Teil D1: Analysis

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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  1. größtmögliche Definitionsbereich: Df = {x | x Element reeller Zahlen, x ungleich -2; x ungleich 2)
    Verhalten im Unendlichen: lim f(x) = 0

    2 BE

  2. Ansatz für Stammfunktion
    Stammfunktion
    Ansatz für Wert b
    Wert b als irrationale Zahl b: b = sqrt 13

    4 BE

  3. Ansatz für Anstieg der Geraden
    Werte für den Anstieg der Geraden: m > 0 oder m < - {1 over 3}

    2 BE

  4. Zielfunktion
    Anstieg: 0,5

    2 BE
    10 BE

Lösungen

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Teil D1

a

f`(x)~=~ 4x over {3x^2`-`12} ~=~ {4 over 3} %cdot {x over {(x`-`2)(x`+`2)}} (Y1 auf GTR)

Df = R \{-2 | 2}

=== = 0

b

Integration durch Substitution:
mit v = 3x2 - 12 und dx = dv/(6x) folgt:
F (x) = Integral f(x) nach x= int {4x over v}{dv over 6x}={2 over 3} int {1 over v `dv}=int f(x) dx ~=~ int {4x over v}{dv over 6x} ~=~ {2 over 3} int {1 over v `dv} ~=~ {2 over 3} LN (3x^2`-`12)`+`C und für den Flächeninhalt
A (b) = F (b) - F (5/2) = LN nroot 3 16
int f(x) dx ~=~ int {4x over v}{dv over 6x} ~=~ {2 over 3} int {1 over v `dv} ~=~ {2 over 3} LN (3x^2`-`12)`+`C
 LN (3b^2`-`12)`- LN 27 + 2 ln 2 ~=~ 2  ln 2
LN (3b^2`-`12) ~=~ LN 27

c

Die gesuchte Gerade y = mx hat genau dann zwei Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion f, wenn m < f' (0) und m > 0 mit m Element reeller Zahlen gilt.

f'`(x) ~=~ - {4 over 3}{x^2 `+`4} over {(x^2 `-`4)^2} => f'(0) = - 1/3 also: 0 < m und m < - 1/3 (m Element reeller Zahlen)

d

Da die Funktion f symmetrisch zum Koordinatenursprung ist (-f (x)=f (-x)), reicht es, wenn derjenige Punkt S1 gefunden wird, der dem Koordinatenursprung am nächsten kommt. Für das Quadrat des Abstandes l(x) gilt dann: l(x) = x² + f(x)²
l' (x) ~=~ 2x`-` {32`x`(x^2`+`4)} over {9`(x^2`-`4)^3} bzw.: l' (x) ~=~ 2x`-` {32`x`(x^2`+`4)} over {9`(x^2`-`4)^3}.
Die Extremstelle ergibt sich zu: xe = 2/3 Wurzel von15 = 2,5820.
Der Anstieg folgt aus mxe = f(xe) zu m = 1/2.

Einfacher ist die Lösung unter Verwendung des GTR:
zur Bestimmung von xe: solve(nDerive(X²+Y12,X,X),X,3) -> 2,581988..,
folgt ebenfalls m.

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