Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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f(x) = {3`x^2`-`8x} over {(x`-`2)^2}; größtmöglicher Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen; Koordinaten des lokalen Extrempunktes; zwei Tangenten durch (0; 0); achsenparallelen Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt; -> Fläche vollständig begrenzt und in zwei Teilflächen zerlegt -> Verhältnis der Flächeninhalte;y~=~f_a`(x)~=~{3`x^2`- `a`x} over {(x`-`2)^2} lokale Extrema und Wendestelle

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Gegeben sind: Punkte A, B, Geraden g und h sowie eine Ebenenschar Ea; Ebene E durch g und A eindeutig bestimmt, E in parameterfreier Form, Schnittwinkel zwischen h und E; Nachweis g und h sind windschief; C? auf g mit Dreieck ABC ist gleichschenklig; h ist Schnittgerade aller Ebenen Ea E_{a_1} und E_{a_1} stehen aufeinander senkrecht

Teil C: Stochastik

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Würfelrunde - Gewinnwahrscheinlichkeit; Eignungstest - Wahrscheinlichkeit von vorgegebenen Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit; Näherungsverfahrens von MOIVRE-LAPLACE

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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fa (x) = a²x – In x; Ortskurve der lokalen Extrempunkte; genau eine Nullstelle; Tangente ta durch den Koordinatenursprung, Berührungspunkt Ba und Punkt Pa bestimmen ein Dreieck -> zu ermitteln ist a, für den das zugehörige Dreieck den Flächeninhalt 5 hat

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Ausbau einer Bundesstraße - Fahrbahn und Rampe - Ebenenschar


Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material Stochastik

Teil A: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y=f(x) = {3`x^2`-`8x} over {(x`-`2)^2} (x{short description of image}Df).

  1. Bestimmen Sie den größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f, geben Sie deren Nullstellen an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen.
    Geben Sie für die Funktion f die Koordinaten des lokalen Extrempunktes an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Es existieren genau zwei Tangenten an den Graphen der Funktion f, die durch den Koordinatenursprung O (0; 0) verlaufen.
    Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine Gleichung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Für jedes u (u Element reeller Zahlen, 8 over 3< u < 10) sind die Punkte Q (10; 0) und Pu (u; f(u)) Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Unter diesen Rechtecken gibt es genau eines mit maximalem Flächeninhalt.
    Ermitteln Sie für diesen Fall die Koordinaten des Punktes Pu und den Flächeninhalt des Rechtecks.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Die Funktion F mit(x Element reeller Zahlen, x > 2)
    ist eine Stammfunktion der Funktion f für x > 2.
    Durch den Graphen der Funktion f und die Geraden mit den Gleichungen y = 3 und x = 10 wird eine Fläche vollständig begrenzt. Diese Fläche wird durch die Gerade mit der Gleichung y =7 over 2 in zwei Teilflächen zerlegt.
    Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a > 0) ist eine Funktion fa durch y =y~=~f_a`(x)~=~{3`x^2`- `a`x} over {(x`-`2)^2} (x Element von BOLD D_size*1.5{f_size*1.5a}) gegeben.

  1. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion fg keine lokalen Extrempunkte besitzt. Untersuchen Sie, ob es weitere Werte a gibt, für die die Funktion f, keine lokalen Extrempunkte besitzt.
    Ermitteln Sie den Wert für a, für den der Graph der Funktion fa bei xw = 0 eine Wendestelle hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 8

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (6; 2; – 6) und B (-1; -5; 1), die Gerade g mit vec x ~=~left ( alignr stack{3 # 2 # -4}  right )  ~+~ t %cdot ` left ( alignr stack{2 # 1 # -1}  right ) (t Element reeller Zahlen) und
die Gerade h mit vec x ~=~left ( alignr stack{3 # 2 # -4}  right )  ~+~ t %cdot ` left ( alignr stack{2 # 1 # -1}  right ) (k Element reeller Zahlen) sowie
eine Ebenenschar Ea durch (-5 + a) x + (2 - a) y – 3 z = -8 + 4a (a Element reeller Zahlen, a {short description of image}7 over 2) gegeben.

  1. Weisen Sie nach, dass durch den Punkt A und die Gerade g eine Ebene E eindeutig bestimmt wird.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form.
    Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden h und der Ebene E.
    Weisen Sie nach, dass die Geraden g und h windschief zueinander sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 8

  2. Auf der Geraden g gibt es genau einen Punkt C, so dass das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis Strecke AB ist.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Zeigen Sie, dass die Gerade h Schnittgerade aller Ebenen der Ebenenschar Ea ist.
    Zwei Ebenen E_{a_1} und E_{a_1} der Ebenenschar Ea stehen aufeinander senkrecht.
    Ermitteln Sie für diesen Fall den Parameter a1 in Abhängigkeit vom Parameter a2.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Test C: Stochastik

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Im Rahmen eines Projektes im Mathematikunterricht beobachten Schüler der Jahrgangsstufe 12 die folgenden Sachverhalte und werten diese aus.

  1. In einer Freistunde würfeln Anne, Britta und Claudius. Sie nutzen einen idealen Würfel und würfeln in alphabetischer Reihenfolge. Bei einer Würfelrunde würfelt jeder höchstens einmal, sie ist aber zu Ende, wenn ein Teilnehmer die ”1” würfelt und damit die Runde gewinnt. Wird in einer Runde keine ”1” gewürfelt, gibt es für diese Runde keinen Gewinner. Die Mitschüler der Jahrgangsstufe 12 bezweifeln, dass dieses Spiel gerecht ist. Geben Sie jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeit für die drei Spieler an und äußern Sie sich zum Charakter des Spieles.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. In einer Pause unterhalten sich Schüler über die Aussagekraft von Eignungstests. Von einem solchen Test ist folgendes bekannt. Von den für die Stelle ungeeigneten Bewerbern wurden 96% richtig, von den geeigneten aber 7% falsch eingestuft. 92% aller Bewerber waren für die Stelle geeignet.
    Die Schüler interessiert jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    Ereignis D: Ein zufällig ausgewählter Bewerber wird als geeignet eingestuft.
    Ereignis E: Ein als ungeeignet eingestufter Bewerber ist geeignet.
    Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeiten.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Von der für die Lehrbuchversorgung verantwortlichen Lehrerin erfuhren die Schüler, dass erfahrungsgemäß 95% der neu erworbenen Mathematikbücher für den nächsten Jahrgang ein weiteres Mal verwendet werden können. Die Schüler interessiert nun, wie groß unter dieser Voraussetzung die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass von den 200 neu ausgegebenen Lehrbüchern für Stochastik mindestens 196 wieder verwendet werden können.
    Ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Eine Fotoagentur will Freundschaftsbilder von jedem Schüler des Gymnasiums anfertigen und verkaufen. Sie geht davon aus, dass die Zahl der Käufer unter den 820 Schülern binomialverteilt ist mit einer ihr bekannten Erfolgswahrscheinlichkeit p und erwartet deshalb, dass 779 Schüler die Fotos kaufen. Die Schüler der Jahrgangsstufe 12 hinterfragen das Kaufverhalten und ermitteln, dass mehr als 53 der insgesamt 820 Schüler die Bilder nicht kaufen werden. Berechnen Sie (ausgehend von der Annahme der Fotoagentur) unter Nutzung des Näherungsverfahrens von MOIVRE-LAPLACE die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 53 der insgesamt 820 Schüler die Bilder nicht kaufen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind die Funktionen fa durch y = fa (x) = a²x – In x (a Element reeller Zahlen, a > 0; x Element reeller Zahlen, x > 0).

  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle lokalen Extrempunkte der Graphen der Funktionen fa liegen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Zeigen Sie, dass es genau eine Funktion fa gibt, die genau eine Nullstelle besitzt.
    Ermitteln Sie diese Nullstelle.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Für jedes a existiert eine Tangente ta an den Graphen der Funktion fa, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
    Der Koordinatenursprung, der Berührungspunkt Ba (xBa; f(xBa)) dieser Tangente mit dem Graphen der Funktion fa und der Punkt Pa (xBa; 0) bestimmen ein Dreieck.
    Ermitteln Sie den Wert a, für den das zugehörige Dreieck den Flächeninhalt 5 hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Für den Ausbau der Bundesstraße B 174 wurde zur Ortsumgehung der Stadt Zschopau eine Brücke gebaut. Diese überquert u.a. die Staatsstraße S 228 und den Fluss Zschopau (vgl. Skizze). Der Fahrbahnrand der S 228 kann in dem betrachteten Abschnitt in einem kartesischen Koordinatensystem (1 LE entspricht 1 m) näherungsweise durch die Gerade g mit der Gleichung vec x ~=~left ( alignr stack{-30 # 58 # -5}  right )  ~+~ s %cdot ` left ( alignr stack{3 # 1 # 0}  right ) (s Element reeller Zahlen) beschrieben werden.
Die Fahrbahn der B 174 liegt in dem betrachteten Abschnitt näherungsweise in einer der Ebenen Et mit der Gleichung (-6 + 7t)x + (18 - 21t)y + 180z = -516 + 1232 t (t Element reeller Zahlen)
Alle Ebenen Et schneiden sich in ein und derselben Geraden.

  1. Untersuchen Sie die Lage der Geraden g zu den Ebenen Et.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Der Punkt P (-19; 55; 3) befindet sich auf der Fahrbahn der B 174.
    Berechnen Sie die Durchfahrtshöhe für die Fahrzeuge auf der S 228, wenn die Fahrbahnen der B 174 und der S 228 in zueinander parallelen Ebenen liegen und die Stärke der Brücke (einschließlich Fahrbahnbelag) 1 Meter beträgt.
    Hinweis: Die in Aufgabenteil c) beschriebene Anhebung der Fahrbahn der S 228 soll hier nicht berücksichtigt werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Die Fahrbahn der Rampe zur Abfahrt von der B 174 mündet rechtwinklig auf die S 228 und kann ebenfalls näherungsweise durch eine der Ebenen Et beschrieben werden. Um die gesetzlich vorgeschriebene höchstmögliche Neigung der Rampe von 2,86 ° gegenüber der Fahrbahn der B 174 einzuhalten, musste die Fahrbahn der S 228 parallel zur alten Straßenführung in Richtung der z-Achse angehoben werden. Der ursprünglich der Geraden g entsprechende Fahrbahnrand kann nun durch die Gerade g* beschrieben werden (vgl. Skizze).


    Ermitteln Sie, um wie viel Meter die Fahrbahn der S 228 mindestens angehoben werden musste.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4


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Tabelle der Verteilungsfunktion der StandardnormalverteilungTabelle

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/