Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Koordinaten zweier Vektoren
    Nachweis der linearen Abhängigkeit zweier Vektoren
    Nachweis, dass das Viereck ABCD kein Parallelogramm ist
    Ansatz für Prüfung eines Winkels
    Schlussfolgerung
    Prüfung eines geeigneten weiteren Winkels und Schlussfolgerung

    6 BE

  2. Gleichung der Ebene E
    Ansatz für Koordinaten des Punktes Pt
    Koordinaten des Punktes P3/4
    P3/4(2; 3/4; -1/2)
    Gleichung einer Diagonalen

    6 BE

  3. Ansatz für Untersuchung auf Diagonalenschnittpunkt
    Schlussfolgerung: Der Punkt P3/4 ist Diagonalenschnittpunkt.

    2 BE

  4. Länge der Strecke Strecke CD: Strecke CD = 3Wurzel 3
    Ansatz für Koordinaten des Punktes C1
    Koordinaten des Punktes C1: C1(3; -1; -3)

    3 BE

Lösungen

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Teil B

a

Aus den Vektoren , , und und Überprüfung der Kollinearität gegenüberliegender Vektoren folgt die Parallelität zweier aber nicht aller gegenüberliegender Seiten. Also ist das Viereck kein Parallelogramm aber ein Trapez.

Um nachzuweisen, dass kein rechter Winkel vorliegt reicht es, zwei gegenüberliegende Winkel zu berechnen, da ja außerdem Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen vorliegen. Es ist also vec AD %cdot vec AD %ungleich 0 und vec BD %cdot vec BD %ungleich 0 zu überprüfen.

b

Lösungsansatz 1:
Aufstellen der Ebenengleichung e in vektorieller Form und Gleichsetzen mit dem Ortsvektor des Punktes Pt.
Z. B. Lösen des linearen Gleichungssystems: (STACK { -1 # 0 # 1 }) ~=~(STACK { s`-`5u´+`1 # -s`+`4u`-`t # -s`+3u`+`{2 over 3}t}) mittels GTR-Programm prgmLinGS -> Dimension 3

Lösungsansatz 2: Bestimmung der Ebenengleichung in Parameterform mittels GTR-Programm prgmGeometri -> e: x + 2y - z - 4 = 0 und einsetzen der Koordinaten von Pt in diese Gleichung: 2 + 2t - (-2/3 t) - 4 = 0 -> P0,75

Diagonalenschnittpunkt:

Lösung 1: Bestimmung der Diagonalengleichung g_{vec AC}, g_{vec BD} und Berechnung des gemeinsamen Schnittpunktes. Probe mit GTR-Programm prgmGeometri -> Abstände -> Gerade-Gerade -> Eingabe der Geraden mittels Zweipunktgleichung. Schlussfolgerung
P0,75 ist Diagonalenschnittpunkt.

Lösung 2: Diagonalengleichungen wie oben und Einsetzen des Punktes P0,75 in diese Gleichungen. P0,75 ist gemeinsamer Punkt der Geraden und beide Geraden sind nicht identisch, also ist P0,75 Diagonalenschnittpunkt.

c

abs {vec CD} ~=~ 3 `sqrt 3

Bei Verdopplung des Flächeninhaltes ergibt sich, dass der Flächeninhalt des Trapezes gleich dem Flächeninhalt des durch Punkt C1 entstehenden Dreiecks BC1C ist.

Die Höhe des Trapezes und des Dreiecks brauchen nicht errechnet zu werden. Falls das doch gewünscht wird, bietet sich das GTR-Programm prgmGeometri -> Abstände -> Punkt-Gerade an. Es ergibt sich: abs {vec AB} `+`abs {vec DC} ~=~ abs {vec CC_1} ~=~4 `sqrt 3 und C1 (3 | -1 | -3) mit: g_{vec DC}:~~vec OC_1 ~=~ vec OC `+`  4 `sqrt 3 `vec DC over {abs {vec DC}} durch Normierung des Vektor vec DC.

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/