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Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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f(x) = (x³ - 2x² + 4x)/(x - 1) (x D_f); Definitionsbereich; Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, V erhalten im Unendlichen und an den Polstellen); Wertetabelle; g(x) = 4x; Flächeninhalt; Funktion f_k und g_k durch y = f_k (x) = (x³ - 2x² + kx)/(x - 1); g_k (x) = kx; Graphen von f_k und g_k haben genau drei Schnittpunkte; f_k hat genau drei reelle Nullstellen - Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von k

Teil A2: Analysis

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f_k(x) = (ln x)2 - k * ln x + 0,75; f₂ - Nullstellen und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art der Extrema; Koordinaten der Wendepunkte; Wertetabelle; Graphen f₂ im Intervall 0,2 < x < 8; partieller Integration den Inhalt der Fläche; Nullstellen von f_k in Abhängigkeit von k; Nachweis: f_k genau ein lokales Minimum; Gleichungen der Tangenten in R_k(1 ; f_k (1)); Flächeninhalt Pk O Q_k

Teil B1: Geometrie und Algebra

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schiefe, dreiseitige Pyramide ABCP; Grundfläche in der x-y-Ebene; Ebenen E₁, E₂ und E₃; E₁: 7x - 7y - 5z = 7; E2: 7x + 7y + 6z = 35; parameterfreie Gleichung von E₃; C_i in ABC_i; P und Volumen der Pyramide ABCP; Umkreises der Grundfläche ABC ...; Verhältnis der Volumina von K₁ und K₂ -> Ebene E₄.

Teil B2: Geometrie und Algebra

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Geraden g₁, g₂ und g₃ durch drei Bedingungen gegeben; Lagebeziehungen g₁ und g₃ sowie g₂ und g₃;
Nachweis g₁ || g₂ und Abstand dieser beiden Geraden; g₁ und g₂ bestimmen eine Ebene E; Ebenengleichung in allgemeiner Form; Schnittwinkel g₃ mit E; E ist Tangentialebene an eine Kugel K; Gleichung K; Berührungspunkt P zwischen K und E

Teil C1: Stochastik

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Drei Maschinen ...

Teil C2: Stochastik

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Tierbilder werden auf Losen der Tierparklotterie angeordnet

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Teil A1: Analysis

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Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = (x³ - 2x² + 4x)/(x - 1) (x D_f).

1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f an und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion (Nullstellen, Polstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, V erhalten im Unendlichen und an den Polstellen) durch. 11 BE
2. Vervollständigen Sie die folgende Wertetabelle:

   x	-3	-2	-1	0	0,5	1,5	2	3	4	5
   y

   Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -3 < x < 5.

   2 BE

3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der Geraden g, die durch y = g(x) = 4x gegeben ist.
   Die Graphen von f und g begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

   6 BE

4. Gegeben sind die Funktion f_k und g_k durch y = f_k (x) = (x³ - 2x² + kx)/(x - 1) (x 1; x, k ) und y = g_k (x) = kx (x, k ).
   Weisen Sie nach, daß für jedes k (k 0; k2) die Graphen von f_k und g_k genau drei Schnittpunkte besitzen.
   Geben Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte in Abhängigkeit von k an.

   5 BE

5. Zeigen Sie, daß für 0 < k < 1 jede der Funktionen f_k genau drei reelle Nullstellen besitzt.
   Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von k.

   6 BE
   30 BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben sind die Funktionen f_k durch y = f_k(x) = (lnx)2 - k * ln x + 0,75 (x ; x > 0; k ).

1. Berechnen Sie für die Funktion f₂ die Nullstellen und die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und geben Sie die Art der Extrema an.
   Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.

   7 BE

2. Vervollständigen Sie die folgende Wertetabelle:

   x	0,2	0,5	1		2	e		6	e2	8
   y

   Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f₂ im Intervall 0,2 < x < 8.

   2 BE

3. Berechnen Sie mit Hilfe partieller Integration den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion f₂ und der Abszissenachse eingeschlossen wird.
   (Es gilt: ln x dx = x * lnx - x + c )

   5 BE

4. Die Anzahl der Nullstellen von f_k hängt von k ab.
   Geben Sie alle möglichen Fälle an.

   3 BE

5. Weisen Sie nach, daß jede der Funktionen f_k ein lokales Minimum besitzt. Geben Sie die Koordinaten des Minimumpunktes in Abhängigkeit von k an.

   5 BE

6. Berechnen Sie für k > 0 die Gleichungen der Tangenten an die Graphen der Funktionen f_k im jeweiligen Punkt R_k(1 ; f_k (1)).
   Diese Tangenten schneiden die Koordinatenachsen in den Punkten P_k und Q_k. Ermitteln Sie dasjenige k > 0, für welches der Flächeninhalt des Dreiecks P_kO Q_k am kleinsten wird. Geben Sie diesen Flächeninhalt an.

   8 BE
   30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine schiefe Pyramide ABCP mit dreiseitiger Grundfläche ABC gegeben. Die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird

außerdem durch die Ebenen E₁, E₂ und E₃ begrenzt. Die Ebenen E₁ und E₂ sind gegeben

durch die nachstehenden Gleichungen : E₁: 7x - 7y - 5z = 7; E2: 7x + 7y + 6z = 35.

Die Ebene E₃ enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.

Der Punkt B hat die Koordinaten (-3; -4; 0).

1. Weisen Sie nach, daß der Eckpunkt A die Koordinaten (3; 2; 0) besitzt.

   2 BE

2. Berechnen Sie die Koordinaten aller Punkte C_i der x-y-Ebene, für die die Dreiecke ABC_i rechtwinklig sind (AB AC_i) und einen Flächeninhalt von 30 FE haben.

   4 BE

3. Der Punkt C (8; -3; 0) ist ein Punkt der Ebene E₃.
   Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene E₃.

   3 BE

4. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P.
   Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCP.

   4 BE

5. Zeigen Sie, daß die Höhe der Pyramide durch den Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ABC geht.

   3 BE

6. Eine Ebene E₄ geht durch den Punkt P und liegt parallel zur Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP in zwei Teilkörper K₁ und K₂, wobei A ein Eckpunkt des Teilkörpers K₁ ist.
   Das Verhältnis der Volumina von K₁ und K₂ ist 1 : 3.
   Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E₄.

   4 BE
   20BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind drei Geraden g₁, g₂ und g₃ durch folgende Bedingungen gegeben:

• Auf der Geraden g₁ liegen die Punkte A (17/3; -2/3; 2) und B (7; 0; 4).
• Auf der Geraden g₂ mit dem Richtungsvektor = liegt der Punkt C (9; -3,5; 2,5).
• Eine Gleichung für die Gerade g₃ ist: (t ).

1. Untersuchen Sie die Lagebeziehungen zwischen den Geraden g₁ und g₃ sowie zwischen den Geraden g₂ und g₃.
   Weisen Sie nach, daß die Geraden g₁ und g₂ zueinander parallel sind, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Geraden.

   10 BE

2. Die Geraden g₁ und g₂ bestimmen eine Ebene E.
   Ermitteln Sie eine Ebenengleichung von E in allgemeiner Form.
   Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Geraden g₃ mit der Ebene E.

   5 BE

3. Die Ebene E aus Aufgabenteil b ist eine Tangentialebene an eine Kugel K. Der Mittelpunkt M der Kugel K ist der Punkt auf der Geraden g₃, welcher durch den Parameter t = -l der Parametergleichung von g₃ bestimmt wird.
   Ermitteln Sie eine Gleichung für die Kugel K.
   Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes P zwischen der Kugel K und der Tangentialebene E.

   5 BE
   20 BE

Teil C1: Stochastik

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In einem Unternehmen wird auf drei Maschinen ein und dasselbe Erzeugnis hergestellt. Die Maschinen I und II produzieren je 20 % der Gesamtproduktion, die Maschine III produziert 60 % der Gesamtproduktion. Es ist bekannt, daß die Maschine I 3 % Ausschuß, die Maschine II 5 % Ausschuß und die Maschine III 4 % Ausschuß produziert. Die hergestellten Erzeugnisse werden in einem Lager gesammelt.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein im Lager zufällig ausgewähltes Erzeugnis ein Ausschußstück?

   1 BE

2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde ein solches Ausschußstück auf Maschine I, auf Maschine II bzw. auf Maschine III produziert?

   2 BE

3. Für eine Untersuchung wird ein Ausschußstück benötigt, das auf Maschine III gefertigt wurde.
   Wie viele Erzeugnisse von Maschine III müssen der laufenden Produktion entnommen werden, damit sich mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit wenigstens ein Ausschußstück unter ihnen befindet?

   3 BE

4. Es werden 113 Erzeugnisse aus Maschine III entnommen.
   Wie viele unter diesen sind (durchschnittlich) Ausschuß?

   2 BE

5. Der laufenden Produktion werden regelmäßig Erzeugnisse entnommen und überprüft. Bei dieser Prüfung wird ein defektes Erzeugnis mit der Wahrscheinlichkeit von 99 % als Ausschuß erkannt, aber auch ein einwandfreies Erzeugnis mit der Wahrscheinlichkeit von 3 % irrtümlich für Ausschuß erklärt.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein geprüftes Erzeugnis für Ausschuß erklärt?
   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von fünf Erzeugnissen, die der laufenden Produktion entnommen werden, wenigstens eines für Ausschuß erklärt wird?

   2 BE
   10 BE

Teil C2: Stochastik

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Eine Tierparklotterie gibt Rubbelkarten heraus, welche 15 Rubbelfelder mit je einem Tierbild enthalten. Diese 15 Felder sind wie folgt eingeteilt:
3 Felder enthalten das Bild eines Elefanten, 4 Felder das Bild eines Affen, 4 Felder das Bild

eines Fisches. Die restlichen Felder zeigen das Bild eines Vogels.
Die Lage der Felder ist zufällig und auf den einzelnen Karten unterschiedlich. Alle Felder sind von einer Deckschicht überzogen. Der Käufer hat genau zwei Felder freizurubbeln. Wurden auf einer Karte mehr als zwei Felder freigerubbelt, so ist sie ungültig.

1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
   Ereignis A: Beide Felder zeigen jeweils dasselbe Tier.
   Ereignis B: Mindestens ein Feld zeigt das Bild eines Affen.
   Ereignis C: Entweder Ereignis A oder Ereignis B
   
   Als erstes Feld werde das Bild eines Elefanten freigerubbelt.
   Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß das zweite Feld ebenfalls das Bild eines Elefanten zeigt?

   4 BE

2. Für einen Hauptpreis muß zweimal das Bild eines Elefanten freigerubbelt werden.
   Wie viele Hauptpreise sind beim Kauf von 35 Rubbelkarten im Durchschnitt zu erwarten?
   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 35 Karten mehr als zwei Hauptpreise zu erhalten?

   3 BE

3. Eine Rubbelkarte kostet 1 DM, Es werden folgende Preise vergeben:

   Bilder	Preise
   2mal Elefant	10,00 DM
   2mal Affe	3,00 DM
   2mal Fisch	1,00 DM
   2mal Vogel	1,00 DM

4. Die Zufa1lsgröße G beschreibe den Gewinn des Käufers. Ermitteln Sie den Erwartungswert von G.
   Die Tierparkverwaltung möchte an einer Karte durchschnittlich 0,50 DM verdienen. Das soll durch eine Reduzierung des auszuzahlenden Betrages bei einem Hauptpreis erreicht werden.
   Welcher Betrag sollte für einen Hauptpreis gezahlt werden, damit diese Bedingungen erfüllt sind?

   3 BE
   10 BE

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