Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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  1. Nachweis
    Koordinaten der Schnittpunkte mit x-Achse und y-Achse: Px( – 1; 0; 0) und Py(0; 1; 0)
    Aussage zur Lage der Ebene E zur z-Achse oder zur x-y-Ebene

    3 BE

  2. Ansatz für Koordinaten des Schnittpunktes
    Koordinaten des Schnittpunktes S: S (0; 1; 4,25)
    Ansatz für Schnittwinkel
    Schnittwinkel: rund 62,1°

    4 BE

  3. Gleichung der Lotgeraden
    Wert des Parameters in der Gleichung der Lotgeraden
    Koordinaten des Punktes Q: Q (– 2; – 3; 11)
    Abstand der Punkte Q und Q’ voneinander: sqrt 8

    4 BE

  4. Ansatz für Höhe
    Höhe: 2sqrt 2
    Ansatz für Ebenengleichungen
    Ebenengleichungen: x – y = 3 bzw. x – y = – 5

    4 BE
    15 BE

Lösungen

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Teil B

a

gAB Element von E <=> A Element von E und B Element von E => Überprüfung

Px (-1 | 0 | 0), Py (0 | 1 | 0) und keine Schnittpunkte mit der z-Achse => parallel zur z-Achse mit Spurgerade y = x + 1

b

Schnittpunkt S = E Ç gDF:
g_DF :~~vec x ~=~ (ALIGNR STACK { 1 # 0 # 5 }) `+`  t`(ALIGNR STACK {-4 # 4 # -3 }) => (1 - 4t) - (0 + 4t) = -1 => t = 1/4
S (0 | 1 | 17/4)

Schnittwinkel alpha:
Normalenvektor Vektor n: vec n ~=~ stack {-1#1#0} und vec a ~=~(alignr stack {-4# 4 # -3}) führt zu %alpha ~=~ %winkel`(vec n , vec a ) ~=~ arccos {{vec n %cdot vec a} over {ABS vec n %cdot abs vec a}} und alpha = 90° - 27,93° = 62,06°

c

Punkt Q' an E spiegeln:

Variante 1 - GTR:
PrgmGeometri - Spiegelung -> Q (-2 | -3 | 11); Abstand 2Wurzel von2 oder

Variante 2 - GTR:
PrgmGeometri - Abstände - Punkt-Ebene Wurzel von Lotfußpunkt LQ' (-3 | -2 | 11) und vec OQ ~=~ vec OQ' `+ *2 %cdot vec Q'L_{Q'} mit gleichem Ergebnis für Q und Abstand abs vec Q'L_{Q'}

Variante 3 - rechnerisch:
vec OQ ~=~ vec OQ' `+ `2 %cdot abs  vec Q'L_{Q'} %cdot  LEFT LDLINE vec n RIGHT RDLINE, wobei LEFT LDLINE vec n RIGHT RDLINE ~=~1 over sqrt 2 vec n der normierte Normalenvektor der Ebene E ist und LQ' erst berechnet werden muss; z. B.: mit (s Wurzel von) => s = -1 ergibt sich LQ' wie in Variante 2 - weiter wie in Variante 2

d

Pyramide P mit Grundfläche ABC:
VP = 1/3 AG h
AG: AG = 21/2 Wurzel von2
Variante 1 - GTR: PrgmGeometri - Dreieck oder PrgmGeometri - Vektorprodukt)
Variante 2 - rechnerisch: A_G ~=~ 1 over 2 abs {vec AB  TIMES vec AC}
h: h = 2 Wurzel von2

Um die entsprechenden Parallelebenen von E zu finden, reicht es irgendeine Spitze in der gesuchten Ebene zu finden und diese mit den Richtungsvektoren von E zu kombinieren bzw. das Absolutglied in der allgemeinen Form von E anzupassen:
z. B.: E_{1/2} : vec x ~=~ vec OS_{1/2} `+` r`(ALIGNR STACK {1# 1 # 0 }) `+` s`(ALIGNR STACK {0#0 # 1 }) mit vec OS_{1/2} ~=~ vec OA `+- `2 `sqrt 2 %cdot LEFT LDLINE vec n RIGHT RDLINE ~=~ vec OA `+-`2`%cdot`vec n folgt S1 (-1 | 4 | 3) und S2 (3 | 0 | 3) und endlich E_1 : vec x ~=~ (ALIGNR STACK {-1# 4 # 3 })`+` r`(ALIGNR STACK {1# 1 # 0 }) `+` s`(ALIGNR STACK {0#0 # 1 }) und E_{2} : vec x ~=~  (ALIGNR STACK {3# 0 # 3 })`+` r`(ALIGNR STACK {1# 1 # 0 }) `+` s`(ALIGNR STACK {0#0 # 1 }) bzw.: x - y = 3 und x - y = -5

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