Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A: Analysis

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Gegeben: f(x) = x3x2, g(x) = -x e^{( -  {x over 4}`+`1)} und Wendetangente an f -> Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art; Wendetangente w; Gerade h durch Wendepunkt von f und ist orthogonal zu w -> Dreiecke sind Flächengleich; es gibt zwei gemeinsame Punkte S1(x1; y1) und S2(4; y2); Nachweis Stammfuntion G(x) = 4 (x`+`4)` e^{( -  {x over 4}`+`1)}; bestimmte Stammfunktion G1 und Inhalt der Fläche; gesucht ist u für das die Länge l(u) der Strecke overline {P_u Q_u} maximal wird

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Gegeben sind A, B, C und D der Ebene E sowie die Punkte Pt; -> Viereck ABCD ist Trapez und kein Parallelogramm und hat keine rechten Winkel; Pt, auf E; Diagonalenschnittpunkt von ABCD; Länge der Strecke ; gesucht ist Punkt C1 so, dass das Trapez ABC1D doppelten Flächeninhalt wie das Trapez ABCD hat

Teil C: Stochastik

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Jugendzeitschrift; Kombinatorik; Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; Erwartungswert und Binomialverleilung; Bernoullikette

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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f(x) = {4x} over {x^2`+`1} und g(x) = 2 ln(x2 +1) -> Definitionsbereich; Nullstellen; Symmetrei; Tangente mit maximalem Anstieg; fa(x) := a f(x) -> Nachweis gegebener Stammfunktion und Grenzen zu vorgegebenen Flächeninhalt; Flächeninhalt mit GTR

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Punkte A, B( und C gegeben -> Kreise durch A und B -> Menge aller Mittelpunkte dieser Kreise; Kreis auf Durchmesser; Lagebeziehung Punkt-Kreis; geraden Kreiskegels K und dessen Schattenwurf


Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f(x) = x3x2 (x Element reeller Zahlen) und y = g(x) = -x e^{( -  {x over 4}`+`1)} (xElement reeller Zahlen). Die Gerade w ist Tangente an den Graphen der Funktion f in dessen Wendepunkt (Wendetangente).

  1. Geben Sie die Nullstellen der Funktion f an.
    Geben Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema der Funktion f an. Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Wendetangente w.
    Hinweis:Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des Wendepunktes kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 7

  2. Die Gerade h verläuft durch den Wendepunkt des Graphen der Funktion f und ist orthogonal zur Wendetangente w. Durch die Geraden h und w und die x-Achse wird ein Dreieck bestimmt. Durch die Geraden h und w und die y-Achse wird ein weiteres Dreieck bestimmt.
    Weisen Sie rechnerisch nach, dass beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Die Graphen der Funktionen f und g besitzen genau zwei gemeinsame Punkte S1(x1; y1) und S2(4; y2).
    Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte.
    Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionen f und g nur in einem der beiden Punkte denselben Anstieg haben.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  4. Weisen Sie nach, dass die Funktion G mit y = G(x) = 4 (x`+`4)` e^{( -  {x over 4}`+`1)} (x Element reeller Zahlen) eine Stammfunktion der Funktion g ist.
    Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion G1 der Funktion g, deren Graph durch den Punkt P(4;-4) verläuft.
    Die Graphen der Funktionen f und g begrenzen eine Fläche vollständig.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  5. Für jedes u (u Element reeller Zahlen, 0 < u < 4) schneidet die Gerade mit der Gleichung x = u den Graphen der Funktion f im Punkt Pu und den Graphen der Funktion g im Punkt Qu. Für genau einen Wert u wird die Länge l(u) der Strecke overline {P_u Q_u} maximal.
    Bestimmen Sie eine Gleichung der Zielfunktion l und ermitteln Sie die maximale Streckenlänge.
    Hinweis:Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Extremums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind vier in der Ebene E liegende Punkte A (3; 0; -1), B (4; -1; -2), C (-1; 3; 1) und D (-4; 6; 4) sowie die Punkte Pt (2; t; t ) (t Element reeller Zahlen) gegeben.

  1. Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Trapez und kein Parallelogramm ist.
    Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck ABCD keinen rechten Winkel hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  2. Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes Pt, der in der Ebene E liegt.
    Untersuchen Sie, ob dieser Punkt Diagonalenschnittpunkt des Trapezes ABCD ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  3. Ermitteln Sie die Länge der Strecke . Auf der Geraden durch die Punkte C und D existiert ein Punkt C1 so, dass das Trapez ABC1D den doppelten Flächeninhalt wie das Trapez ABCD hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C1.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Test C: Stochastik

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Die eingehenden Leserbriefe einer Jugendzeitschrift beschäftigen sich erfahrungsgemäß zu 45% mit Thema ”Liebe und Sexualität”, zu 25% mit Thema ”Musik”, zu 15% mit Thema ”Sport” und zu 15% mit dem Thema ”Sonstiges”. Es wird angenommen, dass sich jeder Brief genau einem der vier Themen zuordnen lässt.

  1. Die eingehenden Zuschriften werden im Verlag auf vier in einer Reihe liegende Stapel sortiert, wobei jeder Stapel ein Thema repräsentiert. Wie viele verschiedene Anordnungen der Stapel in dieser Reihe sind möglich?

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  2. Die Zeitschrift lost unabhängig vom Thema unter allen Leserbriefen eines bestimmten Zeitraumes 5 Preise aus. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    Ereignis E: Alle 5 Preise gehen an Zuschriften zum Thema ”Liebe und Sexualität”;
    Ereignis F: Mindestens ein Preis geht an eine Zuschrift zum Thema ”Musik”.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Jacqueline, die Sportredakteurin der Zeitschrift, benötigt dringend 5 Zuschriften zum Thema ”Sport”. Sie entnimmt der noch nicht sortierten Post 20 Zuschriften.
    Wie viele Zuschriften zum Thema ”Sport” kann sie dabei erwarten?
    Wie viele Zuschriften müsste sie der laufenden Post entnehmen, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens eine Zuschrift zum Thema ”Sport” erhält?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Die Zeitschrift organisiert wöchentlich eine TV-Show, bei der ein Gast am Ende der Show genau einmal ein Glücksrad dreht, welches in 20 gleich große, von 1 bis 20 nummerierte Sektoren eingeteilt ist. Trifft der Gast den Sektor ”1”, so gewinnt er eine Reise für 2 000 DM, trifft er einen Sektor, dessen Nummer die Ziffer 2 enthält, gewinnt er einen Disc-Man für 100 DM, bei allen anderen Sektoren eine Blümchen-CD für 30 DM.
    Berechnen Sie den Geldbetrag, den die Zeitschrift längerfristig pro Veranstaltung für die Gewinnbereitstellung einkalkulieren muss.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  5. Jacqueline leiht ihrer Freundin Franziska 10 Exemplare der Zeitschrift, bei denen sich der Sportbeitrag in genau sechs Exemplaren mit dem Thema Fußball in genau zwei Exemplaren mit dem Thema Basketball und in genau zwei Exemplaren mit dem Thema Judo beschäftigt. Die Zeitschriften sind nicht geordnet. Franziska, die ein absoluter Fußball-Fan ist, prüft nun nacheinander die Zeitschriften, bis sie den ersten Beitrag zum Thema Fußball findet.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie diesen Beitrag in der zweiten gezogenen Zeitschrift findet.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie diesen Beitrag erst in der fünften gezogenen Zeitschrift findet.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind die Funktionen f durch y = f(x) = {4x} over {x^2`+`1}(x Element von Df) und g durch y= g(x) = 2 ln(x2 +1) (x Element von Df).

  1. Geben Sie für jede der beiden Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich sowie die Nullstellen an.
    Untersuchen Sie die Funktion f auf Symmetrie ihres Graphen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Unter allen Tangenten an den Graphen der Funktion f existiert genau eine mit maximalem Anstieg. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a > 0 ) ist eine Funktion fa durch y = fa(x) = a `{{4x} over {x^2`+`1}}(x Element reeller Zahlen) gegeben.
    Weisen Sie nach, dass für jedes a die Funktion Fa mit y = Fa(x) = 2a ln(x2 +1) (xElement reeller Zahlen) eine Stammunktion der Funktion fa ist.
    Für jedes a > 0 wird durch den Graphen der Funktion fa die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = sqrt {e`-`1} eine Fläche vollständig begrenzt.
    Ermitteln Sie den Wert a, für den der Inhalt dieser Fläche 8 beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Ermitteln Sie mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder unter Verwendung der für die Funktion g(x) existierenden Stammfunktion G(x) mit G(x) = 2x In (x2 + 1) + 4 arctan x - 4x den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird.
    Hinweis: Die Funktion y = arctan x ( x Element reeller Zahlen ) (Arcus-Tangens, GTR-Taste: tan-1) ist die Umkehrfunktion zu y = tan x ( x Element reeller Zahlen, -< x < ).

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koodinatensystem sind die Punkte A(4; 3; 0), B(-1; 0.5; 0) und C(5; 2; 0) gegeben.

  1. Es existieren Kreise in der x-y-Koordinatenebene, die durch die Punkte A und B gehen.
    Ermitteln Sie eine Gleichung für die Menge aller Mittelpunkte dieser Kreise.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

    Es gibt genau einen Kreis k, bei dem die Strecke Strecke AB Durchmesser ist.

  2. Stellen Sie eine Gleichung des Kreises k auf.
    Untersuchen Sie rechnerisch die Lage des Punktes C bezüglich des Kreises k.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Der Kreis k ist der Grundkreis eines geraden Kreiskegels K mit der Spitze S ( x; y; z > 0 ) und mit einem Volumen von {125 over 8}`%pi.
    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S.
    Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen einer Mantellinie des Kreiskegels K und der Grundkreisebene (Neigungswinkel des Kreiskegels).
    Durch parallel in Richtung des Vektors ( STACK {1 # 1 # a }) (a Element reeller Zahlen, a < 0) einfallendes Licht wird für bestimmte Werte von a von dem lichtundurchlässigen Kreiskegel K ein ”Schatten” in der x-y-Koordinatenebene erzeugt.
    Ermitteln Sie alle Werte a, für die ein solcher Schatten entsteht.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/