Grundkurs
- f( x) =
-> größtmöglicher Definitionsbereich; Kurvendiskussion
(Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der
Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Wertetabelle, Skizze);
Tangente in P(1; f(1)); g(x) = x-2 und x = 3 -> Flächeninhalt;
x = k -> Flächeninhalt und Grenzwert für k ->
;
fa(x) = 
-> hat genau ein lokales Minimum
- f(x) = (2x + 3) * e-x -> größtmöglicher
Definitionsbereich und Kurvendiskussion (Nullstellen, Koordinaten des
Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art
der Extrema, f(2) und f(4), Zeichnung); Nachweis F(x) = -ex *
(2x + 5) ist Stammfunktion; x = 2 -> Inhalt der vollständig
eingeschlossenen Fläche; g(x) = e-x -> Schnittpunkt
von f und g; d(x) = f(x) - g(x) maximal; Tangente an g verläuft durch
Koordinatenursprung -> Berührungspunkt dieser Tangente mit g;
x-Achse, Tangente t an f in S(1; f(1)) und Normale wird ein Dreieck
begrenzt -> Flächeninhalt
- Punkte A, B, C und D sind gegeben -> Dreieck ABC ist
gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck; Schnittwinkel gAD
bzw. gCD; Flächeninhalt des Vierecks ABCD; Umkreis k des
Dreiecks ABC; Tangente an k durch B; Mittelsenkrechte mAC ->
Koordinaten aller auf der Mittelsenkrechten mAC liegenden
Punkte, die vom Mittelpunkt M der Strecke
den Abstand 
haben
- Quader ABCDEFGH mit den Punkten A, D und F gegeben; ABCD liegt in der
x-y-Ebene -> restliche Punkte und Zeichnung; Länge der
Raumdiagonale
;
Diagonalenschnittpunkt S des Vierecks DCGH; gSF -> Durchstoßpunktes
T durch die x-y-Ebene; rechtwinkligen Dreiecks DBK berechnen und Flächeninhalt
AGK; Punkt L mit 
BDL
= 60°; Kreis kM(5; 3) enthält W (1; 3) -> k; g: x
- y + 1 = 0 schneidet -> Schnittpunkte
- Gegeben sind z1 und z2 -> Darstellung in
der Gaußschen Zahlenebene; z1 - z2 durch
Konstruktion und Berechnung von z1 - z2 und
;
Skizze der Lösungen x5 = -243; Lösungen von x2
+ 2x + 1 + 2i = 0
- Hyperbel: 7x2 - 14y2 = 98 und t: y = 2x - 7
gegeben -> Konstruktion der Hyperbel; P1 (4; y1)
und t ist Tangente; Normale durch P2 (-4; - 1); Kreis mit
Mittelpunkt im Koordinatenursprung und der t als Tangente hat
x +2y = 8
-2x - ay = b |
sächsisches Weingut bietet 3 Geschenksortimente ... |
g1: 
g2: y - 2x + 3 = 0
g3: y = m x + 2 |
- Kandidatenpaar in einer Fernsehshow -> Binomialverteilungen mit
verschiedenen Parametern und deren Summenfunktion; Erwartungswert;
Kombinatorik
- Rummelplatz -> Kombinatorik; Würfeln und Bilden der
Augensumme; Erwartungswert der Binomialverteilung; Binomialverteilung
Übersicht --- Aufgabenstellungen
--- home
- Gegeben ist die Funktion f durch y = f( x) =
(x
Df).
- Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der
Funktion f an, und führen Sie für die Funktion f eine
Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen
Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen).
10 BE
- Vervollständigen Sie folgende Wertetabelle:
| x |
-4 |
-2 |
-0,5 |
1 |
|
4 |
| y = f(x) |
|
|
|
|
0 |
|
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -4
x
4.
- Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f
im Punkt P(1; f(1)).
4 BE
Gegeben ist außerdem die Funktion g durch y = g(x) = x-2
(x 
;
x 
0).
- Die Graphen der Funktionen f und g und die Gerade x = 3 begrenzen
eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
7 BE
- Die Graphen der Funktionen f und g und jede der Geraden x = k (k
,
k > 1) begrenzen jeweils eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von k.
Ermitteln Sie den Grenzwert dieses Flächeninhalts für k ->
.
4 BE
- Gegeben sind Funktionen fa durch y = fa(x) =
( a ,
a > 0; x ,
x
0).
Weisen Sie nach, daß jede dieser Funktionen genau ein lokales
Minimum besitzt.
5 BE
30 BE
- Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (2x + 3) * e-x
(x
Df).
- Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der
Funktion f an, und führen Sie eine Kurvendiskussion für die
Funktion f durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der
y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
Berechnen Sie f(2) und f(4), und zeichnen Sie den Graph der Funktion f
im Intervall 2
x
4.
10 BE
- Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit y = F(x) = -ex
* (2x + 5) (x )
eine Stammfunktion der Funktion f ist.
Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion f und die Gerade x = 2
begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
5 BE
- Gegeben ist weiterhin die Funktion g durch y = g(x) = e-x
( x ).
Zeichnen Sie den Graph der Funktion g in das Koordinatensystem von
Aufgabenteil a.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f und
g.
Bestimmen Sie die Stelle, an der die Differenz der Funktionswerte d(x)
= f(x) - g(x) maximal wird.
8 BE
- Eine Tangente an den Graph der Funktion g verläuft durch den
Koordinatenursprung.
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes dieser
Tangente mit dem Graph der Funktion g.
2 BE
- Durch die x-Achse, die Tangente t an den Graph der Funktion f im
Punkt S(-1; f(-1)) und die Senkrechte zur Tangente t im Punkt S wird ein
Dreieck begrenzt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
5 BE
30 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (5; -1), B
(6; 3) C (2; 4) und D (-5; 5) gegeben.
- Zeigen Sie rechnerisch, daß das Dreieck ABC ein
gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck ist.
4 BE
- Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden, die durch die Punkte A
und D bzw. C und D verlaufen.
2 BE
- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.
4 BE
- Der Umkreis des Dreiecks ABC sei der Kreis k.
Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises k.
Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Kreis k,
die durch den Punkt B verläuft.
5 BE
- Die Mittelsenkrechte zur Strecke
sei mAC.
Berechnen Sie die Koordinaten aller auf der Mittelsenkrechten mAC
liegenden Punkte, die vom Mittelpunkt M der Strecke
den Abstand
haben.
5 BE
20 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Quader ABCDEFGH mit
den Punkten A (10; 0; 0), D (0; 0; 0) und F (10; 6; 8) gegeben. Die Fläche
ABCD liegt in der x-y-Ebene.
- Geben Sie die Koordinaten der restlichen Punkte des Quaders an, und
zeichnen Sie den Quader in ein kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale
.
3BE
- Der Diagonalenschnittpunkt S des Vierecks DCGH und der Punkt F
bestimmen eine Gerade.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes T dieser
Geraden durch die x-y-Ebene.
3 BE
- Die Punkte D, B und K sind Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.
Ermitteln Sie die z-Koordinate des Punktes K (10; 6; z) mit z > 0
so, daß das Dreieck DBK den Flächeninhalt 5 *
hat.
Berechnen Sie außerdem den Flächeninhalt des Dreiecks AGK.
5 BE
- Auf der Kante
liegt ein Punkt L so, daß gilt BDL
= 60°.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L.
Weisen Sie nach, daß es auf dieser Kante keinen Punkt N derart
gibt, daß gilt BDN
= 90°.
5 BE
Die folgende Teilaufgabe e bezieht sich nur auf die x-y-Ebene.
- Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M (5; 3) enthält den Punkt W (1;
3).
Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an.
Die Gerade g mit der Gleichung x - y + 1 = 0 schneidet den Kreis k in
zwei Punkten.
Berechnen Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte.
4 BE
20BE
- Für die folgenden Aufgabenteile gilt stets i2 = 1.
- Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 6 + 8i und z2
=
.
Stellen Sie die Zahlen z1 und z2 in der Gaußschen
Zahlenebene dar.
Ermitteln Sie die Zahl z1 - z2 durch eine
Konstruktion in der Gaußschen Zahlenebene.
Berechnen Sie die Zahlen z1 - z2 und
.
Geben Sie beide Ergebnisse in der Form a + b i an.
5 BE
- Stellen Sie in einer Skizze die Lösungen der Gleichung x5
= -243 in der Gaußschen Zahlenebene dar.
2 BE
- Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung x2 + 2x + 1
+ 2i = 0, und geben Sie diese in der Form a + bi an.
3 BE
10 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem sind eine Hyperbel durch die
Gleichung 7x2 - 14y2 = 98 und die Gerade t durch
die Gleichung y = 2x - 7 gegeben.
- Konstruieren Sie mindestens 8 Punkte der Hyperbel, und zeichnen Sie
diese Hyperbel im Intervall -8
x
8.
2 BE
- Der Punkt P1 (4; y1) mit y1 >
0 sei ein Punkt der Hyperbel.
Berechnen Sie die Ordinate des Punktes P1.
Weisen Sie rechnerisch nach, daß die Gerade t Tangente an die
Hyperbel im Punkt P1 ist.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P2
(-4; - 1) verläuft und senkrecht auf der Hyperbel steht.
Zeigen Sie, daß die Tangente an die Hyperbel im Punkt P2
parallel zur Geraden t verläuft.
6 BE
- Bestimmen Sie eine Gleichung für den Kreis, dessen Mittelpunkt
im Koordinatenursprung liegt und der ebenfalls die Gerade t als Tangente
hat.
2 BE
10 BE
- Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
x +2y = 8
-2x - ay = b (a,b ).
Für welche Werte von a und b besitzt das Gleichungssystem genau
eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen?
2 BE
- Ein sächsisches Weingut bietet 3 Geschenksortimente mit je 6
Flaschen Wein an. Dazu gehören jeweils 3 Sorten Wein
unterschiedlicher Qualität und Preislage.
|
Anzahl Flaschen der Sorte |
Preis je Sortiment |
| I |
II |
III |
| 1. Sortiment |
1 |
3 |
2 |
39,40 DM |
| 2. Sortiment |
2 |
2 |
2 |
40,40 DM |
| 3. Sortiment |
1 |
4 |
1 |
33,40 DM |
Berechnen Sie für die einzelnen Weinsorten den Preis je
Flasche.
4 BE
- Gegeben sind drei Geraden durch folgende Gleichungen:
g1:
(t )
g2: y - 2x + 3 = 0
g3: y = m x + 2 ( m ).
Ermitteln Sie für die Gerade g3 den Anstieg m so, daß
sich alle drei Geraden in genau einem Punkt schneiden.
4 BE
10 BE
- Frank und Steffi spielen gemeinsam als Kandidatenpaar in einer
Fernsehshow. Als Sieger der Vorrunde müssen sie schließlich
einen Golfball in ein 9 m entferntes Golfloch spielen. Das Paar hat vier
Versuche. Gelingt es, wenigstens dreimal zu treffen, gewinnt das Paar ein
Auto.
- Erfahrungsgemäß weiß man: Bei jedem Versuch trifft
Frank mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 und Steffi mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,8.
- Frank schlägt den Ball viermal.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
Ereignis A: Frank trifft höchstens zweimal.
Ereignis B: Er trifft erst beim letzten Versuch.
2 BE
- Steffi schlägt den Ball viermal.
Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto
gewonnen wird?
2 BE
-
Steffi absolviert im Training eine Reihe von Versuchen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 10 Versuchen
von Steffi mindestens ein Fehlversuch auftritt?
Wie viele Treffer kann sie bei 50 Versuchen erwarten?
3 BE
- Nach den Spielregeln der Fernsehshow erhält jeder Kandidat genau
zwei Versuche. Die Reihenfolge wird ausgelost.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
Werden in den ersten drei Versuchen bereits drei Treffer erzielt, wird
das Spiel abgebrochen. Durch Losentscheid wird die Startreihenfolge
Steffi - Steffi - Frank - Frank festgelegt.
Berechnen Sie für diesen Fall den Erwartungswert der Anzahl der
Versuche.
3 BE
10 BE
- Antje und Thomas gehen auf einen Rummelplatz.
- An einem Eiskiosk werden 15 verschiedene Eissorten angeboten.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, Portionen zu je drei Kugeln Eis
aus je drei unterschiedlichen Eissorten zusammenzustellen?
1 BE
- Bei zwei Würfelbuden W1 und W2 sind die Spielregeln
unterschiedlich.
Beim Wurf mit zwei idealen Würfeln wird jeweils die Augensumme
ermittelt.
Bei W1 erhält man dabei einen Gewinnpunkt, wenn die Augensumme größer
als 8 ist. Bei W2 gibt es einen Gewinnpunkt, wenn die Augensumme eine
durch 3 teilbare Zahl ist.
Untersuchen Sie, ob eine Würfelbude der anderen vorzuziehen ist.
3 BE
- Thomas möchte am Schießstand für Antje Blumen schießen.
Aus der Erfahrung weiß er, daß seine
Trefferwahrscheinlichkeit 0,6 ist. Er würde gern 6 Blumen überreichen.
Wieviele Schüsse muß er abgeben, damit der Erwartungswert
seiner Treffer 6 beträgt?
Es sind nur komplette Magazine zu je 6 Schuß erhältlich.
Thomas erwirbt zwei Magazine.
Wie groß ist bei diesen 12 Schuß die Wahrscheinlichkeit, daß
er dann sogar einen Strauß aus mindestens 10 Blumen übergeben
kann?
4 BE
- An einer "Kraftmaschine" soll der "stärkste"
Mann ermittelt werden. Unter mehreren Kandidaten werden A, B und C
favorisiert, und die jeweilige Siegchance sei für A 40 %, für
B 30 % bzw. für C 15 %. Beim Erwärmen verletzt sich der
Kandidat A und kann am Wettbewerb nicht teilnehmen. Wie groß ist
nun die Gewinnchance für Kandidat B?
2 BE
10 BE
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mathe@org.dz.shuttle.de
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802
