Teil A: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
Funktionsgleichung: y = f(x) = e-x (x² - x - 2) (x
Df);
Flächeninhalt der Fläche unter einer Kurve; Gleichungen von
Tangenten und Senkrechten ermitteln; Schnittpunkte mit Koordinatenachsen;
Flächeninhalt Dreieck; Ermitteln der Parameter in der Gleichung einer
quadratischen Funktion.
Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
Nachweis, daß ein Viereck Rechteck ist; Nachweis, daß ein Prisma gerade ist: Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte von Rechtecken; Verhältnis der Flächeninhalte von Dreiecken; Kreisgleichung; Ermitteln der Gleichungen von Tangenten, die parallel zu einer vorgegebenen Geraden verlaufen
Teil C: Stochastik |
Erwartungsbild --- home |
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen aus einer Urne; Berechnen eines Spieleinsatzes; Berechnen der Anzahl durchzuführender Ziehungen
Aufgabe D1: Analysis |
Erwartungsbild --- home |
Funktionsgleichungen: y = fk(x) = 2kx² - k²x (k
, k
0;
x
); Nullstellen, Extrema in Abhängigkeit von einem Parameter;
Ermitteln einer Ortskurve für die lokalen Extrema einer Kurvenschar;
Ermitteln eines Parameters bei vorgegebenem Flächeninhalt zwischen x
Achse und Kurve.
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
Erwartungsbild --- home |
Kreisgleichung; Nachweis, daß Punkte auf dem Kreis liegen; Abstand einer Sehne vom Kreismittelpunkt; Anwendungsaufgabe: Herstellen einer Schablone für einen Ablage in einer Couchecke.
Teil A: Analysis |
Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = e-x (x² - x
- 2) (xDf).
Geben Sie den größtmöglichen
Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die
Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des
Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen
Extrempunkte, Art der Extrema).
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -1,5
x4.
Erreichbare BE-Anzahl: 9
Die Funktion F mit y = F(x) = e-x (-x² - x + 1) (x)
ist eine Stammfunktion der Funktion f.
Die x Achse und der Graph der Funktion f begrenzen eine Fläche
vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Die Gerade t ist eine Tangente an den Graphen der Funktion f im
Punkt B(0; f(0)). Die Gerade s ist die zur Geraden t senkrechte Gerade
im Punkt B.
Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Geraden s und t.
Die Gerade s schneidet die x-Achse im Punkt S. die Gerade t schneidet
die x Achse im Punkt T.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte S und T, und berechnen Sie
den Flächeninhalt des Dreiecks BST.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g mit y = g(x) = ax²
+ bx + c (a, b, c x ), die die gleichen Nullstellen wie die Funktion f
besitzt und deren Graph durch den Punkt Q(0; 4) verläuft.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche die vom Graphen der Funktion
g und der x-Achse vollständig begrenzt wird.
Erreichbare BE-Anzahl: 4
Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
In
einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Prisma ABCDEF durch die
Koordinaten der Eckpunkte A(4; 0; 0), B( 10; 8; 0), C(6; 11 ; 0), D(0; 3;
0), E(4; 0; 5) gegeben (siehe Abbildung).
(Skizze nicht maßstäblich)
Zeigen Sie, daß das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes F.
Erreichbare BE-Anzahl: 1
Zeigen Sie daß das Prisma ABCDEF ein gerades Prisma ist, und berechnen Sie dessen Volumen.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
Die Diagonalenschnittpunkte der viereckigen Seitenflächen des
Prismas sind die Punkte P, Q und R.
Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte.
Berechnen Sie das Verhältnis des Flächeninhaltes der
Dreiecks PQR zum Flächeninhalt des Dreiecks ADE.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
In der x-y-Koordinatenebene existiert ein Kreis k, auf dem die
Punkte A, B, C und D liegen.
Ermitteln Sie eine Gleichung des Kreises k.
An den Kreis k existieren Tangenten, die parallel zur Sehne verlaufen. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte dieser Tangenten mit dem Kreis k.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
Test C: Stochastik |
Eine Urne enthält fünf blaue und eine gelbe Kugel, Für
das Spiel "Ziehen und Ersetzen' wird folgende Regel vereinbart:
Es wird jeweils genau eine Kugel gezogen. Ist die gezogene Kugel gelb, so
wird sie in die Urne zurückgelegt, ist sie dagegen blau, wird sie
beiseite gelegt und in der Urne durch eine gelbe ersetzt.
Das Spiel "Ziehen und Ersetzen" wird dreimal durchgeführt
und jeweils die Farbe der gezogenen Kugel festgestellt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Ereignis A: Genau eine der gezogenen Kugeln ist gelb.
Ereignis B : Höchstens zwei der gezogenen Kugeln sind blau.
Ereignis C: Nur die dritte Kugel ist blau.
Ereignis D: Die zweite Kugel ist gelb.
Erreichbare BE-Anzahl 4
Auf einem Rummelplatz wird an einem Stand das Spiel "Ziehen und Ersetzen" als Glücksspiel angeboten. Nach einem Einsatz von x DM darf der Spieler dreimal ziehen. Er erhält bei
Erreichbare BE-Anzahl 4
Wie viele Ziehungen sind bei dem beschriebenen Spiel mindestens durchzuführen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man mindestens eine blaue Kugel gezogen hat, größer als 0,98 ist?
Erreichbare BE-Anzahl 2
Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.
Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad) |
Gegeben sind Funktionen fk durch y = fk(X) = 2kx²
- k²x (k
, k0;
x).
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen fk sowie
die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Graphen dieser
Funktionen.
Untersuchen Sie die Art der Extrema in Abhängigkeit von k.
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f-3 und f2.
Erreichbare BE-Anzahl 6
Alle lokalen Extrempunkte der Graphen der Funktionen fk
liegen auf dem Graphen der Funktion h.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion h.
Erreichbare BE-Anzahl 1
Für jedes k begrenzen der Graph der Funktion fk
und die x-Achse eine Fläche vollständig.
Für welche Werte k ist der Inhalt dieser Fläche 27/8?
Erreichbare BE-Anzahl 3
Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra |
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5; 3) und
B(2; 4) sowie ein Kreis k durch die Gleichung x² - 6x + y² -
4y + 8 = 0 gegeben.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius des
Kreises k. Zeigen Sie rechnerisch daß die Punkte A und B auf dem
Kreis k liegen und berechnen Sie den Abstand der Sehne vom
Kreismittelpunkt.
Erreichbare BE-Anzahl 5
Eine Familie richtet sich das Wohnzimmer neu ein und kauft sich
eine Couchgarnitur, die in einer Ecke des Zimmers stehen soll. Das
Eckteil der Couchgarnitur hat eine kreisförmig abgerundete Lehne,
so daß in der Wohnzimmerecke hinter der Couch ein freier Raum
bleibt.
Der Familienvater möchte einen Ablagetisch bauen, der den freien
Raum in der Ecke ausnutzt. Zum Aussägen der Tischplatte möchte
er eine Schablone herstellen.
Beim Abmessen erhielt er folgende Werte (vgl. Skizze):
(Skizze nicht maßstäblich)
Länge der senkrecht zueinander stehenden Schenkel: 650 mm, Abstand Zimmerecke Couch: 350 mm.
Um die Konstruktion auf einem hinreichend großen Zeichenkarton durchführen zu können, führt der Familienvater ein geeignetes Koordinatensystem ein und baut aus einer Nadel, einem Bleistift sowie einer Schnur einen geeigneten "Zirkel".
Berechnen Sie den für die Konstruktion benötigten Radius sowie die Koordinaten des Einstichpunktes für den vom Familienvater gebauten "Zirkel". Runden Sie die Ergebnisse auf Millimeter.
Erreichbare BE-Anzahl 5
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