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Teil A: Analysis

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. größtmögliche Definitionsbereich Dfa: Dfa = {x | x Element reeller Zahlen, x ungleich 0}
    Nachweis, dass die Funktionen fa ungerade sind
    Nullstellen: x_size*1.5{N_1}~=~ sqrt {1 over a}~~x_size*1.5{N_2}~=~ -`sqrt {1 over a}
    Ansatz für 1. Ableitung
    1. Ableitung
    2. Ableitung
    Extremstellen
    Nachweis und Art der Extrema
    Koordinaten der beiden lokalen Extrempunkte: P_MIN (- {1 over {e sqrt a}}; - {2 over {e sqrt a}}); P_MAX ({1 over {e sqrt a}}; {2 over {e sqrt a}})
    Ansatz für Gleichung der Funktion
    Gleichung der Funktion: y = 2 x

    11 BE

  2. Ansatz für Nachweis
    Nachweis

    2 BE

  3. Ansatz für Länge der Strecke
    Länge der Strecke overline {P_1 P_2}: overline {P_1 P_2} rund 5,3

    2 BE

  4. Anstieg der Tangente ta
    Gleichung der Tangente ta: y = -2x + 2
    Anstieg der weiteren Geraden
    Nachweis

    4 BE

  5. Ansatz für Flächeninhalt
    Flächeninhalt: rund 1,7

    2 BE

  6. Zielfunktion
    1. Ableitung
    Ansatz zum Lösen der Gleichung
    Wert x1: x1 = sqrt 3| t |

    4 BE
    25 BE

Lösungen

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Teil A

a

fa (x) (Y1 auf GTR)
f'a(x) = - ln (ax²) - 2 (Y2 auf GTR)
f''a(x) = - 2/x
D_f_a = R \ {0}
fa ungerade <=> -fa (x) = - fa (x) => fa (-x) = - (-x) ln (a (-x)²) = - fa (x)

Nullstellen:
fa (x0) = 0 => 0 = x0 ln (ax²)
x01 = 0 nicht Element von D_f_a entfällt und x0 1/2 = Wurzel vona-1/2

lokale Extrema:
f'a (xe) = 0 => 0 = - ln (ax²) - 2 => x_size*1.5{e_size*1.5{1,2}}~=~+- {1 over e sqrt {1 over a}} und x_size*1.5{e_size*1.5{1,2}}~=~+- {2 over e sqrt {1 over a}} mit f''(x_size*1.5{e_size*1.5{1,2}})~=~-+ 2 e sqrt a folgt size*2 H (1 over e sqrt {1 over a} size*2%SenkrechtStrich 2 over e sqrt {1 over a}) und size*2 T (- {1 over e} sqrt {1 over a} size*2%SenkrechtStrich -{2 over e} sqrt {1 over a})

Ortskurve:
x~=~ {1 over e} sqrt {1 over a} ~ AND ~ y~=~{2 over e} sqrt {1 over a} ~ %esfolgt~ y ~=~ 2x

b

Aus ALIGNC stack {f_a`(x_s)~=~f_{size*1.5 {a^"*"}} `(x_s) # entsteht mit xs ungleich 0 nur die triviale Lösung a = a*.

c

c = ye -> Lösung mit GTR

Ansatz: f0,1 (x1/2) = c

solve(Y1-2Wurzel von10/e,X,-4) -> x1 = -4,177684
und x2 = xe2 => = x2 - x1 = 5,341

d

Tangente ta in S (a-1/2 | 0):
f'a (a-1/2) = -2 => n = 0 + 2 a-1/2
ta: y = -2x + 2 a-1/2

Gerade gmax durch Koordinatenursprung und lokalen Maximumpunkt:
gmax: y = 2x (ist auch Ortskurve der Extrema)

Es entstehen ähnliche Dreiecke, da weder der Anstieg der Gerade ta noch der von gmax von Parameter a abhängt. Damit ergeben sich als Schnittwinkel mit der x-Achse stets gleich große Winkel (die zudem noch gleich groß sind => gleichschenklige Dreiecke). Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, so sind sie zueinander ähnlich. Was zu zeigen war.

e

LEFT LLINE ALIGNL stack {2 # int f_0,1 # 1 } (x) `-`h_2`(x)~dx RIGHT RLINE=1,7113

f

V (r, h) = pi/3 r² h

V (ht (x), xt) = pi/3 ht ² (x) xt = Vt(x)

V_t`(x)~=~ 4 over 3 %pi {x^3 over (x^2`+`t^2)^2}

V'_t`(x)~=~ {4 over 3} %pi {{-x^4+3x^2t^2} over (x^2`+`t^2)^3} => xe = Wurzel von3 |t|

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/


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