Leistungskurs

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Teil A1: Analysis

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ft (x) = {t^2 + 2} over 2* cos (tx); Kurvendiskussion für f2 (Nullstellen, Symmetrie, kleinste Periode, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Zeichnung in 0 < x < pi); Tangente an f2 in P(Pi Viertel | f2 (Pi Viertel)); Fläche At für ft im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich Pi / (2t)-> Inhalt; minimaler Flächeninhalt; Volumen des Rotationskörpers durch die Fläche A2; g(x) = 2 sin (4x); Zeichnung für 0 kleiner gleich x kleiner gleich pi ; Schnittpunkte von f2 und g; s(x) = f2 (x) + g(x); lokalen Extrempunkte von s im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich pi und Art der Extrema

Teil A2: Analysis

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fa (x) = LN ( {a`+`x} over {a`-`x}); größtmöglicher Definitionsbereich in Abhängigkeit von a an, Kurvendiskussion (Nullstellen, Symmetrie, Monotonie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Koordinaten der Wendepunkte, Zeichnung für f1 und f4 im größtmöglichen Definitionsbereich); Wendetangenten in Abhängigkeit von a; Fa (x) = (a + x) * ln (a + x) + (a - x) * ln (a - x) Nachweis Stammfunktion; Flächeninhalt der von f1 und f4 sowie x = 0,5 vollständig begrenzten Fläche; h(x) = 2 over {1`-`x^2}; Zeichnung im Intervall - l < x < 1; Schnittpunkte mit x = u und f1 und f4 in Pu und Qu; Abstand overline {P_u Q_u} minimal

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Eigenheim - vier Grenzsteine P1 (25; 0; 0), P2 (x2; y2; 0), P3 (-2; 36; 0) und P4 (-5; 15; 0); Standortkoordinaten P2; Fläche und Grundstückspreis; Haus -> Quader mit einem aufgesetzten, dreiseitigen, geraden Prisma angenommen werden ... Dach: Et: 3tx + 4ty + 25z = l44t + 200 bzw. Ft: 3tx + 4ty - 25z = 94t - 200; Dachneigungswinkel alpha (t); Seitenwandhöhe overline CG; Ebenen E5 bzw. F5; Gleichung der Dachfirstgeraden k5; E5 und F5 orthogonal zueinander; Gesamtvolumen des Hauses; alpha soll zwischen 30° und 45° geändert werden -> Parameterwerte von t; Turmdrehkran so, daß P1, P3 und P4 gleichweit vom Standort des Kranes entfernt sind

Teil B2: Geometrie und Algebra

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A, B, C, D und S gegeben -> A, B und C liegen in einer Ebene E1; Parametergleichung und parameterfreier Form; A, B, C und D Eckpunkte eines Quadrates; S ist die Spitze der Pyramide ABCDS -> Lotfußpunktes F; gerade Pyramide; Volumen; Winkel zwischen der Grundfläche und Seitenflächen; Kugel K: (x - 8/3)2 + (y - 19/6)2 + (z - 13/6)2 = 1 -> E1 ist Tangentialebene; parallelen Ebene E2 -> Pyramidenstumpfvolumen 19/2

Teil C1: Stochastik

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Zwei Würfel; Augensumme beim zweifachen Wurf; Wahrscheinlichkeitsverteilung und geeignetes Diagramm; bedingte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte

Teil C2: Stochastik

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Straßenbahn; 5 Ampeln, 2 Weichen; Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; u. a. Binomialverteilung; Erwartungswerte; Hypothesen und Fehler 1. Art

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen ft durch y = ft (x) = {t^2 + 2} over 2* cos (tx) (t Element reeller Zahlen, t > 0; x Element reeller Zahlen).
  1. Führen Sie für die Funktion f2 eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, kleinste Periode, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f2 im Intervall 0 < x < pi.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f2 im Punkt P(Pi Viertel | f2 (Pi Viertel)).

    9 BE

  2. Für jedes t begrenzen die beiden Koordinatenachsen und der Graph der Funktion ft im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich Pi / (2t)eine Fläche At vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von t.
    Ermitteln Sie den Wert für t, für welchen diese Fläche minimal wird.
    Die Fläche A2 erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper.
    Berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers.

    10 BE

  3. Gegeben ist die Funktion g durch y = g(x) = 2 sin (4x) (x Element reeller Zahlen).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion g im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich pi in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a ein.
    Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f2 und g.

    5 BE

  4. Die Funktion s ist gegeben durch y = s(x) = f2 (x) + g(x).
    Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Funktion s im Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich pi , und untersuchen Sie die Art der Extrema.

    6 BE
    30BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen fa durch y = fa (x) = LN ( {a`+`x} over {a`-`x}) (a Element reeller Zahlen, a > 0; x ).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen fa in Abhängigkeit von a an, und führen Sie für die Funktionen fa eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Monotonie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Koordinaten der Wendepunkte).
    Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f1 und f4 im größtmöglichen Definitionsbereich.

    14 BE

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Wendetangenten an die Graphen der Funktionen fa in Abhängigkeit von a.

    2 BE

  3. Gegeben sind die Funktionen Fa durch Fa (x) = (a + x) * ln (a + x) + (a - x) * ln (a - x) (a Element reeller Zahlen, a > 0; x Element von DF ).
    Weisen Sie nach, daß für jedes a die Funktion Fa Stammfunktion der Funktion fa ist.
    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f1 und f4 sowie der Geraden mit der Gleichung x = 0,5 vollständig begrenzt wird.

    6 BE

  4. Gegeben ist die Funktion h durch y = h(x) = 2 over {1`-`x^2} (x Element reeller Zahlen, -1 < x < 1).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion h im Intervall - l < x < 1.
    Jede der Geraden mit der Gleichung x = u (u Element reeller Zahlen, 0 < u < 1) schneidet den Graph der Funktion h im Punkt Pu und den Graph der Funktion f1 im Punkt Qu.
    Für welchen Wert u ist der Abstand overline {P_u Q_u} minimal?
    Berechnen Sie diesen minimalen Abstand.

    8 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Familie Baumann hat sich ein Grundstück gekauft und möchte darauf ein Eigenheim errichten. Das ebene, viereckige Grundstück wird durch die Grenzsteine P1 (25; 0; 0), P2 (x2; y2; 0), P3 (-2; 36; 0) und P4 (-5; 15; 0) markiert (1 LE = 1 m).
Die Grenzsteine P2 und P4 liegen achsensymmetrisch zur Diagonale overline {P_1 P_3}.
Skizze
(Skizze nicht maßstäblich)
  1. Berechnen Sie die Standortkoordinaten des Grenzsteines P2.
    Welchen Grundstückspreis mußte Familie Baumann bezahlen, wenn der Quadratmeterpreis des erschlossenen Grundstücks 73 DM beträgt?

    6 BE

    Das Eigenheim kann als Quader mit einem aufgesetzten, dreiseitigen, geraden Prisma angenommen werden. Der Punkt C(4; 33; 0) ist ein Eckpunkt der Fundamentplatte. Jedes Haus des gewählten Typs hat eine Breite Strecke AB = 10 m und eine Länge Strecke BC = l5 m.
    Die beiden Rechtecke des Daches liegen in Ebenen
    Et: 3tx + 4ty + 25z = l44t + 200 bzw.
    Ft: 3tx + 4ty - 25z = 94t - 200 (t Element reeller Zahlen; t > 0).
    Der Dachneigungswinkel alpha wird durch den Parameter t beeinflußt (siehe Skizze).

  2. Zeigen Sie, daß die Seitenwandhöhe overline CG jedes solchen Hauses von der Wahl des Parameters t unabhängig ist, und berechnen Sie diese.

    3 BE

  3. In einer speziellen Ausführung des Projektes liegen die Dachflächen in den Ebenen E5 bzw. F5.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Dachfirstgeraden k5.
    Weisen Sie nach, daß die Dachebenen E5 und F5 orthogonal zueinander sind.
    Für die Finanzierung des Hauses wird der umbaute Raum (Gesamtvolumen des Hauses ohne Berücksichtigung der Wandstärken) benötigt.
    Berechnen Sie für dieses spezielle Projekt den umbauten Raum.

    5 BE

  4. Um den umbauten Raum zu verkleinern, soll der Dachneigungswinkel a verringert werden. Als Auflage vom Bauamt muß dieser Winkel zwischen einschließlich 30° und 45° liegen.
    Berechnen Sie für diese Bedingungen das Intervall der möglichen Parameterwerte von t.

    3 BE

  5. Zum Bau des Hauses wird ein Turmdrehkran mit horizontalem Ausleger verwendet. Der Kran soll so aufgestellt werden, daß die Grenzsteine P1, P3 und P4 gleichweit vom Standort des Kranes entfernt sind.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Kranstandortes und die erforderliche Auslegerlänge.
    Überprüfen Sie, ob durch solch einen Kran bei dieser Aufstellung das gesamte Grundstück erreicht werden kann.

    3 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1; 2; 1), B(3; 1; 3), C(5; 3; 2), D(3; 4; 0) und S(3/2; 11/2; 9/2) gegeben.
  1. Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E1.
    Stellen Sie für die Ebene El eine Parametergleichung und eine Gleichung in parameterfreier Form auf.
    Weisen Sie nach, daß die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Quadrates sind.

    5 BE

  2. Der Punkt S ist die Spitze der Pyramide ABCDS. Von der Spitze S wird das Lot auf die Ebene, welche die Grundfläche der Pyramide enthält, gefällt.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F.
    Zeigen Sie, daß die Pyramide ABCDS eine gerade Pyramide ist.
    Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS und die Größe des Winkels zwischen der Grundfläche ABCD und einer der Seitenflächen der Pyramide.

    7 BE

  3. Gegeben ist die Kugel K durch die Gleichung (x - 8/3)2 + (y - 19/6)2 + (z - 13/6)2 = 1, deren Mittelpunkt auf der Höhe overline FS der Pyramide ABCDS liegt.
    Zeigen Sie, daß die Ebene E1 Tangentialebene an die Kugel K ist.
    Überprüfen Sie, ob es Punkte der Kugel K gibt, die außerhalb der Pyramide ABCDS liegen.

    5 BE

  4. Die Pyramide ABCDS wird von einer zur Ebene El parallelen Ebene E2 geschnitten, so daß das Volumen des dadurch entstehenden Pyramidenstumpfes 19/2 beträgt.
    Stellen Sie für die Ebene E2 eine Gleichung in parameterfreier Form auf.

    3 BE
    20BE

Teil C1: Stochastik

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Susanne kommt regelmäßig mit der Straßenbahn zur Schule. Auf der Fahrstrecke passiert die Bahn 5 Ampeln und 2 Weichen. Die Ampeln geben unabhängig voneinander der Bahn mit je 30 % Wahrscheinlichkeit freie Fahrt. An den Weichen hat die Bahn mit je 96 % Wahrscheinlichkeit freie Fahrt, d. h, in ca. 4 % der Fälle muß die Bahn halten und die Weiche von Hand gestellt werden.
  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
    Ereignis A: Die Bahn muß an genau einer Ampel und an keiner Weiche halten.
    Ereignis B : Die Bahn muß nur an der ersten Ampel und nur an der ersten Weiche halten.
    Ereignis C: Die Bahn hat an allen Ampeln und an allen Weichen freie Fahrt.

    3 BE

  2. Susanne hat über einen längeren Zeitraum die Wartezeiten an Weichen und Ampeln notiert und dabei folgende Mittelwerte erhalten:
    „Hindernis“ Wartezeit in Sekunden
    Ampel 30
    Weiche 100

    Ermitteln Sie die durchschnittliche Wartezeit der Bahn auf Susannes Schulweg. Geben Sie für alle Fälle, bei denen die Bahn an mehr Weichen als an Ampeln hält, jeweils die Wahrscheinlichkeit an, mit der der Fall eintritt.

    3 BE

  3. Montags, dienstags und mittwochs fährt Susanne gemeinsam mit ihrer Freundin mit der Bahn zur Schule. Fährt die Bahn mit mehreren Wagen, steigen sie in den "Wagen 2" ein, sonst in den "Wagen 1" Donnerstags und freitags fährt Susanne allein zur Schule und benutzt stets den "Wagen 1".
    Nach Angaben der Verkehrsbetriebe verkehren an Schultagen auf Susannes Linie 95 % aller Straßenbahnen mit mehr als einem Wagen.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die folgenden Ereignisse an einem beliebigen Schultag einer vollen Unterrichtswoche (5 Schultage) eintreten.
    Ereignis D: Susanne fährt im "Wagen 1" zur Schule.
    Ereignis E: Susanne fährt mit ihrer Freundin im "Wagen 1" zur Schule.

    2 BE

  4. Susanne erklärt ihrem Tutor, daß die Wahrscheinlichkeit, mit der sie zu spät zur Schule kommt, 10 % beträgt. Der Tutor lehnt diese Hypothese mit der Begründung ab, daß sie von 50 Unterrichtstagen genau 9 mal zu spät gekommen ist.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß er einen Fehler 1. Art begeht?

    2 BE
    10 BE

Teil C2: Stochastik

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Bei einem Würfel W1 haben alle sechs Seitenflächen die gleiche Chance aufzutreten. Auf einer Seitenfläche wurde die Augenzahl 2, auf zwei Seitenflächen die Augenzahl 3 und auf drei Seitenflächen die Augenzahl 4 angebracht.
  1. Die Zufallsgröße X beschreibe die Augensumme beim zweifachen Wurf mit dem Würfel W1.
    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, und stellen Sie diese Verteilung in einem geeigneten Diagramm dar.

    2 BE

  2. Wie oft muß der zweifache Wurf mit diesem Würfel mindestens durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Augensumme größer als 6 in einem Doppelwurf den Wert 0,95 übersteigt?

    2 BE

  3. Der zweifache Wurf mit diesem Würfel soll durch ein Urnenexperiment simuliert werden.
    Beschreiben Sie ein entsprechendes Zufallsexperiment, indem Sie die Zusammensetzung des Urneninhaltes und die Art der Ziehung angeben.

    1 BE

    Ein idealer Würfel W2 sei mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 versehen.

  4. Wie groß ist beim zweifachen Wurf des Würfels W2 die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Augensumme 7 auftritt und dabei in einem Wurf die Augenzahl 4 erscheint?

    1 BE

  5. Ermitteln Sie rechnerisch, welcher der beiden Würfel W1 oder W2 benutzt werden muß, wenn die beim zweifachen Wurf erwartete Augensumme möglichst groß sein soll.

    1 BE

  6. Der Spieler A spielt mit dem Würfel W1 gegen den Spieler B, der den Würfel W2 verwendet.
    Jeder darf bei einem Spiel genau einmal werfen, und die höhere Augenzahl gewinnt.
    Ermitteln Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die beiden Spieler.
    Es wird vereinbart, daß bei jedem Spiel der Verlierer dem Sieger jeweils 2 DM zahlt. Zu Beginn einer Serie von 72 Spielen hat jeder Spieler 50 DM in seiner Kasse.
    Welcher Kassenstand ist für den Spieler A und für den Spieler B nach dieser Serie zu erwarten?

    3 BE
    10 BE


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I: Binomialverteilung Bn, p(k) für n = 20 und n = 50
II: Summenfunktion der Binomialverteilung Fn;p(k) = Bn;p(0) + ... + Bn;p(k)

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