Teil A: Analysis

Das Erwartungsbild beinhaltet nur ausgewählte Ergebnisse. Auf die Angabe von Zwischenergebnissen, Graphen und Zeichnungen wurde verzichtet, auch wenn diese bewertet werden sollen.

Der Erstkorrektor teilt den Zweit- und Drittkorrektoren als Sachinformation die von den Prüfungsteilnehmern verwendeten GTR-Typen mit.

Erwartungsbild und Bewertungsmaßstab

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Inhaltlich zu erwarten: erreichbar:
  1. Nullstellen: x01 = 0; x02 = 6
    1. Ableitung der Funktion f
    Koordinaten der lokalen Extrempunkte: PMax(0; 0); PMin(4; – 4)
    Art der Extrema
    Wendestelle
    Anstieg der Wendetangente
    Gleichung der Wendetangente w: y = –1.5 x + 1

    7 BE

  2. Anstieg der Geraden h
    Gleichung der Geraden h
    Abszissen der Schnittpunkte der Geraden h und w mit der x-Achse
    Grundseiten und Höhen der beiden Dreiecke
    Schlussfolgerung

    5 BE

  3. Koordinaten des Punktes S1: S1 (0; 0)
    Koordinaten des Punktes S2: S2 (4;-4)
    1. Ableitung der Funktion g
    Anstieg der Graphen für x = 4
    Anstieg der Graphen für x = 0 und Schlussfolgerung

    5 BE

  4. Erkennen der notwendigen Ableitungsregeln
    Nachweis der Stammfunktion
    Ansatz für spezielle Stammfunktion
    spezielle Stammfunktion G1: G1(x) = 4 (x+4) e^(-x/4 + 1) - 36 (xElement reeller Zahlen)
    Ansatz für F1ächeninhalt
    Flächeninhalt: rund 3,5

    6 BE

  5. Zielfunktion l(u)
    maximale Streckenlänge Imax: Imax rund 1,56

    2 BE

Lösungen

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Teil A
a GTR: Y1 <- f(x); Y2 <- g(x)

ablesen reicht: x01 = 0, x02 = 6, lokales Maximum H(4 | -4), lokales Minimum T(0 | 0)

f'(x) = 3/8 x2 - 3/2 x

Wendestelle: GTR -> solve(nDerive(nDerive(Y1,X,X),X,X),X,1) -> xw = 2

Wendetangente z. B.: GTR-Programm Tangente oder
m = nDerive(Y1,X,2) -> -3/2 und n = Y1(2)-m2 -> 1
y = -3/2 x + 1

Normale zur Wendetangente: GTR-Programm oder
m = 1/(-3/2) ® 2/3 und n = Y1(2)-m2 -> -10/3 (vgl. oben)
y = 2/3 x - 10/3

b {short description of image}

Die Dreiecke sind flächengleich, wenn gezeigt werden kann, dass sie in einer Grundseite und der dazu gehörigen Höhe übereinstimmen. Ausgehend von den Koordinatenachsen als Grundseiten stellt man schnell fest, dass die Höhen gleich 2 sind und die Grundseiten jeweils gleich 13/3 sind -> w. z. B. w.

c

S1 (0 | 0), S2 (4 | -4);
g'(x)~=~( x over 4 `-`1) `e^(- {x over 4}`+`1) und f'(0) = 0 ungleich g' (0) = e; f' (4) = g' (4) = 0

d

Produktregel: G'`(x)~=~( 4 `-`x`-`4) `e^(- {x over 4}`+`1)~=~g`(x)

Ansatz: G1 (4) = G (4) + C = -4 -> G1 (x) = G (x) - 36 oder GTR: -4-G(4) -> -36

A~=~abs {ALIGNL stack {4 # int f # 0} (x)`-`g(x)~dx}~=~abs { alignl stack {4 # int f # 0} (x)~dx `-` stack {4 # int g # 0}(x)~dx}
A = |F(4) - F(0) - [G(4) - G(0)]| = 3,5 mit F(x)=x4/32 - x3/4 oder GTR: fnInt(Y1-Y2,X,0,4)

e

l(u) = f(u) - g(u) = ... -> Dieser Aufgabenteil ist ausschließlich mit GTR zu lösen!
l'(ue) = 0: Solve(nDerive(Y1-Y2,X,X),X,2) -> ue = 1,30704... und
l(ue): Y1(Ans)-Y2(Ans) -> 1,5604

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