Teil D1: Analysis

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Definitionsbereich: Df = {x | xElement reeller Zahlen, x > ½}

    1 BE

  2. Koordinaten des Punktes S: S (5,5; 2,3)
    beide Anstiege der Tangenten
    Schnittwinkel: » 34°

    3 BE

  3. Ansatz für Nachweis
    Nachweis

    2 BE

  4. Flächeninhalt einer Teilfläche
    Flächeninhalt: 5,0

    2 BE

  5. Ansatz für Nachweis
    Nachweis

    2 BE

Lösungen

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Teil D1

a

f -> Y1
g -> Y2

Größtmöglicher Definitionsbereich:
für ln (z) ist D = {x | xElement reeller Zahlen und x > 0}
=> z = 2x –1 > 0
=> x > .5

b

Schnittpunkt S - mittels GTR:
solve(Y1-Y2,X,5) -> 5.51487 (rechnerisch Lösung ist nicht möglich)
f(5.51487) = 2.30555

S(5.51487 | 2.30555)

f'(x) = 2/(2·x - 1) und f' (5.51487) = 0.199406
g'(x) = 5/(2·(x - 3)) und g' (5.51487) = 0.994087

Winkel zwischen den Tangenten - ergibt sich aus: tan a = m
a = arctan (g' (5.51487)) - arctan(f' (5.51487)) = 0.585607 = 33.5528°

c

F ist Stammfunktion <=> F'(x) = f(x)
1/2 [(2x -1) In(2x –1) - 2x ]' = [(2x -1) In(2x –1)]' - 1

[(2x -1) In(2x –1)]'
-> Produktregel [u v]' mit
u = (2x –1) und v = In(2x –1) und
u' = 2 und v' = 2/(2x –1) ergibt sich die Behauptung.

d

A = F(5.51487) - F(1) - [G( 5.51487) - G(4)] bzw. mit GTR:
fnInt(f(x),X,1, 5.51487) - fnInt(g(x),X,4, 5.51487) -> 5.03619

e

A = F(1.5) - F(1)
= ½ [(3 -1) In(3 –1) - 3] - ½ [(2 -1) In(2 –1) - 2]
= ½ [2 In(2) - In(1) - 1] mit ln(1) = 0
= ln 2 - 0,5 q.e.d.

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