Leistungskurs

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Teil A1: Analysis

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ft(x) = (x + 1/t) e-tx ; Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte); Ortskurve der Wendepunkte; Zeichnung von f -1 und f0,5;stack { LIM A(k) # k TOWARD %unendlich}; quadratische Funktion rotiert um die x-Achse -> Volumen über dem Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich l; Wt ( 1 over t;`2 over {t*e}) Tangente und Normale bilden Dreieck -> Für welchen Wert t besitzt das Dreieck PtQtWt den Flächeninhalt 2?

Teil A2: Analysis

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f(x) = {9`-`x^2} over {x^2`+`3}; Kurvendiskussion (Schnittpunkte mit den Achsen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, Zeichnung -8 kleiner gleich x kleiner gleich 8); Tangente in T(l; f(l)); Schnittwinkel der Tangente mit der y-Achse; Punkte P(0; 0), A(x; f(x)) und B(-x; f(-x)) bilden gleichschenklige Dreiecke -> maximaler Flächeninhalt; durch P1 (0; f(0)), P2 (-3; f(-3)) und P3 (3; f(3)) verläuft der Graph g mit g(x) = ax2 + bx + c -> Fläche erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Rotationskörper -> Volumen; fk(x) = {9`-`x^2} over {x^2`+`k} -> f"k(x) =0

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Gerade g durch A und B sowie die Gerade h und Ebenen E1, E2 und E3 gegeben -> Lagebeziehung g und h; Abstände A zu h und E1; Schnittwinkel zwischen h und E1; Schnittgeraden zwischen E2 und E3; gemeinsame Punkte von E1, E2 und E3; Kugel K, die den kleinsten Durchmesser unter allen Kugeln besitzt, die sowohl die Gerade g als auch die Gerade h als Tangenten haben; Berührungspunkte von K mit g und h

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Ebene E, Vektoren vec a_u und vec b_usowie die Punkte A und B gegeben -> vec a_uund vec b_u linear abhängig; Geraden gu durch A mit vec a_u -> u mit B auf gu und gu parallel zu E; parameterfreie Form von E; g2 schneidet E in P; B' sei der Spiegelpunkt von B an der Ebene E -> Flächeninhalt PBB'; Kugel K mit M(4; 5; 1), berührt E -> Gleichung; h; h in E; E* enthält h, steht senkrecht E -> parameterfreier Form von E*; E* ist ebenfalls Tangentialebene an K; K wird von gu in genau zwei Punkten geschnitten

Teil C1: Stochastik

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12 % der elektronischen Bauteile sind defekt; Binomialverteilung; bedingte Wahrscheinlichkeiten

Teil C2: Stochastik

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Glücksrad mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten; Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse; zweimaligen Drehen und Summenbildung; Erwartungswert

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Teil A1: Analysis

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Gegeben ist eine Funktionenschar durch y = ft(x) = (x + 1/t) e-tx (t Element reeller Zahlen,t ungleich 0;x Element reeller Zahlen).
  1. Führen Sie für ft eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte).

    9 BE

  2. Geben Sie eine Gleichung der Funktion an, auf deren Graph alle Wendepunkte der Funktionenschar ft liegen.

    1 BE

  3. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f -1 und f0,5.

    2 BE

  4. Für jedes k (k Element reeller Zahlen, k > 0) begrenzen die Geraden x = k, die Koordinatenachsen und der Graph der Funktion f0,5 eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt A(k) dieser Fläche.
    Ermitteln Sie stack { LIM A(k) # k TOWARD %unendlich}. (Hinweis: stack { func lim  {k over sqrt(e^k)} # { k TOWARD %unendlich}}  ~=~0)

    5 BE

  5. Der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Scheitel im Koordinatenursprung schneidet den Graph der Funktion f0,5 im Punkt P (1; f0,5 (1)).
    Der Graph dieser quadratischen Funktion rotiert um die x-Achse.
    Ermitteln Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers über dem Intervall 0 kleiner gleich x kleiner gleich l.

    3 BE

    Für die folgenden Aufgabenteile f und g gelte stets t Element reeller Zahlen und t > 0.

  6. Auf jedem Graph der Funktionen ft liegt ein Punkt Wt ( 1 over t;`2 over {t*e}).
    Die Tangente an den Graph der Funktion ft, die durch den Punkt Wt verläuft schneidet die x-Achse im Punkt Pt. Die Normale an den Graph der Funktion ft, die durch den Punkt Wt verläuft, schneidet die x-Achse im Punkt Qt.
    Für welchen Wert t besitzt das Dreieck PtQtWt den Flächeninhalt 2?

    8 BE

  7. Für jedes t gibt es eine Gerade gt mit y = gt(x) = t*x + 1.
    Bestimmen Sie den Wert für t so, daß diese Gerade den Graph der zugehörigen Funktion ft in genau einem Punkt schneidet.

    2 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = {9`-`x^2} over {x^2`+`3} (x Element reeller Zahlen).
  1. Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Schnittpunkte mit den Achsen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Koordinaten der Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -8 kleiner gleich x kleiner gleich 8.

    11 BE

  2. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt T(l; f(l)).
    Berechnen Sie den Schnittwinkel der Tangente mit der y-Achse.

    4 BE

  3. Die Punkte P(0; 0), A(x; f(x)) und B(-x; f(-x)) mit 0 < x < 3 bilden gleichschenklige Dreiecke. Unter diesen Dreiecken existiert genau ein Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
    Berechnen Sie diesen Flächeninhalt.
    (Auf den Nachweis der Art des Extremums kann verzichtet werden.)

    5 BE

  4. Durch die Punkte P1 (0; f(0)), P2 (-3; f(-3)) und P3 (3; f(3)) verläuft der Graph der Funktion g mit y = g(x) = ax2 + bx + c (x Element reeller Zahlen).
    Der Graph der Funktion g und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche vollständig. Diese Fläche erzeugt bei Rotation um die y-Achse einen Rotationskörper.
    Berechnen Sie das Volumen dieses Körpers.

    6 BE

  5. Gegeben ist eine Funktionenschar durch y = fk(x) = {9`-`x^2} over {x^2`+`k} (k Element reeller Zahlen; x %epsilon D_{f_k}). Unter diesen Funktionen existiert genau eine Funktion, für die für alle x gilt f"k(x) =0.
    Zeigen Sie, daß diese Funktion fk keine Polstellen besitzt.

    4 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g durch die Punkte A(2; 0; 8) und B(6; -6; 4) sowie die Gerade h durch die Gleichung vec x ~=~  (ALIGNR STACK { 4 # 6 # -3 }) `*`  t`(ALIGNR STACK {4 # -1 # 1 }) (t Element reeller Zahlen) bestimmt.
Außerdem sind die Ebenen E1, E2 und E3 durch folgende Gleichungen gegeben:

E1

5x + y - 3z = -5

E2

x - 8y - 7z = 29

E3

3x - 2y + z = 21

  1. Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g und h.

    3 BE

  2. Berechnen Sie die Abstände des Punktes A zur Geraden h und zur Ebene E1.

    5 BE

  3. Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden h und der Ebene E1.

    2 BE

  4. Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden zwischen den Ebenen E2 und E3.

    2 BE

  5. Untersuchen Sie die Ebenen E1, E2 und E3 auf gemeinsame Punkte.

    3 BE

  6. Die Kugel K sei diejenige Kugel, die den kleinsten Durchmesser unter allen Kugeln besitzt, die sowohl die Gerade g als auch die Gerade h als Tangenten haben.
    Ermitteln Sie die Koordinaten der Berührungspunkte der Kugel K mit den Geraden g und h, und geben Sie eine Gleichung der Kugel K an.

    5 BE
    20BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene E durch vec x ~=~  (ALIGNR STACK {-2 # 0 # 2 }) `*` r`(ALIGNR STACK {-2 # -1 # -2 })`*` s`(ALIGNR STACK {0 # 1 # 1 }); die Vektoren vec a_u ~=~(ALIGNR STACK {u^2 #2 #u }) und vec b_u ~=~(ALIGNR STACK {9`-`5u^2 # -8 # -4u }) (r, s u Element reeller Zahlen) sowie die Punkte A(0; 3; 1) und B(8;7; 5) gegeben.
  1. Bestimmen Sie alle Werte des Parameters u, für die die Vektoren vec a_u und vec b_u linear abhängig sind.

    2 BE

  2. Die Geraden gu verlaufen durch den Punkt A und haben die Richtungsvektoren vec a_u.
    Ermitteln Sie von den Geraden gu diejenige Gerade, die durch den Punkt B verläuft, und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an.
    Untersuchen Sie, ob es Werte für den Parameter u gibt, für die die jeweils zugehörige Gerade gu parallel zur Ebene E verläuft.

    5 BE

  3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form.
    Für u = 2 schneidet die Gerade g2 die Ebene E im Punkt P.
    Zeigen Sie, daß der Punkt P die Koordinaten (-10; -2; -4) hat.
    B' sei der Spiegelpunkt von B an der Ebene E.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B', und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks PBB'.

    6 BE

  4. K sei die Kugel mit dem Mittelpunkt M(4; 5; 1) die die Ebene E berührt.
    Stellen Sie eine Gleichung der Kugel K auf.
    Die Gerade h sei gegeben durch die Gleichung: vec x ~=~  (ALIGNR STACK { 0 # -3 # 0 }) `*`  t`(ALIGNR STACK {2 # -2 # 1 }) (t Element reeller Zahlen).
    Weisen Sie nach, daß die Gerade h in der Ebene E liegt.
    Eine Ebene E* enthält die Gerade h und steht senkrecht zur Tangentialebene E.
    Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E* in parameterfreier Form.
    Zeigen Sie, daß die Ebene E* ebenfalls Tangentialebene an die Kugel K ist.

    5 BE

  5. Weisen Sie nach, daß die Kugel K von jeder Geraden gu in genau zwei Punkten geschnitten wird.

    2 BE
    20BE

Teil C1: Stochastik

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Ein Betrieb hat sich auf die Produktion elektronischer Bauelemente spezialisiert. Erfahrungsgemäß sind 12 % der produzierten Bauteile defekt.
  1. Der laufenden Produktion werden 5 Bauteile entnommen.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?

    2 BE

  2. Einer Tagesproduktion von 50 Stück, die genau 6 defekte Teile enthält, werden 5 Teile entnommen.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist höchstens eines dieser Bauteile defekt?

    2 BE

    In diesem Betrieb wird durch ein Prüfgerät ein defektes Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,96 als defekt erkannt. Allerdings zeigt das Prüfgerät auch einwandfreie Teile fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,02 als defekt an.

  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Prüfgerät die richtige Entscheidung trifft?

    1 BE

  4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt das Gerät ein der laufenden Produktion entnommenes Bauteil als defekt an?

    1 BE

  5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein als defekt angezeigtes Bauteil auch wirklich defekt ist?

    2 BE

  6. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein durch das Prüfgerät als nicht defekt angezeigtes Teil auch wirklich nicht defekt ist.

    2 BE
    10 BE

Teil C2: Stochastik

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Ein Glücksrad sei in drei Kreissektoren eingeteilt, die jeweils genau eine der drei Zahlen 2, 3 oder 5 enthalten.
Bei jeder Drehung des Rades wird genau ein Kreissektor angezeigt Die Größe der Kreissektoren ist so gewählt, daß die Zahlen jeweils mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.

Zahl 2 3 5
Wahrscheinlichkeit 0,5 0,3 0,2
  1. Skizzieren Sie ein solches Rad, und geben Sie die Winkel der Kreissektoren an.

    1 BE

  2. Das Rad werde zehnmal gedreht.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
    Ereignis A: Die Zahl 3 tritt nicht auf.
    Ereignis B: Die Zahl 5 tritt mehr als zweimal und weniger als fünfmal auf.

    2 BE

  3. Ein Zufallsexperiment bestehe im zweimaligen Drehen des Rades Die Summe der dabei ermittelten Zahlen wird jeweils notiert.
    Ermitteln Sie den Erwartungswert dieser Summe.
    Dieses Experiment werde dreimal durchgeführt.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dabei die Summe 4 höchstens einmal auf?

    3 BE

  4. Ein anderes Glücksrad sei in zwei Kreissektoren eingeteilt. Ein Kreissektor enthalte die Zahl 7 und der andere die Zahl 9.
    Bei einem Glücksspiel werde das Rad zweimal gedreht. Der Einsatz beträgt 5 DM. Wird zweimal die Zahl 7 ermittelt, so erhält der Spieler 10 DM ausgezahlt. Wird zweimal die Zahl 9 ermittelt, so erhält der Spieler 5 DM ausgezahlt. In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.
    Wie würden Sie das Glücksrad in Kreissektoren einteilen, damit das Spiel fair ist?
    Begründen Sie Ihre Entscheidung.

    4 BE
    10 BE


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