Teil A: Analysis

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Der Erstkorrektor teilt den Zweit- und Drittkorrektoren als Sachinformation die von den Prüfungsteilnehmern verwendeten GTR-Typen mit

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen von Funktionen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Nullstellen: xN1 = 0; xN2 = 8
    1. Ableitung
    2. Ableitung
    Extremstellen: xE1 = 8/3, xE2 = 8
    Nachweis der Art der Extrema: bei xE1 lokales Maximum, bei xE2 lokales Minimum
    Wendestelle Nachweis der Existenz des Wendepunktes
    Koordinaten des Wendepunktes: W(16/3 | 512/81)
    Ansatz für Argumente
    Angabe der Argumente: x Element reeller Zahlen, x > 32/3

    10 BE

  2. Ansatz für mögliche Berührungsstellen
    mögliche Berührungsstellen
    Nachweis des Berührungspunktes
    Ansatz für Gleichung der weiteren Tangente
    Gleichung dieser Tangente: y = 2 x – 16,69

    5 BE

  3. Integrationsgrenzen
    Flächeninhalt: » 138,9

    2 BE

  4. Zielfunktion
    erste Ableitung
    Lösungen der kubischen Gleichung
    Nachweis des Maximums
    Koordinaten des Punktes Pu: Pu (4; 32/3)

    5 BE

  5. Anstieg des Graphen im Koordinatenursprung
    Angabe der Anzahl für einen Fall
    Angabe der Anzahl für die weiteren Fälle

    3 BE

Lösungen

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Teil A

a

f(x) -> Y1 (GTR)
Nullstellen: f(xN) = 0 <=> xN = 0 oder (xN - 8)2 = 0
f' (x) = 1/6 (x - 8)·(3·x - 8)
f''(x) = x - 16/3

Extremstellen: f' (xE) = 0 <=> xE - 8 = 0 oder 3·xE - 8 = 0
=> xE1 = 8/3, xE2 = 8 (es sind nur die Stellen gefragt)

Nachweis der Extrema:
f'' (xE) = -8/3 => lok. Minimum und f'' (xE) = 8/3 => lok. Maximum

Wendestelle: f'' (xW) = 0 <=> xW = 16/3
Nachweis Wendestelle: f'''(x) = 1 ¹ 0 => W (16/3 | f(16/3))

f (x) > f (xE1) => x/6 ·(x - 8)2 > 1024/81
GTR: solve(Y1-1024/81,X,10) -> 10,66666

b

g ist Tangente an f:
Berührungsstellen: xS <=> f(xS) = g(xS)
=>3·xS2 - 32·xS + 52 = 0
=> xS1 = 2 und xS2 = 26/3
und f(2) = g(2) = 12 bzw. f(26/3) ¹ g(26/3)
=> xS = 2 und g ist Tangente an f in P(2 | 12)

zu g parallele Tangente tp: y = 2x + n verläuft durch P(xS2, f(xS2))
=> 52/81 = 2·26/3 + n => n = -1352/81
tp: y = 2x - 1352/81

c

Schnittpunkte der Graphen f und g als Intervallgrenzen a und b: a=xS1 und
solve(Y1-Y2,X,12.5) -> b=12

Integration mittels GTR: fnInt(Y1-Y2,X,2,12) -> -138.888
Flächeninhalt: 138.9 FE

d

Zielfunktion: A (u) = u * f(u) = u2/6 ·(u - 8)2
A' (u) = 2/3·x·(x - 4)·(x - 8)
A'' (u) = 2/3·(3·x2 - 24·x + 32)

aus A'(uE) = 0 und 0 < uE < 8 folgt: uE = 4 und A'' (4) = -32/3
=> Pu (4 | 32/3) ist lokales Maximum

e

Gerade h durch den Koordinatenursprung mit h: y = mx
und mit Schnittstellen xh gilt: mxh = f(xh)
=> 6·mxh = xh·(xh - 8)2 eine Lösung existiert immer für xh = 0
und falls xh ¹ 0 gilt: 6·m = (xh - 8)2 => x_h ~=~ 8 +- sqrt{6 cdot m}

es lässt sich folgendes ableiten:
falls m = 0: es gibt genau eine weitere Schnittstelle,
falls m = 32/3: es gibt genau eine weitere Schnittstelle (da dann wieder xh = 0 entsteht),
falls m < 0: es gibt keine weitere Schnittstelle und
sonst: es gibt genau zwei weitere Schnittstellen

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/