Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

Erwartungsbild --- home

f(x) = x^2 over sqrt{1`+`x^3}; Df, Nullstelle, lokaler Extrempunkt und Art; Wendepunkte; Verhalten x -> -1 und x -> inf; Zeichnung -1 < x < 6; Substitution F( x) = 2 over 3 sqrt{1`+`x^3}`+`C; F* und Tangente t, die y-Achse, Gerade r: y = -1/3 x + 5/3 bilden ein gleichschenkliges Dreieck; g(x) = x over sqrt{x^2`+`2}; Dg, Nullstelle, Symmetrie, Zeichnung -8 kleiner gleich x kleiner gleich 8; x = 8; Rechtecke mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben

Teil A2: Analysis

Erwartungsbild --- home

fk(x) = 2 e-kx; f1: Monotonieverhalten, Verhalten im Unendlichen, Zeichnung [-0,5; 6,5]; Fläche A, x = a und A in Abhängigkeit von a sowie dessen Grenzwert für a -> inf, A = 1FE -> a=?; Rotationskörper mit fk (k > 0) im Intervall [0; 1/k], Volumen in Abhängigkeit von k; Für welchen Wert k beträgt das Volumen 4 VE? g(x) = 2 e-x cos x; Nullstellen, lokalen Extrempunkte und Art, Skizze; partielle Integration G; Schnittpunkt von f1 und g; Gerade x = c maximaler Abstand dieser Punkte

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- home

A (10 + 2r + 2s; r; - s), Gerade g vec x ~=~ (STACK { 1 # -5 # 4 }) `*`  t`(STACK {0 #2 # 2 }), Pa (1; a; a + 9)
A1 (für r = s = 0), A2 (für r ungleich 0; s = 0) und A3 (für r = 0; s ungleich 0); Ebene E durch A1, A2, und A3 gegeben; alle Pa liegen auf g; Lagebeziehung g und E, Abstand; a = 2, P2, Spiegelpunkt P2'; Qi zu zeigen: M (0; 4; 9) Mittelpunkt eines Kreises und r bestimmen; rk = Wurzel 3 Schnittkreis der Ebene E mit Kugel K; parameterfreie Gleichungen aller Tangentialebenen ...

Teil B2: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- home

Ebene Et:vec x ~=~ (STACK {4 #0 #0 }) `*` r`(STACK { -4 #3 #0 })`+`s`(STACK { -4# 0 #5t });Ebenengleichung in allgemeiner Form für t = 1 und t = 1/5;Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem; Schnittwinkel der beiden Ebenen; Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bilden eine dreiseitige schiefe Pyramide -> Volumen; g: 3x + 4y - 12 = 0 liegt in Et; Gleichung von E* in allgemeiner Form gegeben durch ...; Welche der Ebenen, die die Gerade g enthalten, hat zum Koordinatenursprung den größten Abstand?; Ermitteln Sie den Abstand d des Koordinatenursprungs zu Et in Abhängigkeit von t

Teil C1: Stochastik

Erwartungsbild --- home

Ein Sportverein führt seine Vorstandswahl durch. Vervollständigen einer Tabelle mit relativen und absoluten Häufigkeiten; Kombinatorik; bedingte Wahrscheinlichkeiten; ...

Teil C2: Stochastik

Erwartungsbild --- home

Videospiel; Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse; ...

Übersicht --- Aufgabenstellungen --- home

Teil A1: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x^2 over sqrt{1`+`x^3} (x Element von Df),
  1. Bestimmen Sie für f den größtmöglichen Definitionsbereich Df und die Nullstelle.
    Bestimmen Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und die Art des Extremums.
    Bestimmen Sie die Wendepunkte der Funktion f . (Auf die Überprüfung mit Hilfe einer hinreichenden Bedingung wird verzichtet.)
    Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x -> -1 (x > -1) und für x -> inf.
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall -1 < x < 6.

    10 BE

  2. Zeigen Sie durch Substitution, daß die Funktion F mit F( x) = 2 over 3 sqrt{1`+`x^3}`+`C eine Stammfunktion der Funktion f ist.
    Bestimmen Sie ohne Rechnung die Wendestelle der Funktion F und begründen Sie Ihr Ergebnis.

    6 BE

  3. Es sei F* eine spezielle Stammfunktion der Funktion f.
    Der Graph von F* verläuft durch den Punkt Q (2; 1).
    t sei die Tangente an den Graph der Funktion F* im Punkt Q.
    Die y-Achse, die Tangente t und die Gerade r mit der Gleichung y = -1/3 x + 5/3 bilden ein Dreieck. Weisen Sie nach, daß dieses Dreieck gleichschenklig ist.

    6BE

    Gegeben ist die Funktion g durch y = g(x) = x over sqrt{x^2`+`2} (x Element von Dg).

  4. Bestimmen Sie für g den größtmöglichen Definitionsbereich und die Nullstelle.
    Untersuchen Sie die Funktion g auf Symmetrie.
    Zeichnen Sie den Graph der Funktion g für -8 kleiner gleich x kleiner gleich 8 in ein Koordinatensystem.

    4 BE

  5. Der Graph der Funktion g, die x-Achse und die Gerade x = 8 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Dieser Fläche seien Rechtecke so einbeschrieben, daß eine Seite auf der x-Achse und eine weitere Seite auf der Geraden x = 8 liegt. Es existiert ein solches Rechteck mit maximalem Flächeninhalt.
    Ermitteln Sie diesen Flächeninhalt.

    4 BE
    30 BE

Teil A2: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Gegeben sind die Funktionen fk durch y = fk(x) = 2 e-kx (x Element reeller Zahlen).
  1. Untersuchen Sie für die Funktion f1 das Monotonieverhalten und das Verhalten im Unendlichen. Stellen Sie die Funktion f1 im Intervall [-0,5; 6,5] graphisch dar.

    5 BE

  2. Durch den Graph der Funktion f1, die y-Achse, die x-Achse und die Gerade x = a (a > 0) wird eine Fläche vollständig begrenzt.
    Berechnen Sie deren Flächeninhalt A in Abhängigkeit von a sowie dessen Grenzwert für a -> inf.
    Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 1 FE?

    5 BE

  3. Die Fläche zwischen dem Graph jeder der Funktionen fk (k > 0) im Intervall [0; 1/k] und der x-Achse rotiere jeweils um die x-Achse.
    Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von k.
    Für welchen Wert k beträgt das Volumen 4 VE?

    3 BE

    Gegeben ist außerdem die Funktion g durch y = g(x) = 2 e-x cos x (x Element reeller Zahlen; 0 kleiner gleich x kleiner gleich 2pi).

  4. Berechnen Sie die Nullstellen und die lokalen Extrempunkte von g und untersuchen Sie die Art der Extrema im angegebenen Intervall.
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion g in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a.

    7 BE

  5. Ermitteln Sie durch partielle Integration eine Stammfunktion G der Funktion g.

    3 BE

  6. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f1 und g im Intervall 0 < x 2pi.

    2 BE

  7. Jede Gerade x = c (c > 0) schneidet die Graphen der Funktionen f1 und g in je einem Punkt.
    Für welchen Wert von c (0 kleiner gleich c kleiner gleich 2pi) ist der Abstand dieser Punkte am größten?
    Berechnen Sie den maximalen Abstand.

    5 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A (10 + 2r + 2s; r; - s) (r, s Element reeller Zahlen), außerdem eine Gerade g durch die Gleichung vec x ~=~ (STACK { 1 # -5 # 4 }) `*`  t`(STACK {0 #2 # 2 }) (t Element reeller Zahlen) sowie die Punkte Pa (1; a; a + 9) (a Element reeller Zahlen).
  1. Ermitteln Sie die Punkte A1 (für r = s = 0), A2 (für r ungleich 0; s = 0) und A3 (für r = 0; s ungleich 0).
    Zeigen Sie, daß A1, A2, und A3 derjenigen Ebene E angehören, deren parameterfreie Gleichung x - 2y + 2z - 10 = 0 lautet.

    2 BE

  2. Weisen Sie nach, daß alle Punkte Pa auf der Geraden g liegen.
    Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden g und der Ebene E und bestimmen Sie gegebenenfalls den Abstand zwischen g und E.

    5 BE

  3. Für a = 2 erhält man den Punkt P2. Sein Spiegelpunkt bezüglich der Ebene E sei P2'.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P2'.
  4. 3 BE
  5. Alle Punkte Qi Element von E (i Element von N), für die die Innenwinkel WinkelP2QiP2' der Dreiecke DreieckP2QiP2' 120° betragen, liegen auf einem Kreis.
    Zeigen Sie, daß der Punkt M (0; 4; 9) Mittelpunkt dieses Kreises ist, und berechnen Sie den Radius r des Kreises.

    5 BE

  6. Der Kreis um M mit dem Radius rk = Wurzel 3 sei der Schnittkreis der Ebene E mit einer Kugel K, deren Mittelpunkt ebenfalls der Punkt M ist.
    Bestimmen Sie parameterfreie Gleichungen aller Tangentialebenen an die Kugel K, die die Gerade g enthalten.

    5 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem ist für jedes t Element reeller Zahlen eine Ebene Et durch folgende Gleichung gegeben: vec x ~=~ (STACK {4 #0 #0 }) `*` r`(STACK { -4 #3 #0 })`+`s`(STACK { -4# 0 #5t })( r,s Element reeller Zahlen).
  1. Geben Sie die Gleichungen der Ebenen Et für t = 1 und t = 1/5 in allgemeiner Form an.
    Stellen Sie diese beiden Ebenen in einem geeigneten Koordinatensystem dar, indem Sie die Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen ermitteln.
    Wie groß ist der Schnittwinkel beider Ebenen?
    Die Schnittpunkte beider Ebenen mit den Koordinatenachsen bilden eine dreiseitige schiefe Pyramide.
    Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide.

    10 BE

  2. Weisen Sie nach, daß die Gerade g mit der Gleichung 3x + 4y - 12 = 0 in jeder der Ebenen Et liegt.
    Es existiert eine Ebene E*, die ebenfalls die Gerade g enthält, aber nicht zu den Ebenen Et gehört. Diese Ebene E* verläuft parallel zur z-Achse.
    Ermitteln Sie eine Gleichung von E* in allgemeiner Form.

    4 BE

  3. Welche der Ebenen, die die Gerade g enthalten, hat zum Koordinatenursprung den größten Abstand? (Begründung!)
    Geben Sie den maximalen Abstand an.

    2 BE

  4. Der Abstand d des Koordinatenursprungs zu einer der Ebenen Et ist eine Funktion von t.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion.

    4 BE
    20 BE

Teil C1: Stochastik

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

Ein Sportverein führt seine Vorstandswahl durch.
  1. Der Verein hat männliche und weibliche Mitglieder, jedes Mitglied gehört genau einer der drei Sektionen Fußball, Handball oder Kegeln an. Die folgende Tabelle informiert über Häufigkeiten bezüglich der Merkmale "Geschlecht" und "Sportart".
    Vervollständigen Sie die Tabelle.
    Sportart: Fußball Handball Kegeln Summe
    Geschlecht: a. H. r. H. a. H. r. H. a. H. r. H. a. H. r. H.
    männlich 0,26 0,14 0,62
    weiblich 0,12
    Summe 0,30 660 1,00
    a. H.: absolute Häufigkeit r. H.: relative Häufigkeit

    2 BE

  2. Zur Durchführung der Wahl stehen 10 Kabinen k 1, k 2, ", k 10 zur Verfügung. Die Kabinen dürfen jeweils nur durch eine Person betreten werden.
    Zunächst betreten ein Fußballer, ein Handballer und ein Kegler das Wahllokal.
    Wie viele Belegungsmöglichkeiten für die 10 freien Wahlkabinen gibt es, wenn
    b1) diese Wähler nacheinander in die Kabinen gehen (d. h.: erst wenn ein Wähler die Kabine verlassen hat, darf der folgende Wähler zu den Kabinen gehen);
    b2) diese Wähler zu gleicher Zeit die Kabinen aufsuchen;
    b3) bei gleichzeitiger Nutzung nur interessiert, welche Kabinen genutzt werden?

    3 BE

  3. Anläßlich der Wahl wird die Beitragszahlung der Mitglieder überprüft.
    Die folgende Tabelle enthält das Ergebnis der Überprüfung:
    Männliches Mitglied Weibliches Mitglied Summe
    Beitragszahlung i. O. 49,00 % 35,00 % 84,00 %
    Beitragszahlung nicht i. O. 13,00 % 3,00 % 16,00 %
    Summe 62,00 % 38,00 % 100,00 %
    i. O.: in Ordnung
    Untersuchen Sie, ob bei zufälliger Wahl eines Mitglieds die Ereignisse A = {"Mitglied ist männlich"} und B = {"Beitragszahlung ist in Ordnung"} unabhängig sind.

    2 BE

  4. Aus der Kassenprüfung ging hervor, daß bei den männlichen Mitgliedern rund
    16 % der Mitglieder der Sektion Fußball,
    9 % der Mitglieder der Sektion Handball und
    17 % der Mitglieder der Sektion Kegeln
    nicht ordnungsgemäß Beitrag gezahlt haben.
    Es werden 2 Fußballer, 8 Handballer und 9 Kegler zufällig ausgewählt und auf Beitragszahlung kontrolliert.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei dieser Kontrolle höchstens ein Verstoß gegen die Beitragszahlung registriert wurde?

    2 BE

  5. Eine vor der Wahl durchgeführte Umfrage ergab, daß rund 74 % der Männer und rund 57 % der Frauen den Kandidaten für den Vorstand ihre Stimme geben werden.
    Ist unter diesen Umständen zu erwarten, daß bei 100 % Wahlbeteiligung diese Kandidaten die erforderliche Zwei-Drittel-Mehrheit erreichen?

    1 BE
    10 BE

Teil C2: Stochastik

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2 --- home

In einem Abschnitt eines Videospiels muß der Held zunächst 6 Wassergräben und danach 2 gefährliche Brücken überwinden. Wurde ein Hindernis unbeschadet überwunden, erhält der Spieler Punkte. Ansonsten läuft das Spiel weiter, der Spieler erhält aber keine Punkte.
Wir betrachten im folgenden einen Spieler mit konstanter Spielstärke. Die Wahrscheinlichkeit, einen Wassergraben unbeschadet zu überwinden, beträgt für diesen Spieler 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, eine Brücke unbeschadet zu passieren, beträgt 0,7.
  1. Berechnen Sie für diesen Spielabschnitt die Wahrscheinlichkeiten der nachstehenden Ereignisse.
    Ereignis A: Der Held überwindet alle Wassergräben unbeschadet.
    Ereignis B: Der Held überwindet genau die ersten 3 Wassergräben und genau die erste Brücke unbeschadet.
    Ereignis C: Der Held überwindet genau drei Wassergräben und genau eine Brücke unbeschadet.

    3 BE

  2. Wie viele Wassergräben in diesem Spielabschnitt werden im Schnitt bei 10 Spielen nicht unbeschadet überwunden?

    1 BE

  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Held in diesem Spielabschnitt an höchstens einem Hindernis scheitert?

    2 BE

  4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei 6 Spielen insgesamt höchstens ein Wassergraben nicht bewältigt wird?
    Zeigen Sie, daß diese Wahrscheinlichkeit noch geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige im Lotto "6 aus 49" zu erzielen.

    4 BE
    10 BE


Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Finden Sie Fehler oder haben Sie Fragen? mathe@org.dz.shuttle.de