Teil D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Ansatz
    Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form: x + z = 13
    Ansatz für Untersuchung auf Rechtwinkligkeit
    Schlussfolgerung: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
    Ansatz für Koordinaten des Punktes D
    Koordinaten des Punktes D: D (9; 2,5; 4)

    6 BE

  2. Ansatz
    Werte a: a1 = 4 – Ö10 » 0,84; a2 = 4 – Ö10 » 7,16

    2 BE

  3. Ansatz
    Werte a: a Element reeller Zahlen, a ¹ 3

    2 BE

Lösungen

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Teil D2

a

C2 (5 | 4 | 8)
Ebenengleichung - durch Lösung des Gleichungssystems
oder mit GTR: prgmGeometrie
Suche nach rechtem Winkel:
Vektor AB= (-6 | 3 | 6); Vektor AC_2= (-5 | 2 | 5); Vektor BC_2= (1 | -1 | -1) und Skalarprodukt
Vektor AB·Vektor AC_2= 66; Vektor AB·Vektor BC_2= -15; Vektor AC_2·Vektor BC_2= -12 alle ungleich 0
=> kein rechter Winkel

b

Für einen Punkt D auf Vektor AB gilt: widevec OD ~=~ widevec OA `+` s cdot widevec AB mit s Element reeller Zahlen Ù s ist Element von ]0..1[ und
vereinfacht: widevec OD ~=~ left ( stack {x_D # y_D # z_D} right )  ~=~left ( stack {10 # 2 # 3} right )`+`s cdot left ( stack {-6 # 3 # 6} right )
unter Einbeziehung des vorgegebenen Verhältnisses entsteht (mittels Vektorprodukt - oder entsprechender Formel):
{lline widevec DC_2 `times` widevec DA  rline } over {lline widevec DB `times` widevec DC_2  rline } ~=~ 1 over 5 und
=> 5·3·Ö2·|s| = 3·Ö2·|s - 1|
=> s = -1/4 (entfällt) oder s = 1/6
=> D (9 | 5/2 | 4)

c

ÐBCaA = 90° <=> = 0
=> 2·a2 - 16·a + 12 = 0
=> a½ = 4 ± Ö10

d

Die Ebene E ist nur dann nicht eindeutig bestimmt, wenn A, B und Ca kollinear sind.
Vektor AB= k· mit k Element reeller Zahlen
=> k = 3/2 und a = 3

Die Ebene E ist eindeutig festgelegt für a Element reeller Zahlen und a ¹ 3.

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