Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Ansatz für Nachweis
    Nachweis, dass die Punkte A, B, C ein Dreieck bilden
    Begründung für Lage des Dreiecks ABC

    3 BE

  2. Ansatz für Größe des Winkels
    Größe des Winkels CBA: 45°
    Nachweis der Maßzahl des Flächeninhalts

    3 BE

  3. Gleichung einer Höhe
    Ansatz für Nachweis
    Nachweis
    Ansatz für Koordinaten eines Punktes S
    Koordinaten eines Punktes S: S1 (2; 2; – 10) oder S2 (2; 2; 10)

    5 BE

  4. Ermitteln der z-Koordinaten Ansatz für x- und y-Koordinaten Gleichungssystem
    Koordinaten beider Punkte P: P1(4; 1; -10) und P2(4; 1;10)

    4 BE
    15 BE

Lösungen

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Teil B

a

Die Punkte A, B, C und H liegen in der x-y-Ebene, da ihre z-Komponente 0 ist.

Nachweis: z. B. {short description of image}= k·widevec BA hat keine Lösung für k Element reeller Zahlen
z. B. gilt für die x-y-Ebene: {short description of image}= (-3 | 9) und widevec BA= (-8 | 4)

b

Innenwinkel mittels Saklarprodukt:cos `%winkel(CBA) ~=~ {widevec BC cdot widevec BA} over {lline widevec BC rline cdot lline widevec BA rline}
=> 45°

F = 1 over 2 ` lline widevec BC rline  cdot lline widevec BA rline  cdot {1 over sqrt 2} ~=~ 1 over 2 widevec BC cdot widevec BA~=~ 60 over 2 = 30 FE (Zahlenwerte siehe oben)

c

Berechnung des Höhenschnittpunktes des Dreiecks:
Gerade hA: y = mA x + nA und
Gerade hC: y = mC x + nC

Ansatz:
A {short description of image} hA und mA ist senkrecht zu {short description of image}: 1 = - (-3/9)·(-1) + nA => nA = 1 + 13 = 4/3

hA: y = 1/3 x + 4/3 und hC: y = 2 x - 2
mit H {short description of image} hA und H {short description of image} hC, denn 2 = 1/3 2 + 4/3 und 2 = 2·2 - 2

VPyramide = 1/3 AG · h = 100 mit AG = F = 30 (siehe b)
=> h = 10
=> S1 (2 | 2 | 10) und S2 (2 | 2 | -10)

d

Die Punkte P müssen folgende Eigenschaften haben:

sie liegen in der Ebene z = 10 bzw. z = -10
sie haben zu A, B, C den gleichen Abstand, d. h. sie liegen auf einer Gerade, die parallel zur z-Achse verläuft und die durch den Mittelpunkt M des Umkreises der Punkte A, B und C geht

Berechne M (xM | yM) für Kreis kU: (x - xM)2 + (y - yM)2 = r2 und A, B, C {short description of image} kU
I: (-1 - xM)2 + (1 - yM)2 = r2
II: (7 - xM)2 + (-3 - yM)2 = r2
III: (4 - xM)2 + (6 - yM)2 = r2

Gleichsetzen, Ausmultipizieren und Vereinfachen von I = II und I = III führt zu:
I*: 2·x - y = 7
II*: x + y = 5

M (4 | 1) und es folgt P1 (4 | 1 | 10) bzw. P2 (4 | 1 | -10)

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/