Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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Gegeben sind {short description of image} und
Kurvendiskussion, h ist Stammfunktion von f, Flächenberechnung, Tangentenberechnung, Flächeninhalt des entstehenden Dreiecks, Dreieck mit maximalem Flächeninhalt

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Die Punkte A, B und S1 sowie die Gerade g und Kreis k sind gegeben. Berechnet werden Geradengeichung, Schnittwinkel, Schnittpunkte, Eigenschaften des Kreiskegels und Lagebeziehung von Gerade und Kreis.

Teil C: Stochastik

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Eine kleine CD-Sammlung - berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener vorgegebener Ergeignisse, überprüfen Sie ein Spiel, berechnen Sie wie oft gezogen werden muß.

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f: - berechnet wird ein Flächeninhalt, der maximale Flächeninhalt eines Rechtecks und eine Tangente so, daß ein gleichschenkliges Dreieck entsteht.

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Gegeben sind die Punkte A und B sowie die Gerade h - gesucht sind Geraden- und Ebenengleichung, Punkte, Durchstoßpunkte und senkrechte Geraden.


Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material Stochastik

Teil A: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen f durch {short description of image} (xElementDf) und h durch (xElement reeller Zahlen). Außerdem ist die zweite Ableitung der Funktion f durch (xElement reeller Zahlen) gegeben.

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der drei Wendepunkte).

    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz der Wendepunkte kann verzichtet werden.

    Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -4<=x<=4.

    Erreichbare BE-Anzahl: 11

  2. Zeigen Sie, dass die Funktion h eine Stammfunktion der Funktion f ist. Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 2 begrenzen im vierten Quadranten eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Die Gerade t sei Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt T (2 / f (2)). Die Gerade s sei das Bild der Geraden t bei der Spieglung an der y-Achse. Die Geraden s und t sowie die x-Achse begrenzen ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  4. Für jedes u (uElement reeller Zahlen, 0 < u < 2) wird durch die Punkte A (2 / 0), Bu (u / 0) und Cu (u / f(u)) ein Dreieck bestimmt.
    Unter diesen Dreiecken existiert genau eines mit maximalem Flächeninhalt. Ermitteln Sie für dieses Dreieck den Wert u.
    Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Existenz des lokalen Maximums kann verzichtet werden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (-4; 2; 12), B (5; 5; 6) und S1 (2; 4; 8) sowie die Gerade g durch die Gleichung (tElement reeller Zahlen) gegeben. Außerdem ist in der x-y-Ebene der Kreis k durch die Gleichung (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25 gegeben.

  1. Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B. Stellen Sie eine Gleichung für die Gerade h auf.
    Weisen Sie nach, daß der Punkt S1 gemeinsamer Punkt der Geraden g und h ist.
    Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den Geraden g und h.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Ein Kreiskegel ist durch den Punkt S1 als Spitze und den Kreis k als Grundkreis bestimmt.

  1. Die Gerade g schneidet die x-y-Ebene im Punkt C.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C und weisen Sie nach, daß der Punkt C auf dem Kreis k liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Begründen Sie, daß der Kreiskegel ein gerader Kreiskegel ist.
    Berechnen Sie das Volumen dieses Kreiskegels.
    Berechnen Sie den Winkel zwischen einer Mantellinie und der Grundkreisebene dieses Kreiskegels (Neigungswinkel des Kreiskegels).
    Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze S2 eines weiteren geraden Kreiskegels, der denselben Grundkreis k wie der bisher betrachtete Kreiskegel besitzt und dessen Neigungswinkel 30° beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen der Geraden mit der Gleichung 4x - 3y - 21 = 0 und dem Kreis k.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Test C: Stochastik

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Nadia besitzt eine kleine CD-Sammlung. In einem Regal hat sie ungeordnet fünf CDs von Michael Jackson, vier von DJ Bobo und drei von Aaron Carter. Weitere CDs befinden sich nicht in dem Regal.

  1. Weil Nadia es eines Tages dem Zufall überlassen will, welche Musik sie hört, zieht sie ohne Zurücklegen mit geschlossenen Augen nacheinander zwei CDs aus dem Regal.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

    Ereignis A: Beide CDs sind von Michael Jackson.
    Ereignis B: Eine gezogene CD ist von DJ Bobo, die andere von Aaron Carter.
    Ereignis C: Beide CDs sind von demselben Interpreten.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Nadia schlägt Silke folgendes Spiel vor:
    "Die 12 CDs werden gut gemischt. Wenn ich mit verbundenen Augen eine CD von Michael Jackson ziehe, erhalte ich von Dir 3,50 DM, ansonsten muß ich 2,00 DM an Dich bezahlen."

    Ermitteln Sie rechnerisch, für wen das Spiel langfristig vorteilhaft ist.
    Welchen Betrag sollte Silke erhalten, damit das Spiel fair wird?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Ein Kaufhaus bietet als Eröffnungsangebot CDs für 10 DM je Stück an. In einer großen Kiste befinden sich viele dieser CDs, welche in Werbehüllen des Kaufhauses verpackt sind, so daß man den Interpreten an der Verpackung nicht erkennen kann. 50 % der CDs sind von Michael Jackson, 30 % von Aaron Carter, der Rest sind CDs von DJ Bobo. Nadia zieht acht CDs. Die Ziehungen können aufgrund der großen Anzahl von CDs als voneinander unabhängig angenommen werden.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

    Ereignis D: Genau 5 CDs von Aaron Carter befinden sich unter den gezogenen.
    Ereignis E: Höchstens 6 CDs von Michael Jackson befinden sich unter den gezogenen.

    Wie viele CDs muß Nadia mindestens ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit, daß sie mindestens eine CD von DJ Bobo zieht, größer als 99 % wird?

    Erreichbare BE-Anzahl 4

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = -1/3 x3 + 3x (xElement reeller Zahlen).
Die Abbildung zeigt das mit einem grafikfähigen Taschenrechner erzeugte Bild des Graphen der Funktion f:

  1. Der Graph der Funktion f und die x-Achse begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Die Punkte Au (u; f(u)) und Cu (u; f(u)) (uElement reeller Zahlen, 0 < u<=3) sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
    Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den ein solches Rechteck haben kann.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Für jedes t (tElement reeller Zahlen) mit sqrt(3) < t < 3 existiert durch den Punkt Pt (t; f(t)) eine Tangente an den Graphen der Funktion f, die die x-Achse in einem Punkt Rt und die y-Achse in einem Punkt St schneidet. Der Koordinatenursprung O sowie die Punkte Rt und St bilden jeweils ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Wert t, für den das zugehörige Dreieck O Rt St gleichschenklig ist.

    Erreichbare BE-Anzahl 3

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (2; -1; 3) und B (8; 3; -1) sowie die Gerade h durch die Gleichung (sElement reeller Zahlen) gegeben.

  1. Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B.
    Zeigen Sie, daß die Geraden g und h parallel zueinander sind.
    Die Geraden g und h liegen in einer Ebene E.
    Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E auf.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Die Strecke ist die Basisseite eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dessen Punkt C auf der Geraden h liegt.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D der Geraden h mit der x-y-Ebene.
    Durch den Punkt D verlaufen Geraden mit Richtungsvektor (2; u; 0) (u ).
    Ermitteln Sie den Wert u, für den die zugehörige Gerade n senkrecht zur Geraden h verläuft.
    Geben Sie die Lage der Geraden n bezüglich der x-y-Ebene an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material für Aufgaben zur Stochastik

Fn;p (k) = Bn;p (0) + ... + Bn;p (k) Summenfunktion der Binomialverteilung

Summenfunktion der Binomialverteilung
n k 0,02 0,05 0,10 0,1667 0,20 0,30 0,3333 0,40 0,50
8 0 0,8508 0,6634 0,4305 0,2326 0,1678 0,0576 0,0390 0,0168 0,0039 7
1 0,9897 0,9428 0,8131 0,6047 0,5033 0,2553 0,1951 0,1064 0,0352 6
2 0,9996 0,9942 0,9619 0,8652 0,7969 0,5518 0,4682 0,3154 0,1445 5
3 1,0000 0,9996 0,9950 0,9693 0,9437 0,8059 0,7414 0,5941 0,3633 4
4 1,0000 0,9996 0,9954 0,9896 0,9420 0,9121 0,8263 0,6367 3
5 1,0000 0,9996 0,9988 0,9887 0,9803 0,9502 0,8555 2
6 1,0000 0,9999 0,9987 0,9974 0,9915 0,9648 1
7 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9961 0
10 0 0,8171 0,5987 0,3487 0,1615 0,1074 0,0282 0,0173 0,0060 0,0010 9
1 0,9838 0,9139 0,7361 0,4845 0,3758 0,1493 0,1040 0,0464 0,0107 8
2 0,9991 0,9885 0,9298 0,7752 0,6778 0,3828 0,2991 0,1673 0,0547 7
3 1,0000 0,9990 0,9872 0,9303 0,8791 0,6496 0,5593 0,3823 0,1719 6
4 0,9999 0,9984 0,9845 0,9672 0,8497 0,7869 0,6331 0,3770 5
5 1,0000 0,9999 0,9976 0,9936 0,9527 0,9234 0,8338 0,6230 4
6 1,0000 0,9997 0,9991 0,9894 0,9803 0,9452 0,8281 3
7 1,0000 0,9999 0,9984 0,9966 0,9877 0,9453 2
8 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9893 1
9 1,0000 1,0000 0,9999 0,9990 0
0,98 0,95 0,90 0,8333 0,80 0,70 0,6667 0,60 0,50

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/