Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung

Teil A: Analysis

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Funktionsgleichung: y = f(x) = e-x (x² - x - 2) (xElement vonDf); Flächeninhalt der Fläche unter einer Kurve; Gleichungen von Tangenten und Senkrechten ermitteln; Schnittpunkte mit Koordinatenachsen; Flächeninhalt Dreieck; Ermitteln der Parameter in der Gleichung einer quadratischen Funktion.

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Nachweis, daß ein Viereck Rechteck ist; Nachweis, daß ein Prisma gerade ist: Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte von Rechtecken; Verhältnis der Flächeninhalte von Dreiecken; Kreisgleichung; Ermitteln der Gleichungen von Tangenten, die parallel zu einer vorgegebenen Geraden verlaufen

Teil C: Stochastik

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Berechnen von Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen aus einer Urne; Berechnen eines Spieleinsatzes; Berechnen der Anzahl durchzuführender Ziehungen

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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Funktionsgleichungen: y = fk(x) = 2kx² - k²x (kElement reeller Zahlen , kungleich0; xElement reeller Zahlen ); Nullstellen, Extrema in Abhängigkeit von einem Parameter; Ermitteln einer Ortskurve für die lokalen Extrema einer Kurvenschar; Ermitteln eines Parameters bei vorgegebenem Flächeninhalt zwischen x Achse und Kurve.

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Kreisgleichung; Nachweis, daß Punkte auf dem Kreis liegen; Abstand einer Sehne vom Kreismittelpunkt; Anwendungsaufgabe: Herstellen einer Schablone für einen Ablage in einer Couchecke.


Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = e-x (x² - x - 2) (xElement vonDf).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -1,5kleiner oder gleichxkleiner oder gleich4.

    Erreichbare BE-Anzahl: 9

  2. Die Funktion F mit y = F(x) = e-x (-x² - x + 1) (xElement reeller Zahlen) ist eine Stammfunktion der Funktion f.
    Die x Achse und der Graph der Funktion f begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Die Gerade t ist eine Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt B(0; f(0)). Die Gerade s ist die zur Geraden t senkrechte Gerade im Punkt B.
    Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Geraden s und t.
    Die Gerade s schneidet die x-Achse im Punkt S. die Gerade t schneidet die x Achse im Punkt T.
    Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte S und T, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BST.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  4. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g mit y = g(x) = ax² + bx + c (a, b, c x ), die die gleichen Nullstellen wie die Funktion f besitzt und deren Graph durch den Punkt Q(0; 4) verläuft.
    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche die vom Graphen der Funktion g und der x-Achse vollständig begrenzt wird.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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PrismaIn einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Prisma ABCDEF durch die Koordinaten der Eckpunkte A(4; 0; 0), B( 10; 8; 0), C(6; 11 ; 0), D(0; 3; 0), E(4; 0; 5) gegeben (siehe Abbildung).

(Skizze nicht maßstäblich)

  1. Zeigen Sie, daß das Viereck ABCD ein Rechteck ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes F.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  3. Zeigen Sie daß das Prisma ABCDEF ein gerades Prisma ist, und berechnen Sie dessen Volumen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  4. Die Diagonalenschnittpunkte der viereckigen Seitenflächen des Prismas sind die Punkte P, Q und R.
    Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte.
    Berechnen Sie das Verhältnis des Flächeninhaltes der Dreiecks PQR zum Flächeninhalt des Dreiecks ADE.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  5. In der x-y-Koordinatenebene existiert ein Kreis k, auf dem die Punkte A, B, C und D liegen.
    Ermitteln Sie eine Gleichung des Kreises k.

    An den Kreis k existieren Tangenten, die parallel zur Sehne verlaufen. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührungspunkte dieser Tangenten mit dem Kreis k.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

Test C: Stochastik

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Eine Urne enthält fünf blaue und eine gelbe Kugel, Für das Spiel "Ziehen und Ersetzen' wird folgende Regel vereinbart:
Es wird jeweils genau eine Kugel gezogen. Ist die gezogene Kugel gelb, so wird sie in die Urne zurückgelegt, ist sie dagegen blau, wird sie beiseite gelegt und in der Urne durch eine gelbe ersetzt.

  1. Das Spiel "Ziehen und Ersetzen" wird dreimal durchgeführt und jeweils die Farbe der gezogenen Kugel festgestellt.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
    Ereignis A: Genau eine der gezogenen Kugeln ist gelb.
    Ereignis B : Höchstens zwei der gezogenen Kugeln sind blau.
    Ereignis C: Nur die dritte Kugel ist blau.
    Ereignis D: Die zweite Kugel ist gelb.

    Erreichbare BE-Anzahl 4

  2. Auf einem Rummelplatz wird an einem Stand das Spiel "Ziehen und Ersetzen" als Glücksspiel angeboten. Nach einem Einsatz von x DM darf der Spieler dreimal ziehen. Er erhält bei


    ausgezahlt.
    Wie hoch muß der Einsatz mindestens sein, damit dieses Spiel dem Standbesitzer langfristig Gewinn bringt?

    Erreichbare BE-Anzahl 4

  3. Wie viele Ziehungen sind bei dem beschriebenen Spiel mindestens durchzuführen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man mindestens eine blaue Kugel gezogen hat, größer als 0,98 ist?

    Erreichbare BE-Anzahl 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Gegeben sind Funktionen fk durch y = fk(X) = 2kx² - k²x (kElement reeller Zahlen , kungleich0; xElement reeller Zahlen).

  1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen fk sowie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Graphen dieser Funktionen.
    Untersuchen Sie die Art der Extrema in Abhängigkeit von k.
    Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f-3 und f2.

    Erreichbare BE-Anzahl 6

  2. Alle lokalen Extrempunkte der Graphen der Funktionen fk liegen auf dem Graphen der Funktion h.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion h.

    Erreichbare BE-Anzahl 1

  3. Für jedes k begrenzen der Graph der Funktion fk und die x-Achse eine Fläche vollständig.
    Für welche Werte k ist der Inhalt dieser Fläche 27/8?

    Erreichbare BE-Anzahl 3

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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  1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(5; 3) und B(2; 4) sowie ein Kreis k durch die Gleichung x² - 6x + y² - 4y + 8 = 0 gegeben.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius des Kreises k. Zeigen Sie rechnerisch daß die Punkte A und B auf dem Kreis k liegen und berechnen Sie den Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt.

    Erreichbare BE-Anzahl 5Skizze der Maße

  2. Eine Familie richtet sich das Wohnzimmer neu ein und kauft sich eine Couchgarnitur, die in einer Ecke des Zimmers stehen soll. Das Eckteil der Couchgarnitur hat eine kreisförmig abgerundete Lehne, so daß in der Wohnzimmerecke hinter der Couch ein freier Raum bleibt.
    Der Familienvater möchte einen Ablagetisch bauen, der den freien Raum in der Ecke ausnutzt. Zum Aussägen der Tischplatte möchte er eine Schablone herstellen.

    Beim Abmessen erhielt er folgende Werte (vgl. Skizze):

    (Skizze nicht maßstäblich)

    Länge der senkrecht zueinander stehenden Schenkel: 650 mm, Abstand Zimmerecke Couch: 350 mm.

    Um die Konstruktion auf einem hinreichend großen Zeichenkarton durchführen zu können, führt der Familienvater ein geeignetes Koordinatensystem ein und baut aus einer Nadel, einem Bleistift sowie einer Schnur einen geeigneten "Zirkel".

Berechnen Sie den für die Konstruktion benötigten Radius sowie die Koordinaten des Einstichpunktes für den vom Familienvater gebauten "Zirkel". Runden Sie die Ergebnisse auf Millimeter.

Erreichbare BE-Anzahl 5

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