Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung

Teil A: Analysis

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Funktionsgleichung y = f(x) = (x^2-x)/(2x-4)(x Element Df); Gleichungen von Tangenten und Senkrechten; Ermitteln spezieller Tangenten; Flächeninhalt in Abhängigkeit von einem Parameter; Ermitteln einen Parameters zum vorgegebenen Flächeninhalt.

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Untersuchung, ob drei Punkte ein Dreieck bilden; Nachweis der Orthogonalität: Flächeninhalt eines Dreiecks; Ermittlung eines speziellen Eckpunktes eines Trapezes; Schnittpunkt zweier Geraden; Durchstoßpunkt durch Koordinatenebene; Gleichung einer Ebene in allgemeiner Form; Nachweis, daß Punkte in einer Ebene liegen.

Teil C: Stochastik

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Kombinatorische Aufgaben; Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße; Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße; Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsversuchen; Vergleich von Erwartungswerten zweier Zufallsgrößen.

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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Funktionsgleichung y = fk(x) = e-x(x² - x + k) (kElement reeller Zahlen, xElement reeller Zahlen); Schnittwinkel zwischen Tangenten; Ermitteln von Nullstellen in Abhängigkeit von einem Parameter; Extremwertaufgabe: kleinstmöglicher Flächeninhalt eines Dreiecks

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Abstand zweier Punkte in Abhängigkeit von einem Parameter. Ermittlung der Gleichung für den Umkreis eines Dreiecks; Ermitteln von Gleichungen für Tangenten, die zu einer gegebenen Geraden parallel verlaufen; Untersuchung von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit; Ermitteln der Koordinaten eines Eckpunkts eines speziellen Trapezes.

Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (x^2-x)/(2x-4)(x Element Df).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, Verhalten im Unendlichen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -4<=x<=4

    Erreichbare BE-Anzahl: 10

  2. Die Gerade t ist Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P(4; f(4)). Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t.
    Es existieren auch Tangenten an den Graphen der Funktion f die senkrecht zur Tangente t verlaufen.
    Ermitteln Sie die Anzahl dieser zur Geraden t senkrechten Tangenten. Berechnen Sie die Abszissen der Berührungspunkte dieser Tangenten mit dem Graphen der Funktion f.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Gegeben sind die Funktionen ga und h durch y = ga(x) = - x² + 2a² (aElement reeller Zahlen, a > 0; xElement reeller Zahlen) und y = h(x) = x² (xElement reeller Zahlen).

  1. Für jedes a begrenzen der Graph der Funktion ga und der Graph der Funktion h eine Fläche vollständig.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für a =.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Bestimmen Sie den Wert a so, daß die von den Graphen der Funktionen ga und h eingeschlossene Fläche den Inhalt 72 hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3; 2; 1), B(4; 6; 7) C(l; -6; -11), D(l; 3;4), F(6; 5; 4) und S(7/2; 4; 4) gegeben.

  1. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die drei Punkte A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Weisen Sie nach, daß das Dreieck ABD nicht rechtwinklig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABD.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes T so, daß das Viereck ABDT ein Trapez mit TD = 2 AB ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  3. Durch die Punkte A und B wird eine Gerade g2 und durch die Punkte D und F eine Gerade g2 bestimmt.
    Weisen Sie rechnerisch nach, daß der Punkt S der einzige gemeinsame Punkt dieser beiden Geraden ist.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g2 mit der x-z Koordinatenebene.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  4. Das Dreieck ABD liegt in der Ebene E.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in allgemeiner Form. Es existieren Punkte Pa (-1/2 a^2; a/3; 13/9 a) (aElement reeller Zahlen, aungleich0), die in der Ebene E liegen.
    Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

Test C: Stochastik

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Eine Fußballmannschaft besitzt genau 20 Feldspieler und genau zwei Tormänner.

  1. Eine Mannschaftsaufstellung besteht aus genau 10 Feldspieler und genau einem Tormann.
    Wie viele Mannschaftsaufstellungen kann der Trainer bilden, wenn die Feldposition der Spieler nicht berücksichtigt wird?
    Der Feldspieler Hansi soll unbedingt in der Mannschaft sein.
    Wie viele Mannschaftsaufstellungen kann der Trainer unter dieser Bedingung bilden?

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Tormann Thomas hält erfahrungsgemäß Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,15.

  1. Ein Spieler schießt 20 Elfmeter auf das Tor von Thomas, wobei angenommen wird, daß er nicht am Tor vorbeischießt und auch nicht Latte bzw, Pfosten trifft.
    Die Versuche sollen als voneinander unabhängig angenommen werden.
    Wie viele gehaltene Elfmeter sind zu erwarten?
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Thomas genau zwei dieser Elfmeter hält.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür daß Thomas mehr als zwei Elfmeter hält.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Ein Spieler, der erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 das Tor nicht trifft, d. h. am Tor vorbeischießt bzw. Latte oder Pfosten trifft, tritt gegen Thomas im Elfmeterschießen an.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dieser Spieler einen Elfmeter erfolgreich verwandelt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  3. Tormann Rene, der erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 Elfmeter hält, trainiert mit Tormann Thomas und einem Feldspieler. Der Feldspieler, der nicht am Tor vorbeischießt und auch nicht Latte bzw, Pfosten trifft, schießt zunächst 6 Elfmeter gegen Thomas. Die Versuche sind voneinander unabhängig.
    Wie viele Elfmeter müßte der Feldspieler gegen Rene schießen, damit bei beiden Tormännern die gleiche Anzahl gehaltener Elfmeter zu erwarten ist?

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Teil D: Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind die Funktionen fk durch y = fk(x) = e-x(x² - x + k) (kElement reeller Zahlen, xElement reeller Zahlen).

  1. Die Gerade s ist Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt S (0; ).
    Die Gerade t ist Tangente an den Graphen der Funktion f2 im Punkt T(0; f2(0)).
    Ermitteln Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden s und t.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Untersuchen Sie, für welche Werte k die Funktionen fk Nullstellen haben.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Durch den Punkt Pk(0; fk(0)) des Graphen der Funktion fk verläuft die Tangente tk.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente tk.
    Für jeden Wert k < -1 bilden der Koordinatenursprung O, der Punkt Pk sowie der Schnittpunkt Qk der Tangente tk mit der x-Achse ein Dreieck OPkQk.
    Ermitteln Sie den Wert k, für den das zugehörige Dreieck OPkQk den kleinstmöglichen Flächeninhalt aller dieser Dreiecke hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5; 0; 0), B(0; 6; 0) C(0; 0: 0) D(3; 2; 1), E(4; 6; 7), F(1; 3; 4) und G(2; 2; 3) gegeben.

  1. Weiterhin sind die Punkte Pa(8; a; 0) (aElement reeller Zahlen) gegeben.
    Ermitteln Sie die Werte a, für die die zugehörigen Punkte Pa vom Punkt A den Abstand 5 haben.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  2. In der x-y-Koordinatenebene wird durch die Punkte A, B und C ein Dreieck ABC bestimmt.
    Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung des Umkreises k des Dreiecks ABC. Es gibt Tangenten an den Kreis k die parallel zur in der x-y-Koordinatenebene liegenden Geraden g mit der Gleichung y = -5/6 x + 3 verlaufen.
    Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine Gleichung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Untersuchen Sie, ob die Vektoren DE; DF und DGlinear unabhängig sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten derjenigen Punkte Q, für die das Viereck DEFQ jeweils ein Trapez ist, bei dem das Verhältnis der Längen der parallelen Seiten l : 2 beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Übersicht --- Aufgabenstellungen

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