Grundkurs
- y = f(x) = 3 * e0,5x; ersten drei Ableitungen; lokalen
Extrema; Monotonieverhalten; Skizze; Zahlenfolge (an) mit an
= f(n) (0); y = h(x) = 3 * e-0,5x; gemeinsamer
Punkt; Inhalt einer Fläche; maximaler Flächeninhalt eines
Rechtecks OSPR; Bakterien
- y = f( x) = -1/64 x3 + 3/4 x; Kurvendiskussion; y = ga(x)
= ax2 + 7/4 x; Anstieg ist 2; Tangente; Parabelfläche;
Skizze; Abstand
- Punkte A(3; 7; 0), B(9; -1; 0) und C(2/3; -1; 14) ,
;
Gerade g durch AB; Schnittpunkt; rechtwinkliges Dreieck; Thaleskreis;
Schnittpunkt mit Ebene; Pyramide mit vorgegebenem Volumen
- A(4 | 3 | 0), B(2 | -1 | 0), C(5 | 2 | 0) und S(3 | 1 | 6); Nachweis
Eigenschaften eines Dreiecks; Kreiskegel; Volumen Kreiskegel; Grundkreis
Kreiskegel; Tangente an Kreis; Flächeninhalt Viereck
- z1 + z2 +z3; z1 * z2;
Lösungen x6 - 64 = 0 und x2 + (-1 + i) x -
i = 0; Darstellung
- y = f(x) = x + ln x; DB; Skizze; NST grafisch; Newton; Nachweis keine
Extrema; Schnittpunkt mit y = x2 - 4x + 4
- x2/9 - y2/7 = 1; Brennpunkt; Konstruktion;
Tangente und Senkrechte
- Glücksrad; verschiedene Ereignisse; Verteilung und
Erwartungswert der Zufallsgröße R als Summe zweier Ergebnisse
- Verkehrssünder; verschiedene Ereignisse; verschiedene
Binomialverteilungen
Übersicht --- Aufgabenstellungen
--- home
- Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 3 * e0,5x (x
).
- Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktion f.
2 BE
- Zeigen Sie, daß die Funktion f keine lokalen Extrema besitzt.
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f und geben Sie das
Verhalten der Funktion f für x -> 
und x -> -
an.
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -2
x
2.
4 BE
- Es seien a1 = f' (0), a2 = f'' (0), a3
= f''' (0) usw. die Glieder der Zahlenfolge (an) mit an
= f(n) (0).
Geben Sie a1, a2, a3 und eine
explizite Bildungsvorschrift der Zahlenfolge (an) an.
Zeigen Sie, daß die Zahlenfolge (an) eine
geometrische Zahlenfolge ist.
Berechnen Sie die Anzahl derjenigen Glieder der Zahlenfolge (an)' die
größer als 1/10000 sind.
7 BE
- Gegeben ist eine Funktion h durch y = h(x) = 3 * e-0,5x
(x ).
Skizzieren Sie den Graph der Funktion h in dem Koordinatensystem von
Aufgabenteil c).
Welche Abbildung führt den Graph der Funktion h in den Graph der
Funktion f über?
Begründen Sie Ihre Aussage.
3 BE
- Die Graphen der Funktion f und h haben einen gemeinsamen Punkt.
Berechnen Sie den Schnittwinkel 
zwischen den Tangenten an die Graphen der Funktionen f und h in diesem
Punkt.
3 BE
- Der Graph der Funktion h, die Koordinatenachsen und die Gerade x = a
(a > 0) begrenzen eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von a.
2 BE
- Der Punkt 0 sei der Koordinatenursprung, der Punkt P(x; y) (x > 0)
liege auf dem Graphen der Funktion h.
Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P schneidet die y-Achse im
Punkt R; die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P schneidet die
x-Achse im Punkt S.
Bestimmen Sie x so, daß der Flächeninhalt des Rechtecks OSPR
maximal wird.
Berechnen Sie diesen Flächeninhalt.
5 BE
- Durch die Funktion g mit N = g(t) = N0 * e0,5t
wird in guter Näherung das Wachstum von Bakterien beschrieben.
Dabei bedeuten: N ... Anzahl der Bakterien; t ... Zeit in Stunden.
Zum Zeitpunkt t = 0 wurde für die Bakterienkultur N0 =
20 angegeben.
Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 1, nach 4 und nach 9
Stunden.
Nach welcher Zeit hat sich die Anzahl der Bakterien verfünffacht?
4 BE
30BE
- Gegeben ist die Funktion f durch y = f( x) = -1/64 x3 +
3/4 x (x ).
- Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch
(Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der
Extrema).
Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -9
x
9.
7 BE
- Die x-Achse und der Graph der Funktion f begrenzen im 1. Quadranten
eine Fläche A vollständig.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
Durch eine Gerade, die durch das lokale Maximum von f geht und parallel
zur y-Achse verläuft, wird diese Fläche in zwei Teilflächen
zerlegt. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen.
5 BE
Gegeben sind die Parabeln ga durch y = ga(x)
= ax2 + 7/4 x (x ;
a ;
a 
0).
- Welche der Parabeln ga hat für x = -0,5 den Anstieg
2?
Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an diese Parabel
an der Stelle x = -0,5.
4 BE
- Jede Parabel ga schließt mit der x-Achse die Fläche
Aa ein.
Für welches a (a > 0) beträgt der Flächeninhalt 7/6
FE?
5 BE
Betrachtet wird bei den folgenden Aufgabenteilen nur die Parabel ga
mit a = 1/4.
- Skizzieren Sie in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a den Graph
dieser Parabel.
Die Schnittpunkte dieser Parabel mit der x-Achse und ihr Extrempunkt
bilden ein Dreieck.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
4 BE
- Jede Gerade mit der Gleichung x = u (-8
u
0) schneidet den Graph der Funktion f im Punkt Ru und die
betrachtete Parabel im Punkt Qu.
Für welches u ist der Abstand der Punkte Ru und Qu
am größten?
5 BE
30 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3; 7; 0),
B(9; -1; 0) und C(2/3; -1; 14) sowie die Gerade g durch die Gleichung
(t )
gegeben.
- Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B.
Untersuchen Sie, ob sich die Geraden g und h im Punkt C schneiden.
3 BE
- Die Menge aller in der x-y-Ebene liegenden Punkte X, für die die
Dreiecke
ABX rechtwinklig sind, liegen auf dem zur Strecke
gehörenden Thaleskreis k.
Ermitteln Sie eine Gleichung für k.
3 BE
- Die Gerade g schneidet die x-y-Ebene im Punkt S.
Berechnen Sie die Koordinaten von S und weisen Sie nach, daß das
Dreieck ABS rechtwinklig und gleichschenklig ist.
5 BE
- Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes P so, daß das
Viereck PBSA ein Quadrat ist.
2 BE
- Das Quadrat PBSA ist Grundfläche einer Pyramide PBSAY.
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes Y so, daß das Volumen
dieser Pyramide 125 VE beträgt.
Alle Punkte Y, für die das Volumen der Pyramiden PBSAY 125 VE beträgt,
liegen in je einer von zwei zur Grundfläche der Pyramide parallelen
Ebenen E1 bzw. E2.
Ermitteln Sie für jede dieser Ebenen eine Gleichung.
Zeigen Sie, daß es genau einen auf der Geraden g liegenden Punkt
Q gibt, für den die gerade Pyramide PBSAQ ein Volumen von 100 VE
besitzt.
7 BE
20 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4 | 3 | 0),
B(2 | -1 | 0), C(5 | 2 | 0) und S(3 | 1 | 6) gegeben.
- Weisen Sie nach, daß das Dreieck ABS
gleichschenklig ist.
2 BE
- Der Punkt S ist die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundkreis k in
der x-y-Ebene liegt und dessen Grundkreisdurchmesser die Strecke
ist.
Unter welchem Winkel schneiden sich die Mantellinien
und 
des Kreiskegels?
2 BE
- Berechnen Sie das Volumen des Kreiskegels.
2 BE
- Geben Sie eine Gleichung des Grundkreises k des Kreiskegels an.
Weisen Sie nach, daß der Punkt C auf diesem Grundkreis k liegt.
3 BE
- In der x-y-Ebene ist die Gerade t die Tangente an den Grundkreis k,
die durch den Punkt C verläuft.
Stellen Sie den Kreis k und die Tangente t graphisch dar und ermitteln
Sie die Gleichung von t.
3 BE
- Die Gerade g enthält die Punkte P1 (0; 2) und P2
(5; -8).
Weisen Sie nach, daß die Gerade g Tangente an den Kreis k ist,
und zeigen Sie, daß g und t parallel zueinander verlaufen.
3 BE
- Die Tangenten g und t an den Kreis k sowie die Tangenten an den Kreis
k durch die Punkte A bzw. B bestimmen ein Viereck.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
5 BE
20 BE
- Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 + 3i; z2
= -3 + 2i und z3 = -3 - 5i (i2 = -1).
- Stellen Sie diese Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar.
1 BE
- Ermitteln Sie rechnerisch und konstruktiv: z1 + z2
+z3; z1 * z2.
3 BE
- Ermitteln Sie alle Lösungen der Gleichung x6 - 64 =
0 im Bereich der komplexen Zahlen.
3BE
- Lösen Sie die folgende Gleichung: x2 + (-1 + i) x -
i = 0.
Stellen Sie die Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene dar.
3 BE
10 BE
- Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = x + ln x (x
Df).
- Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich
der Funktion f.
1 BE
- Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,2
x
5,0.
1 BE
- Ermitteln Sie graphisch näherungsweise die Nullstellen der
Funktion f.
l BE
- Berechnen Sie mit dem Newtonschen Verfahren alle Nullstellen der
Funktion f auf 4 Dezimalstellen genau.
2 BE
- Weisen Sie nach, daß die Funktion f keine lokalen Extrema
besitzt.
2 BE
- Berechnen Sie mit einem geeigneten Näherungsverfahren auf zwei
Dezimalstellen genau die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der
Funktion f mit der Parabel p, die durch die Gleichung y = x2
- 4x + 4 (x )
gegeben ist.
3 BE
10 BE
- In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Hyperbel gegeben
durch die folgende Gleichung: x2/9 - y2/7 = 1.
- Ermitteln Sie die Koordinaten der Brennpunkte der Hyperbel sowie die
Koordinaten ihrer Scheitelpunkte.
Konstruieren Sie mindestens 12 Punkte der Hyperbel und zeichnen Sie die
Hyperbel im Intervall 6
x
6.
4 BE
- Durch die Scheitelpunkte der Hyperbel verläuft ein Kreis k,
dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Der Kreis schneidet die
y-Achse in den Nebenscheiteln einer Ellipse, deren Brennpunkte mit den
Brennpunkten der Hyperbel zusammenfallen.
Ermitteln Sie die Gleichungen des Kreises und der Ellipse.
2 BE
- Es sei t die Tangente an die Hyperbel, welche diese im Punkt P(4; yp
> 0) berührt. Weiterhin sei s diejenige Senkrechte zur Tangente
t, welche durch den Brennpunkt der Hyperbel verläuft, der eine
positive x-Koordinate hat.
Zeigen Sie rechnerisch, daß der Schnittpunkt S der Tangente t und
der Senkrechten s auf dem Kreis k liegt.
4 BE
10 BE
- Ein Glücksrad sei in vier gleich große Sektoren
unterteilt. Bei jeder Drehung wird genau ein Sektor markiert.
- Tragen Sie in ein solches Rad die Ziffern 1; 3 und 5 so ein, daß
die Ziffer 5 mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 und die Ziffern 1 und 3
jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 erzeugt werden.
1 BE
- Das Rad wird zehnmal gedreht.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse
Ereignis A: Die Ziffer 5 tritt genau 4mal auf,
Ereignis B: Die Ziffer 5 tritt höchstens 2mal auf,
Ereignis C: Die Ziffer 1 tritt mindestens 2mal auf,
Ereignis D: Die Ziffer 3 tritt häufiger als die Ziffern 1 und 5
zusammen auf,
Ereignis E: Die Summe der durch die zehn Drehungen ermittelten Zahlen
sei 7.
7 BE
- Ein Zufallsexperiment bestehe im zweimaligen Drehen des Rades. Die
Zufallsgröße R sei definiert als die Summe der dabei
auftretenden Zahlen.
Berechnen Sie für diese Zufallsgröße den
Erwartungswert.
2 BE
10 BE
- Die Polizei prüft innerhalb einer Ortschaft die Geschwindigkeit
von Kraftfahrzeugen. Erfahrungsgemäß überschreiten 8 % der
Pkw-Fahrer und 13 % der Motorradfahrer die zulässige Höchstgeschwindigkeit.
- Ein Kraftfahrer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2
kontrolliert.
- Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
Ereignis A: Ein beliebiger Pkw-Fahrer überschreitet die
Geschwindigkeit und wird kontrolliert.
Ereignis B: Unter 15 Pkw-Fahrern und 10 Motorradfahrern befindet sich
keiner, der die Höchstgeschwindigkeit überschreitet.
Ereignis C: Von einem Pkw-Fahrer und einem Motorradfahrer überschreitet
höchstens einer die Höchstgeschwindigkeit.
4 BE
- Bei einer Kontrolle werden 50 Motorradfahrer kontrolliert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreiten mehr als 4 dieser
Fahrer die Höchstgeschwindigkeit?
2 BE
- Eine Polizeistreife kontrolliert täglich 200 Pkw und 20 Motorräder.
Wieviel Geschwindigkeitsverstöße stellt die Streife
durchschnittlich je Tag fest?
2 BE
- Ein Fernsehteam möchte an einer Kontrolle teilnehmen und
wenigstens einen "Verkehrssünder" nach Gründen für
dessen Fehlverhalten befragen.
Wieviel PKW müßten mindestens kontrolliert werden, damit die
Wahrscheinlichkeit, wenigstens einen PKW mit überhöhter
Geschwindigkeit festzustellen, nicht kleiner als 0,8 ist?
2 BE
10 BE
Finden Sie Fehler oder haben Sie Fragen?
mathe@org.dz.shuttle.de
Warning: include(/fmFuss.php) [
function.include]: failed to open stream: No such file or directory in
/export/schulen/matheabi/www/ma94gna.htm on line
741
Warning: include() [
function.include]: Failed opening '/fmFuss.php' for inclusion (include_path='.:/export/htdocs/alle/include:/export/htdocs/alle:/export/htdocs/redaktion/include') in
/export/schulen/matheabi/www/ma94gna.htm on line
741
