Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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f( x) = {2`-`x} over x^3 -> größtmöglicher Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Wertetabelle, Skizze); Tangente in P(1; f(1)); g(x) = x-2 und x = 3 -> Flächeninhalt; x = k -> Flächeninhalt und Grenzwert für k -> inf; fa(x) = {2`-`ax} over x^3 -> hat genau ein lokales Minimum

Teil A2: Analysis

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f(x) = (2x + 3) * e-x -> größtmöglicher Definitionsbereich und Kurvendiskussion (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, f(2) und f(4), Zeichnung); Nachweis F(x) = -ex * (2x + 5) ist Stammfunktion; x = 2 -> Inhalt der vollständig eingeschlossenen Fläche; g(x) = e-x -> Schnittpunkt von f und g; d(x) = f(x) - g(x) maximal; Tangente an g verläuft durch Koordinatenursprung -> Berührungspunkt dieser Tangente mit g; x-Achse, Tangente t an f in S(1; f(1)) und Normale wird ein Dreieck begrenzt -> Flächeninhalt

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A, B, C und D sind gegeben -> Dreieck ABC ist gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck; Schnittwinkel gAD bzw. gCD; Flächeninhalt des Vierecks ABCD; Umkreis k des Dreiecks ABC; Tangente an k durch B; Mittelsenkrechte mAC -> Koordinaten aller auf der Mittelsenkrechten mAC liegenden Punkte, die vom Mittelpunkt M der Strecke Strecke AC den Abstand 3 over 2 sqrt 34 haben

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Quader ABCDEFGH mit den Punkten A, D und F gegeben; ABCD liegt in der x-y-Ebene -> restliche Punkte und Zeichnung; Länge der Raumdiagonale overline AG; Diagonalenschnittpunkt S des Vierecks DCGH; gSF -> Durchstoßpunktes T durch die x-y-Ebene; rechtwinkligen Dreiecks DBK berechnen und Flächeninhalt AGK; Punkt L mit WinkelBDL = 60°; Kreis kM(5; 3) enthält W (1; 3) -> k; g: x - y + 1 = 0 schneidet -> Schnittpunkte

Teil C1: Komplexe Zahlen

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Gegeben sind z1 und z2 -> Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene; z1 - z2 durch Konstruktion und Berechnung von z1 - z2 und z_1 over z_2; Skizze der Lösungen x5 = -243; Lösungen von x2 + 2x + 1 + 2i = 0

Teil C2: Kegelschnitte

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Hyperbel: 7x2 - 14y2 = 98 und t: y = 2x - 7 gegeben -> Konstruktion der Hyperbel; P1 (4; y1) und t ist Tangente; Normale durch P2 (-4; - 1); Kreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung und der t als Tangente hat

Teil C3: Lineare Gleichungssysteme

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x +2y = 8
-2x - ay = b
sächsisches Weingut bietet 3 Geschenksortimente ... g1: vec x ~=~ (BINOM 7 7)`+`t`*`(BINOM 3 4)
g2: y - 2x + 3 = 0
g3: y = m x + 2

Teil C4: Stochastik

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Kandidatenpaar in einer Fernsehshow -> Binomialverteilungen mit verschiedenen Parametern und deren Summenfunktion; Erwartungswert; Kombinatorik

Teil C5: Stochastik

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Rummelplatz -> Kombinatorik; Würfeln und Bilden der Augensumme; Erwartungswert der Binomialverteilung; Binomialverteilung

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Teil A1: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

Gegeben ist die Funktion f durch y = f( x) = {2`-`x} over x^3 (x Element von Df).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen).

    10 BE

  2. Vervollständigen Sie folgende Wertetabelle:
    x -4 -2 -0,5 1 4
    y = f(x) 0

    Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -4 kleiner gleich x kleiner gleich 4.

  3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion f im Punkt P(1; f(1)).

    4 BE

    Gegeben ist außerdem die Funktion g durch y = g(x) = x-2 (x Element reeller Zahlen; x ungleich 0).

  4. Die Graphen der Funktionen f und g und die Gerade x = 3 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    7 BE

  5. Die Graphen der Funktionen f und g und jede der Geraden x = k (k Element reeller Zahlen, k > 1) begrenzen jeweils eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von k. Ermitteln Sie den Grenzwert dieses Flächeninhalts für k -> inf.

    4 BE

  6. Gegeben sind Funktionen fa durch y = fa(x) = {2`-`ax} over x^3 ( a Element reeller Zahlen, a > 0; x Element reeller Zahlen, x ungleich 0).
    Weisen Sie nach, daß jede dieser Funktionen genau ein lokales Minimum besitzt.

    5 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = (2x + 3) * e-x (x Element von Df).
  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an, und führen Sie eine Kurvendiskussion für die Funktion f durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Berechnen Sie f(2) und f(4), und zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 2 kleiner gleich x kleiner gleich 4.

    10 BE

  2. Weisen Sie nach, daß die Funktion F mit y = F(x) = -ex * (2x + 5) (x Element reeller Zahlen) eine Stammfunktion der Funktion f ist.
    Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion f und die Gerade x = 2 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    5 BE

  3. Gegeben ist weiterhin die Funktion g durch y = g(x) = e-x ( x Element reeller Zahlen).
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion g in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f und g.
    Bestimmen Sie die Stelle, an der die Differenz der Funktionswerte d(x) = f(x) - g(x) maximal wird.

    8 BE

  4. Eine Tangente an den Graph der Funktion g verläuft durch den Koordinatenursprung.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes dieser Tangente mit dem Graph der Funktion g.

    2 BE

  5. Durch die x-Achse, die Tangente t an den Graph der Funktion f im Punkt S(-1; f(-1)) und die Senkrechte zur Tangente t im Punkt S wird ein Dreieck begrenzt.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    5 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (5; -1), B (6; 3) C (2; 4) und D (-5; 5) gegeben.
  1. Zeigen Sie rechnerisch, daß das Dreieck ABC ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck ist.

    4 BE

  2. Berechnen Sie den Schnittwinkel der Geraden, die durch die Punkte A und D bzw. C und D verlaufen.

    2 BE

  3. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.

    4 BE

  4. Der Umkreis des Dreiecks ABC sei der Kreis k.
    Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises k.
    Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Kreis k, die durch den Punkt B verläuft.

    5 BE

  5. Die Mittelsenkrechte zur Strecke Strecke AC sei mAC.
    Berechnen Sie die Koordinaten aller auf der Mittelsenkrechten mAC liegenden Punkte, die vom Mittelpunkt M der Strecke Strecke AC den Abstand 3 over 2 sqrt 34 haben.

    5 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Quader ABCDEFGH mit den Punkten A (10; 0; 0), D (0; 0; 0) und F (10; 6; 8) gegeben. Die Fläche ABCD liegt in der x-y-Ebene.
  1. Geben Sie die Koordinaten der restlichen Punkte des Quaders an, und zeichnen Sie den Quader in ein kartesisches Koordinatensystem.
    Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale overline AG.

    3BE

  2. Der Diagonalenschnittpunkt S des Vierecks DCGH und der Punkt F bestimmen eine Gerade.
    Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes T dieser Geraden durch die x-y-Ebene.

    3 BE

  3. Die Punkte D, B und K sind Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.
    Ermitteln Sie die z-Koordinate des Punktes K (10; 6; z) mit z > 0 so, daß das Dreieck DBK den Flächeninhalt 5 * sqrt 34 hat.
    Berechnen Sie außerdem den Flächeninhalt des Dreiecks AGK.

    5 BE

  4. Auf der Kante overline CG liegt ein Punkt L so, daß gilt WinkelBDL = 60°.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L.
    Weisen Sie nach, daß es auf dieser Kante keinen Punkt N derart gibt, daß gilt WinkelBDN = 90°.

    5 BE

    Die folgende Teilaufgabe e bezieht sich nur auf die x-y-Ebene.

  5. Ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M (5; 3) enthält den Punkt W (1; 3).
    Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an.
    Die Gerade g mit der Gleichung x - y + 1 = 0 schneidet den Kreis k in zwei Punkten.
    Berechnen Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte.

    4 BE
    20BE

Teil C1: Komplexe Zahlen

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Für die folgenden Aufgabenteile gilt stets i2 = 1.
  1. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 6 + 8i und z2 = 5`*`(COS %pi over 3 `+`SIN %pi over 3).
    Stellen Sie die Zahlen z1 und z2 in der Gaußschen Zahlenebene dar.
    Ermitteln Sie die Zahl z1 - z2 durch eine Konstruktion in der Gaußschen Zahlenebene.
    Berechnen Sie die Zahlen z1 - z2 und z_1 over z_2.
    Geben Sie beide Ergebnisse in der Form a + b i an.

    5 BE

  2. Stellen Sie in einer Skizze die Lösungen der Gleichung x5 = -243 in der Gaußschen Zahlenebene dar.

    2 BE

  3. Ermitteln Sie die Lösungen der Gleichung x2 + 2x + 1 + 2i = 0, und geben Sie diese in der Form a + bi an.

    3 BE
    10 BE

Teil C2: Numerische Verfahren

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind eine Hyperbel durch die Gleichung 7x2 - 14y2 = 98 und die Gerade t durch die Gleichung y = 2x - 7 gegeben.
  1. Konstruieren Sie mindestens 8 Punkte der Hyperbel, und zeichnen Sie diese Hyperbel im Intervall -8 kleiner gleich x kleiner gleich 8.

    2 BE

  2. Der Punkt P1 (4; y1) mit y1 > 0 sei ein Punkt der Hyperbel.
    Berechnen Sie die Ordinate des Punktes P1.
    Weisen Sie rechnerisch nach, daß die Gerade t Tangente an die Hyperbel im Punkt P1 ist.
    Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt P2 (-4; - 1) verläuft und senkrecht auf der Hyperbel steht.
    Zeigen Sie, daß die Tangente an die Hyperbel im Punkt P2 parallel zur Geraden t verläuft.

    6 BE

  3. Bestimmen Sie eine Gleichung für den Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und der ebenfalls die Gerade t als Tangente hat.

    2 BE
    10 BE

Teil C3: Kegelschnitte

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  1. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
    x +2y = 8
    -2x - ay = b (a,b Element reeller Zahlen).
    Für welche Werte von a und b besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen?

    2 BE

  2. Ein sächsisches Weingut bietet 3 Geschenksortimente mit je 6 Flaschen Wein an. Dazu gehören jeweils 3 Sorten Wein unterschiedlicher Qualität und Preislage.
    Anzahl Flaschen der Sorte Preis je Sortiment
    I II III
    1. Sortiment 1 3 2 39,40 DM
    2. Sortiment 2 2 2 40,40 DM
    3. Sortiment 1 4 1 33,40 DM

    Berechnen Sie für die einzelnen Weinsorten den Preis je Flasche.

    4 BE

  3. Gegeben sind drei Geraden durch folgende Gleichungen:
    g1: vec x ~=~ (BINOM 7 7)`+`t`*`(BINOM 3 4) (t Element reeller Zahlen)
    g2: y - 2x + 3 = 0
    g3: y = m x + 2 ( m Element reeller Zahlen).
    Ermitteln Sie für die Gerade g3 den Anstieg m so, daß sich alle drei Geraden in genau einem Punkt schneiden.

    4 BE
    10 BE

Teil C4: Stochastik

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Frank und Steffi spielen gemeinsam als Kandidatenpaar in einer Fernsehshow. Als Sieger der Vorrunde müssen sie schließlich einen Golfball in ein 9 m entferntes Golfloch spielen. Das Paar hat vier Versuche. Gelingt es, wenigstens dreimal zu treffen, gewinnt das Paar ein Auto.
Erfahrungsgemäß weiß man: Bei jedem Versuch trifft Frank mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 und Steffi mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8.
  1. Frank schlägt den Ball viermal.
    Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
    Ereignis A: Frank trifft höchstens zweimal.
    Ereignis B: Er trifft erst beim letzten Versuch.

    2 BE

  2. Steffi schlägt den Ball viermal.
    Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, daß das Auto gewonnen wird?

    2 BE

  3. Steffi absolviert im Training eine Reihe von Versuchen.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 10 Versuchen von Steffi mindestens ein Fehlversuch auftritt?
    Wie viele Treffer kann sie bei 50 Versuchen erwarten?

    3 BE

  4. Nach den Spielregeln der Fernsehshow erhält jeder Kandidat genau zwei Versuche. Die Reihenfolge wird ausgelost.
    Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
    Werden in den ersten drei Versuchen bereits drei Treffer erzielt, wird das Spiel abgebrochen. Durch Losentscheid wird die Startreihenfolge Steffi - Steffi - Frank - Frank festgelegt.
    Berechnen Sie für diesen Fall den Erwartungswert der Anzahl der Versuche.

    3 BE
    10 BE

Teil C5: Stochastik

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Antje und Thomas gehen auf einen Rummelplatz.
  1. An einem Eiskiosk werden 15 verschiedene Eissorten angeboten.
    Wie viele Möglichkeiten gibt es, Portionen zu je drei Kugeln Eis aus je drei unterschiedlichen Eissorten zusammenzustellen?

    1 BE

  2. Bei zwei Würfelbuden W1 und W2 sind die Spielregeln unterschiedlich.
    Beim Wurf mit zwei idealen Würfeln wird jeweils die Augensumme ermittelt.
    Bei W1 erhält man dabei einen Gewinnpunkt, wenn die Augensumme größer als 8 ist. Bei W2 gibt es einen Gewinnpunkt, wenn die Augensumme eine durch 3 teilbare Zahl ist.
    Untersuchen Sie, ob eine Würfelbude der anderen vorzuziehen ist.

    3 BE

  3. Thomas möchte am Schießstand für Antje Blumen schießen. Aus der Erfahrung weiß er, daß seine Trefferwahrscheinlichkeit 0,6 ist. Er würde gern 6 Blumen überreichen.
    Wieviele Schüsse muß er abgeben, damit der Erwartungswert seiner Treffer 6 beträgt?

    Es sind nur komplette Magazine zu je 6 Schuß erhältlich. Thomas erwirbt zwei Magazine.
    Wie groß ist bei diesen 12 Schuß die Wahrscheinlichkeit, daß er dann sogar einen Strauß aus mindestens 10 Blumen übergeben kann?

    4 BE

  4. An einer "Kraftmaschine" soll der "stärkste" Mann ermittelt werden. Unter mehreren Kandidaten werden A, B und C favorisiert, und die jeweilige Siegchance sei für A 40 %, für B 30 % bzw. für C 15 %. Beim Erwärmen verletzt sich der Kandidat A und kann am Wettbewerb nicht teilnehmen. Wie groß ist nun die Gewinnchance für Kandidat B?

    2 BE
    10 BE


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