Leistungskurs

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Teil A: Analysis

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fa(x) = -x ln(ax²) -> Definitionsbereich, fa ungerade, Nullstellen, Koordinaten der Extrempunkte, Art der Extrema, Ortskurve Extrema, fa hat keine gemeinsamen Punkte; es gibt genau eine Gerade mit y = c (c > 0), die mit dem Graphen der Funktion f0,1 genau zwei Punkte P1 und P2 gemeinsam hat, overline {P_1 P_2}, Tangente ta an fa in S (x>0; 0), entstehende Dreiecke sind ähnlich;
ht (x) = 4x over {3x^2`-`12} -> f0,1, h2 und x = 1 und x = 2 wird Fläche vollständig begrenzt -> Flächeninhal;
Punkte O, Q und Pt genau ein rechtwinkliges Dreieck -> Rotation um die x-Achse -> geraden Kreiskegel -> maximales Volumen

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Punkte A, B, C, D, F und Ebene E sind gegeben; C Î E ® gAB Î E; Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen; gDF Schnittpunkt und Schnittwinkel mit E; Q wird an E gespiegelt; Bildpunkt Q' (-4; -1; 11) ® Q und Abstand Q Q’; Dreieck ABC ist Grundfläche von Pyramiden, die ein Volumen von 14 haben ® Höhe einer Pyramide; Ebenengleichungen durch Spitze und E festgelegt

Teil C: Stochastik

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vier Firmen - Brückenbau: Wahrscheinlichkeiten einfacher Ereignisse, Qualitätskontrolle - Bernoulli-Kette; Standardabweichung einer vorgegebenen Zufallsgröße Y; Wahrscheinlichkeitsverteilung - Kosten

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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f(x) = 4x over {3x^2`-`12};Df; Verhalten im Unendlichen; Stammfunktion; vollständig begrenzter Flächeninhalt; Gerade g mit drei Schnittpunkten; Extremalaufgabe zu g und f

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Geradenpaar: gk und hk gegeben; Parallelität; Nachweis eines gegebenen Schnittpunktes; maximaler Abstand von gk und hk


Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material Stochastik

Teil A: Analysis

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Gegeben sind Funktionen fa durch y = fa(x) = -x ln(ax²) (a Element reeller Zahlen , a > 0; x Element von BOLD D_size*1.5{f_size*1.5a}).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen fa an.
    Zeigen Sie, dass die Funktionen fa ungerade sind und bestimmen Sie die Nulltellen sowie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte.
    Weisen Sie die Art der Extrema nach.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alte lokalen Extrempunkte der Funktionen fa liegen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 11

  2. Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktionen fa keine gemeinsamen Punkte besitzen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Es gibt genau eine Gerade mit der Gleichung y = c ( c Element reeller Zahlen, c > 0), die mit dem Graphen der Funktion f0,1 genau zwei Punkte P1 und P2 gemeinsam hat.
    Ermitteln Sie die Länge der Strecke overline {P_1 P_2}.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Für jedes a existiert eine Tangente ta an den Graphen der Funktion fa im Schnittpunkt S (x > 0; 0) des Graphen mit der x-Achse.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.
    Durch die x-Achse, die Tangente ta und durch die Gerade, die durch den Koordinatenursprung und den jeweiligen lokalen Maximumpunkt bestimmt ist, wird für jedes a ein Dreieck begrenzt.
    Weisen Sie nach, dass alle so gebildeten Dreiecke zueinander ähnlich sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

    Weiterhin sind Funktionen ht durch y = ht (x) = 2x over {x^2`+`t^2}(t Element reeller Zahlen,t ungleich 0, x Element reeller Zahlen) gegeben.

  5. Durch die Graphen der Funktionen f0,1, h2 und die Geraden mit den Gleichungen x = 1 und x = 2 wird eine Fläche vollständig begrenzt.
    Ermitteln Sie mit dem GTR oder unter Verwendung der für die Funktionen fa existierenden Stammfunktionen Fa mit Fa (x) = {x^2`-`x^2 %cdot LN(ax^2)} over 2den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  6. Für jede Funktion ht wird für jedes x (x Element reeller Zahlen, x > 0) durch die Punkte O(0; 0), Q(x; 0) und Pt (x; ht (x)) genau ein rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Jedes dieser Dreiecke erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen geraden Kreiskegel.
    Berechnen Sie die Stelle x1 in Abhängigkeit von t, für die das Volumen des zugehörigen Kreiskegels maximal ist.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1; 2; 3), B (4; 5; 3), C (1; 2; 10), D(1; 0; 5), F (-3; 4; 2) und die Ebene E durch x – y = -1 gegeben. Der Punkt C liegt in der Ebene E.

  1. Weisen Sie nach, dass die durch die Punkte A und B verlaufende Gerade in der Ebene E liegt.
    Geben Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte dieser Ebene mit den Koordinatenachsen an und beschreiben Sie die Lage der Ebene E im Koordinatensystem.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Durch die Punkte D und F verläuft die Gerade g.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Geraden g mit der Ebene E.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Ein Punkt Q wird an der Ebene E gespiegelt. Der Bildpunkt Q' hat die Koordinaten Q’(-4; -1; 11).
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q und den Abstand der Punkte Q und Q’ voneinander.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche von Pyramiden, die ein Volumen von 14 haben.
    Ermitteln Sie die Höhe einer solchen Pyramide.
    Jede Pyramidenspitze dieser Pyramiden liegt in genau einer von zwei parallelen Ebenen.
    Ermitteln Sie für diese Ebenen je eine Gleichung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Test C: Stochastik

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Von vier Firmen wurde eine Brücke gebaut. Firma I lieferte dabei 10% der gesamten LKW-Ladungen mit Fertigbeton, Firma II 20%, Firma III 30% und Firma IV 40%. Bekannt ist, dass in Firma I bei 1% ihrer LKW-Ladungen mit Fertigbeton die Mischung nicht den gestellten Qualitätsanforderungen entsprach, in Firma II galt das für 0,4%, in Firma III für 0,3% und in Firma IV für 0,1%.

  1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der eine während der Bauarbeiten zufällig ausgewählte LKW-Ladung mit Fertigbeton nicht das richtige Mischungsverhältnis besaß.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Man betrachte folgenden Vorgang:
    Bei der Anlieferung von Fertigbeton erfolgen Qualitätskontrollen. Für diese Überprüfungen werden zufällig LKWs ausgewählt.
    Ermitteln Sie die Anzahl der Kontrollen, die mindestens nötig sind, damit mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0,9 wenigstens eine LKW-Ladung von Firma I unter den kontrollierten ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Während des Baugeschehens wurden in einer Woche 240 LKW-Ladungen mit Fertigbeton gezählt. Auch in dieser Woche betrug die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter LKW eine Lieferung von Firma IV geladen hatte, 40%.
    Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der LKW-Ladungen, die in dieser Woche von Firma IV kamen.
    Berechnen Sie die Standardabweichung der Zufallsgröße Y.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 94 dieser LKW- Ladungen von Firma IV kamen?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Bei der Bauabnahme wurden Risse entdeckt, die auf Fehler im Mischungsverhältnis des Betons zurückzuführen waren. Die Kosten für die daraus resultierende Reparatur beliefen sich auf 200 000,00 DM.
    Da es nach Bauabschluss nicht möglich war, den Verursacher dieser Schäden zu ermitteln, musste ein Vorschlag zur Verteilung der Reparaturkosten auf die am Bau beteiligten Firmen erstellt werden.
    Entwickeln Sie unter Beachtung des möglichen Verursacherprinzips einen solchen Vorschlag.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 4x over {3x^2`-`12}( x Element von Df).

  1. Geben Sie den größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f an.
    Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung einer Stammfunktion der Funktion f.
    Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen x = 5/2 und x = b ( b Element reeller Zahlen, b > 5/2 ) begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie die irrationale Zahl b, für die der Inhalt der zugehörigen Fläche ln(NROOT 3 16) beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

    Es existieren Geraden g, die den Graphen der Funktion f außer im Koordinatenursprung O noch jeweils in genau zwei weiteren Punkten S1 und S2 schneiden.

  3. Bestimmen Sie alle möglichen Werte des Anstiegs der Geraden g.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Betrachtet werden nun die Punkte S1 (x1, y1) mit x1 < -2 und S2 (x2, y2) mit x2 > 2.
    Für genau eine der Geraden g ist der Abstand dieser Punkte minimal.
    Geben Sie den Anstieg dieser Geraden an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Für jedes k ( k Element reeller Zahlen) mit -6 kleiner gleich k kleiner gleich 6 wird ein Paar von Geraden gk und hk durch

g_k:~vec x~=~(stack{-3#1#-1})`+`t`%cdot`(stack{10#k#k`-`4}) (t Element reeller Zahlen) und h_k:~vec x~=~(stack{4#-4#2})`+`s`%cdot`(stack{0#k#4}) (s Element reeller Zahlen)

gegeben.

  1. Untersuchen Sie, ob es Werte k gibt, für die die Geraden eines Geradenpaares gk und hk parallel sind.
    Zeigen Sie, dass der Punkt S (4; -0,4; -5,2) Schnittpunkt eines der Geradenpaare gk und hk ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Es existieren Werte für k, für die die Geraden gk und hk windschief sind.
    Ermitteln Sie den Wert für k mit – 6 kleiner gleich k kleiner gleich 6, für den der Abstand der Geraden gk und hk maximal ist und geben Sie diesen Abstand an.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5


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Tabelle der Verteilungsfunktion der StandardnormalverteilungTabelle

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/