunde würfelt jeder höchstens einmal, sie ist aber zu Ende, wenn ein Teilnehmer die ”1” würfelt und damit die Runde gewinnt. Wird in einer Runde keine ”1” gewürfelt, gibt es für diese Runde keinen Gewinner. Die Mitschüler der Jahrgangsstufe 12 bezweifeln, dass dieses Spiel gerecht ist. Geben Sie jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeit für die drei Spieler an und äußern Sie sich zum Charakter des Spieles.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
In einer Pause unterhalten sich Schüler
über die Aussagekraft von Eignungstests. Von einem solchen Test
ist folgendes bekannt. Von den für die Stelle ungeeigneten
Bewerbern wurden 96% richtig, von den geeigneten aber 7% falsch
eingestuft. 92% aller Bewerber waren für die Stelle geeignet.
Die Schüler interessiert jeweils die Wahrscheinlichkeit
folgender Ereignisse:
Ereignis D: Ein zufällig ausgewählter Bewerber wird als
geeignet eingestuft.
Ereignis E: Ein als ungeeignet eingestufter Bewerber ist geeignet.
Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeiten.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Von der für die Lehrbuchversorgung
verantwortlichen Lehrerin erfuhren die Schüler, dass
erfahrungsgemäß 95% der neu erworbenen Mathematikbücher
für den nächsten Jahrgang ein weiteres Mal verwendet werden
können. Die Schüler interessiert nun, wie groß unter
dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass von
den 200 neu ausgegebenen Lehrbüchern für Stochastik
mindestens 196 wieder verwendet werden können.
Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Eine Fotoagentur will Freundschaftsbilder von jedem Schüler des Gymnasiums anfertigen und verkaufen. Sie geht davon aus, dass die Zahl der Käufer unter den 820 Schülern binomialverteilt ist mit einer ihr bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit p und erwartet deshalb, dass 779 Schüler die Fotos kaufen. Die Schüler der Jahrgangsstufe 12 hinterfragen das Kaufverhalten und ermitteln, dass mehr als 53 der insgesamt 820 Schüler die Bilder nicht kaufen werden. Berechnen Sie (ausgehend von der Annahme der Fotoagentur) unter Nutzung des Näherungsverfahrens von MOIVRE-LAPLACE die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 53 der insgesamt 820 Schüler die Bilder nicht kaufen.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.
Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad) |
Gegeben sind die Funktionen fa
durch y = fa (x) = a²x – In x (a
,
a > 0; x ,
x > 0).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle lokalen Extrempunkte der Graphen der Funktionen fa liegen.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Zeigen Sie, dass es genau eine Funktion fa
gibt, die genau eine Nullstelle besitzt.
Ermitteln Sie diese Nullstelle.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Für jedes a existiert eine Tangente
ta an den Graphen der Funktion fa, die durch
den Koordinatenursprung verläuft.
Der Koordinatenursprung, der Berührungspunkt Ba (xBa;
f(xBa)) dieser Tangente mit dem Graphen der Funktion fa
und der Punkt Pa (xBa; 0) bestimmen ein
Dreieck.
Ermitteln Sie den Wert a, für den das zugehörige Dreieck
den Flächeninhalt 5 hat.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
Für den Ausbau der Bundesstraße B
174 wurde zur Ortsumgehung der Stadt Zschopau eine Brücke gebaut.
Diese überquert u.a. die Staatsstraße S 228 und den Fluss
Zschopau (vgl. Skizze). Der Fahrbahnrand der S 228 kann in dem
betrachteten Abschnitt in einem kartesischen Koordinatensystem (1 LE
entspricht 1 m) näherungsweise durch die Gerade g mit der Gleichung
(s )
beschrieben werden.
Die Fahrbahn der B 174 liegt in dem betrachteten Abschnitt näherungsweise
in einer der Ebenen Et mit der Gleichung (-6 + 7t)x + (18 -
21t)y + 180z = -516 + 1232 t (t )
Alle Ebenen Et schneiden sich in ein und derselben Geraden.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden g zu den Ebenen Et.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Der Punkt P (-19; 55; 3) befindet sich
auf der Fahrbahn der B 174.
Berechnen Sie die Durchfahrtshöhe für die Fahrzeuge auf der
S 228, wenn die Fahrbahnen der B 174 und der S 228 in zueinander
parallelen Ebenen liegen und die Stärke der Brücke
(einschließlich Fahrbahnbelag) 1 Meter beträgt.
Hinweis: Die in Aufgabenteil c) beschriebene Anhebung
der Fahrbahn der S 228 soll hier nicht berücksichtigt werden.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Die Fahrbahn der Rampe zur Abfahrt von der B 174 mündet rechtwinklig auf die S 228 und kann ebenfalls näherungsweise durch eine der Ebenen Et beschrieben werden. Um die gesetzlich vorgeschriebene höchstmögliche Neigung der Rampe von 2,86 ° gegenüber der Fahrbahn der B 174 einzuhalten, musste die Fahrbahn der S 228 parallel zur alten Straßenführung in Richtung der z-Achse angehoben werden. Der ursprünglich der Geraden g entsprechende Fahrbahnrand kann nun durch die Gerade g* beschrieben werden (vgl. Skizze).
Ermitteln Sie, um wie viel Meter die Fahrbahn der S 228 mindestens
angehoben werden musste.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Tabelle der Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung
Finden Sie Fehler oder haben Sie Fragen?mathe@org.dz.shuttle.de
Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/
