Teil D2: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Ansatz für Gleichung der Mittelsenkrechten
    Gleichung der Mittelsenkrechten: vec x~=~( {3 over 2}; {7 over 4}`)`+`t`(1; -2) (tElement reeller Zahlen)

    2 BE

  2. Gleichung des Kreises k: (x`-`3 over 2)^2`+`(y`-`7 over 4)^2~=~125 over 16
    Aussage zur Lage des Punktes C: Der Punkt C liegt nicht auf dem Kreis k.

    2 BE

  3. Koordinaten des Punktes S: S (3/2; 7/4; 8)
    Neigungswinkel a des Kreiskegels: alpha = 65,0°
    Gleichung einer Hilfsgeraden durch den Punkt S
    Koordinaten des Schnittpunktes S’ der Hilfsgeraden mit der x-y-Koordinatenebene
    Abstand des Punktes S’ vom Kreismittelpunkt in Abhängigkeit von a
    Werte a: rund-3,04 < a < 0

    6 BE

Lösungen

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Teil D2

a

1. Lösungsansatz:
Mittelpunkt M_{overline AB}`(3 over 2 ; 7 over 4) und Mittelsenkrechte y = -2x + 19/4

2. Lösungsansatz:
k: (x - xM)2 + (y - yM)2 = r2 mit A Element von k und B Element von k es folgt

I:
II:

(4 - xM)2 + (3 - yM)2 = r2
(-1 - xM)2 + (0,5 - yM)2 = r2 es folgt 8x + 4y = 19

b

k: (x`-`3 over 2 )^2`+`(y`-`7 over 4 )^2~=~(ABS {vec AB} over 2)^2 = 125/16
(x`-`3 over 2 )^2`+`(y`-`7 over 4 )^2~=~(ABS {vec AB} over 2)^2 = 125/16rund 3,508 es folgt C liegt außerhalb

c

V = 1/3 AG h = 125/8 Pi mit AG = Pi r2 es folgt S(3/2; 7/4; 6)

Neigungswinkel: tan alpha = h over r~=~ 24 over {5`sqrt 5}es folgt alpha = 1,1348 = 65°

Schattenwurf:

Aus elementargeometrischen Überlegungen heraus (Abbildung), muss der Winkel beta, unter dem der Schattenvektor va = (1 | 1 | a < 0) die Ebenennormale n: n = (0| 0| -1) der x-y-Ebene trifft, folgende Bedingung erfüllen:

0° <beta < 65°

0 < tanbeta < tan 65°

Ungleichung 1,

Ungleichung 2.

Außerdem ergibt sich aus va

Gleichung 3.

Aus Ungleichung 4:0 ~ < ~ a over sqrt 2 ~ <~  24 over {5`sqrt 5} und der Nebenbedingung a < 0 folgt:

- {24 over 5 sqrt { `2 over  5}} ~ < ~ a ~ < ~  0

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