Leistungskurs

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Teil A1: Analysis

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f_t(x) = (x + 1/t) e^-tx ; Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte); Ortskurve der Wendepunkte; Zeichnung von f _-1 und f_0,5;; quadratische Funktion rotiert um die x-Achse -> Volumen über dem Intervall 0 x l; W_t Tangente und Normale bilden Dreieck -> Für welchen Wert t besitzt das Dreieck P_tQ_tW_t den Flächeninhalt 2?

Teil A2: Analysis

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f(x) = ${9`-`x^2} over {x^2`+`3}$ ; Kurvendiskussion (Schnittpunkte mit den Achsen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Zeichnung -8 x 8); Tangente in T(l; f(l)); Schnittwinkel der Tangente mit der y-Achse; Punkte P(0; 0), A(x; f(x)) und B(-x; f(-x)) bilden gleichschenklige Dreiecke -> maximaler Flächeninhalt; durch P₁ (0; f(0)), P₂(-3; f(-3)) und P₃(3; f(3)) verläuft der Graph g mit g(x) = ax² + bx + c -> Fläche erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Rotationskörper -> Volumen; f_k(x) = ${9`-`x^2} over {x^2`+`k}$ -> f^"_k(x) =0

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Gerade g durch A und B sowie die Gerade h und Ebenen E₁, E₂ und E₃ gegeben -> Lagebeziehung g und h; Abstände A zu h und E₁; Schnittwinkel zwischen h und E₁; Schnittgeraden zwischen E₂ und E₃; gemeinsame Punkte von E₁, E₂ und E₃; Kugel K, die den kleinsten Durchmesser unter allen Kugeln besitzt, die sowohl die Gerade g als auch die Gerade h als Tangenten haben; Berührungspunkte von K mit g und h

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Ebene E, Vektoren und sowie die Punkte A und B gegeben -> und linear abhängig; Geraden g_u durch A mit -> u mit B auf g_u und g_u parallel zu E; parameterfreie Form von E; g₂ schneidet E in P; B' sei der Spiegelpunkt von B an der Ebene E -> Flächeninhalt PBB'; Kugel K mit M(4; 5; 1), berührt E -> Gleichung; h; h in E; E* enthält h, steht senkrecht E -> parameterfreier Form von E*; E* ist ebenfalls Tangentialebene an K; K wird von g_u in genau zwei Punkten geschnitten

Teil C1: Stochastik

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12 % der elektronischen Bauteile sind defekt; Binomialverteilung; bedingte Wahrscheinlichkeiten

Teil C2: Stochastik

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Glücksrad mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten; Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse; zweimaligen Drehen und Summenbildung; Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Gegeben ist eine Funktionenschar durch y = f_t(x) = (x + 1/t) e^-tx (t ,t 0;x ).

Führen Sie für f_t eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte).
9 BE
Geben Sie eine Gleichung der Funktion an, auf deren Graph alle Wendepunkte der Funktionenschar f_t liegen.
1 BE
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f _-1 und f_0,5.
2 BE
Für jedes k (k , k > 0) begrenzen die Geraden x = k, die Koordinatenachsen und der Graph der Funktion f_0,5 eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt A(k) dieser Fläche.
Ermitteln Sie . (Hinweis: $stack { func lim {k over sqrt(e^k)} # { k TOWARD %unendlich}} ~=~0$ )
5 BE
Der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Scheitel im Koordinatenursprung schneidet den Graph der Funktion f_0,5 im Punkt P (1; f_0,5 (1)).
Der Graph dieser quadratischen Funktion rotiert um die x-Achse.
Ermitteln Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers über dem Intervall 0 x l.
3 BE

Für die folgenden Aufgabenteile f und g gelte stets t und t > 0.
Auf jedem Graph der Funktionen f_t liegt ein Punkt W_t .
Die Tangente an den Graph der Funktion f_t, die durch den Punkt W_t verläuft schneidet die x-Achse im Punkt P_t. Die Normale an den Graph der Funktion f_t, die durch den Punkt W_t verläuft, schneidet die x-Achse im Punkt Q_t.
Für welchen Wert t besitzt das Dreieck P_tQ_tW_t den Flächeninhalt 2?

8 BE
Für jedes t gibt es eine Gerade g_t mit y = g_t(x) = t*x + 1.
Bestimmen Sie den Wert für t so, daß diese Gerade den Graph der zugehörigen Funktion f_t in genau einem Punkt schneidet.

2 BE
30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = ${9`-`x^2} over {x^2`+`3}$ (x ).

Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Schnittpunkte mit den Achsen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen).
Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -8 x 8.
11 BE
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt T(l; f(l)).
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Tangente mit der y-Achse.
4 BE
Die Punkte P(0; 0), A(x; f(x)) und B(-x; f(-x)) mit 0 < x < 3 bilden gleichschenklige Dreiecke. Unter diesen Dreiecken existiert genau ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt.
(Auf den Nachweis der Art des Extremums kann verzichtet werden.)
5 BE
Durch die Punkte P₁ (0; f(0)), P₂(-3; f(-3)) und P₃(3; f(3)) verläuft der Graph der Funktion g mit y = g(x) = ax² + bx + c (x ).
Der Graph der Funktion g und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Diese Fläche erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Rotationskörper.
Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers.
6 BE
Gegeben ist eine Funktionenschar durch y = f_k(x) = ${9`-`x^2} over {x^2`+`k}$ (k ; x $%epsilon D_{f_k}$ ). Unter diesen Funktionen existiert genau eine Funktion, für die für alle x gilt f^"_k(x) =0.
Zeigen Sie, daß diese Funktion f_k keine Polstellen besitzt.
4 BE
30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g durch die Punkte A(2; 0; 8) und B(6; -6; 4) sowie die Gerade h durch die Gleichung (t ) bestimmt.
Außerdem sind die Ebenen E₁, E₂ und E₃ durch folgende Gleichungen gegeben:

E₁	5x + y - 3z = -5
E₂	x - 8y - 7z = 29
E₃	3x - 2y + z = 21

Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g und h.
3 BE
Berechnen Sie die Abstände des Punktes A zur Geraden h und zur Ebene E₁.
5 BE
Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden h und der Ebene E₁.
2 BE
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden zwischen den Ebenen E₂ und E₃.
2 BE
Untersuchen Sie die Ebenen E₁, E₂ und E₃ auf gemeinsame Punkte.
3 BE
Die Kugel K sei diejenige Kugel, die den kleinsten Durchmesser unter allen Kugeln besitzt, die sowohl die Gerade g als auch die Gerade h als Tangenten haben.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Berührungspunkte der Kugel K mit den Geraden g und h, und geben Sie eine Gleichung der Kugel K an.
5 BE
20BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E durch ; die Vektoren $vec a_u ~=~(ALIGNR STACK {u^2 #2 #u })$ und $vec b_u ~=~(ALIGNR STACK {9`-`5u^2 # -8 # -4u })$ (r, s u ) sowie die Punkte A(0; 3; 1) und B(8;7; 5) gegeben.

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters u, für die die Vektoren und linear abhängig sind.
2 BE
Die Geraden g_u verlaufen durch den Punkt A und haben die Richtungsvektoren .
Ermitteln Sie von den Geraden g_u diejenige Gerade, die durch den Punkt B verläuft, und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an.
Untersuchen Sie, ob es Werte für den Parameter u gibt, für die die jeweils zugehörige Gerade g_u parallel zur Ebene E verläuft.
5 BE
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form.
Für u = 2 schneidet die Gerade g₂ die Ebene E im Punkt P.
Zeigen Sie, daß der Punkt P die Koordinaten (-10; -2; -4) hat.
B' sei der Spiegelpunkt von B an der Ebene E.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B', und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PBB'.
6 BE
K sei die Kugel mit dem Mittelpunkt M(4; 5; 1) die die Ebene E berührt.
Stellen Sie eine Gleichung der Kugel K auf.
Die Gerade h sei gegeben durch die Gleichung: (t ).
Weisen Sie nach, daß die Gerade h in der Ebene E liegt.
Eine Ebene E* enthält die Gerade h und steht senkrecht zur Tangentialebene E.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E* in parameterfreier Form.
Zeigen Sie, daß die Ebene E* ebenfalls Tangentialebene an die Kugel K ist.

5 BE
Weisen Sie nach, daß die Kugel K von jeder Geraden g_u in genau zwei Punkten geschnitten wird.

2 BE
20BE

Teil C1: Stochastik

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Ein Betrieb hat sich auf die Produktion elektronischer Bauelemente spezialisiert. Erfahrungsgemäß sind 12 % der produzierten Bauteile defekt.

Der laufenden Produktion werden 5 Bauteile entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?
2 BE
Einer Tagesproduktion von 50 Stück, die genau 6 defekte Teile enthält, werden 5 Teile entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?
2 BE

In diesem Betrieb wird durch ein Prüfgerät ein defektes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,96 als defekt erkannt. Allerdings zeigt das Prüfgerät auch einwandfreie Teile fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 als defekt an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Prüfgerät die richtige Entscheidung trifft?
1 BE
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt das Gerät ein der laufenden Produktion entnommenes Bauteil als defekt an?
1 BE
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein als defekt angezeigtes Bauteil auch wirklich defekt ist?
2 BE
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein durch das Prüfgerät als nicht defekt angezeigtes Teil auch wirklich nicht defekt ist.
2 BE
10 BE

Teil C2: Stochastik

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Ein Glücksrad sei in drei Kreissektoren eingeteilt, die jeweils genau eine der drei Zahlen 2, 3 oder 5 enthalten.
Bei jeder Drehung des Rades wird genau ein Kreissektor angezeigt Die Größe der Kreissektoren ist so gewählt, daß die Zahlen jeweils mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.

Zahl	2	3	5
Wahrscheinlichkeit	0,5	0,3	0,2

Skizzieren Sie ein solches Rad, und geben Sie die Winkel der Kreissektoren an.
1 BE
Das Rad werde zehnmal gedreht.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
Ereignis A: Die Zahl 3 tritt nicht auf.
Ereignis B: Die Zahl 5 tritt mehr als zweimal und weniger als fünfmal auf.
2 BE
Ein Zufallsexperiment bestehe im zweimaligen Drehen des Rades Die Summe der dabei ermittelten Zahlen wird jeweils notiert.
Ermitteln Sie den Erwartungswert dieser Summe.
Dieses Experiment werde dreimal durchgeführt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dabei die Summe 4 höchstens einmal auf?
3 BE
Ein anderes Glücksrad sei in zwei Kreissektoren eingeteilt. Ein Kreissektor enthalte die Zahl 7 und der andere die Zahl 9.
Bei einem Glücksspiel werde das Rad zweimal gedreht. Der Einsatz beträgt 5 DM. Wird zweimal die Zahl 7 ermittelt, so erhält der Spieler 10 DM ausgezahlt. Wird zweimal die Zahl 9 ermittelt, so erhält der Spieler 5 DM ausgezahlt. In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.
Wie würden Sie das Glücksrad in Kreissektoren einteilen, damit das Spiel fair ist?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
4 BE
10 BE

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