Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A1: Analysis

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y = f(x) = 3 * e0,5x; ersten drei Ableitungen; lokalen Extrema; Monotonieverhalten; Skizze; Zahlenfolge (an) mit an = f(n) (0); y = h(x) = 3 * e-0,5x; gemeinsamer Punkt; Inhalt einer Fläche; maximaler Flächeninhalt eines Rechtecks OSPR; Bakterien

Teil A2: Analysis

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y = f( x) = -1/64 x3 + 3/4 x; Kurvendiskussion; y = ga(x) = ax2 + 7/4 x; Anstieg ist 2; Tangente; Parabelfläche; Skizze; Abstand

Teil B1: Geometrie und Algebra

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Punkte A(3; 7; 0), B(9; -1; 0) und C(2/3; -1; 14) , vec x~=~(STACK { 2 #0 #12 })`+`t(STACK { 4 #3 #-6 }); Gerade g durch AB; Schnittpunkt; rechtwinkliges Dreieck; Thaleskreis; Schnittpunkt mit Ebene; Pyramide mit vorgegebenem Volumen

Teil B2: Geometrie und Algebra

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A(4 | 3 | 0), B(2 | -1 | 0), C(5 | 2 | 0) und S(3 | 1 | 6); Nachweis Eigenschaften eines Dreiecks; Kreiskegel; Volumen Kreiskegel; Grundkreis Kreiskegel; Tangente an Kreis; Flächeninhalt Viereck

Teil C1: Komplexe Zahlen

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z1 + z2 +z3; z1 * z2; Lösungen x6 - 64 = 0 und x2 + (-1 + i) x - i = 0; Darstellung

Teil C2: Numerische Verfahren

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y = f(x) = x + ln x; DB; Skizze; NST grafisch; Newton; Nachweis keine Extrema; Schnittpunkt mit y = x2 - 4x + 4

Teil C3: Kegelschnitte

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x2/9 - y2/7 = 1; Brennpunkt; Konstruktion; Tangente und Senkrechte

Teil C4: Stochastik

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Glücksrad; verschiedene Ereignisse; Verteilung und Erwartungswert der Zufallsgröße R als Summe zweier Ergebnisse

Teil C5: Stochastik

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Verkehrssünder; verschiedene Ereignisse; verschiedene Binomialverteilungen

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Teil A1: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 3 * e0,5x (x Element reeller Zahlen).
  1. Berechnen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktion f.

    2 BE

  2. Zeigen Sie, daß die Funktion f keine lokalen Extrema besitzt.
    Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion f und geben Sie das Verhalten der Funktion f für x -> inf und x -> -inf an.
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -2 kleiner gleich x kleiner gleich 2.

    4 BE

  3. Es seien a1 = f' (0), a2 = f'' (0), a3 = f''' (0) usw. die Glieder der Zahlenfolge (an) mit an = f(n) (0).
    Geben Sie a1, a2, a3 und eine explizite Bildungsvorschrift der Zahlenfolge (an) an.
    Zeigen Sie, daß die Zahlenfolge (an) eine geometrische Zahlenfolge ist.
    Berechnen Sie die Anzahl derjenigen Glieder der Zahlenfolge (an)' die größer als 1/10000 sind.

    7 BE

  4. Gegeben ist eine Funktion h durch y = h(x) = 3 * e-0,5x (x Element reeller Zahlen).
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion h in dem Koordinatensystem von Aufgabenteil c).
    Welche Abbildung führt den Graph der Funktion h in den Graph der Funktion f über?
    Begründen Sie Ihre Aussage.

    3 BE

  5. Die Graphen der Funktion f und h haben einen gemeinsamen Punkt.
    Berechnen Sie den Schnittwinkel phi zwischen den Tangenten an die Graphen der Funktionen f und h in diesem Punkt.

    3 BE

  6. Der Graph der Funktion h, die Koordinatenachsen und die Gerade x = a (a > 0) begrenzen eine Fläche vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von a.

    2 BE

  7. Der Punkt 0 sei der Koordinatenursprung, der Punkt P(x; y) (x > 0) liege auf dem Graphen der Funktion h.
    Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt R; die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P schneidet die x-Achse im Punkt S.
    Bestimmen Sie x so, daß der Flächeninhalt des Rechtecks OSPR maximal wird.
    Berechnen Sie diesen Flächeninhalt.

    5 BE

  8. Durch die Funktion g mit N = g(t) = N0 * e0,5t wird in guter Näherung das Wachstum von Bakterien beschrieben.
    Dabei bedeuten: N ... Anzahl der Bakterien; t ... Zeit in Stunden.
    Zum Zeitpunkt t = 0 wurde für die Bakterienkultur N0 = 20 angegeben.
    Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 1, nach 4 und nach 9 Stunden.
    Nach welcher Zeit hat sich die Anzahl der Bakterien verfünffacht?

    4 BE
    30BE

Teil A2: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f( x) = -1/64 x3 + 3/4 x (x Element reeller Zahlen).
  1. Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema).
    Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall -9 kleiner gleich x kleiner gleich 9.

    7 BE

  2. Die x-Achse und der Graph der Funktion f begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche A vollständig.
    Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
    Durch eine Gerade, die durch das lokale Maximum von f geht und parallel zur y-Achse verläuft, wird diese Fläche in zwei Teilflächen zerlegt. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der Teilflächen.

    5 BE

    Gegeben sind die Parabeln ga durch y = ga(x) = ax2 + 7/4 x (x Element reeller Zahlen; a Element reeller Zahlen; a ungleich 0).

  3. Welche der Parabeln ga hat für x = -0,5 den Anstieg 2?
    Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an diese Parabel an der Stelle x = -0,5.

    4 BE

  4. Jede Parabel ga schließt mit der x-Achse die Fläche Aa ein.
    Für welches a (a > 0) beträgt der Flächeninhalt 7/6 FE?

    5 BE

    Betrachtet wird bei den folgenden Aufgabenteilen nur die Parabel ga mit a = 1/4.

  5. Skizzieren Sie in das Koordinatensystem von Aufgabenteil a den Graph dieser Parabel.
    Die Schnittpunkte dieser Parabel mit der x-Achse und ihr Extrempunkt bilden ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

    4 BE

  6. Jede Gerade mit der Gleichung x = u (-8 kleiner gleich u kleiner gleich 0) schneidet den Graph der Funktion f im Punkt Ru und die betrachtete Parabel im Punkt Qu.
    Für welches u ist der Abstand der Punkte Ru und Qu am größten?

    5 BE
    30 BE

Teil B1: Geometrie und Algebra

Erwartungsbild --- Teil A1, A2, B1, B2,C1, C2, C3, C4 und C5 --- home

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3; 7; 0), B(9; -1; 0) und C(2/3; -1; 14) sowie die Gerade g durch die Gleichung vec x~=~(STACK { 2 #0 #12 })`+`t(STACK { 4 #3 #-6 }) (t Element reeller Zahlen) gegeben.
  1. Die Gerade h verläuft durch die Punkte A und B.
    Untersuchen Sie, ob sich die Geraden g und h im Punkt C schneiden.

    3 BE

  2. Die Menge aller in der x-y-Ebene liegenden Punkte X, für die die Dreiecke DELTA ABX rechtwinklig sind, liegen auf dem zur Strecke Strecke AB gehörenden Thaleskreis k.
    Ermitteln Sie eine Gleichung für k.

    3 BE

  3. Die Gerade g schneidet die x-y-Ebene im Punkt S.
    Berechnen Sie die Koordinaten von S und weisen Sie nach, daß das Dreieck ABS rechtwinklig und gleichschenklig ist.

    5 BE

  4. Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes P so, daß das Viereck PBSA ein Quadrat ist.

    2 BE

  5. Das Quadrat PBSA ist Grundfläche einer Pyramide PBSAY.
    Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes Y so, daß das Volumen dieser Pyramide 125 VE beträgt.
    Alle Punkte Y, für die das Volumen der Pyramiden PBSAY 125 VE beträgt, liegen in je einer von zwei zur Grundfläche der Pyramide parallelen Ebenen E1 bzw. E2.
    Ermitteln Sie für jede dieser Ebenen eine Gleichung.
    Zeigen Sie, daß es genau einen auf der Geraden g liegenden Punkt Q gibt, für den die gerade Pyramide PBSAQ ein Volumen von 100 VE besitzt.

    7 BE
    20 BE

Teil B2: Geometrie und Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(4 | 3 | 0), B(2 | -1 | 0), C(5 | 2 | 0) und S(3 | 1 | 6) gegeben.
  1. Weisen Sie nach, daß das Dreieck DELTAABS gleichschenklig ist.

    2 BE

  2. Der Punkt S ist die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundkreis k in der x-y-Ebene liegt und dessen Grundkreisdurchmesser die Strecke Strecke AB ist.
    Unter welchem Winkel schneiden sich die Mantellinien Strecke SA und Strecke SB des Kreiskegels?

    2 BE

  3. Berechnen Sie das Volumen des Kreiskegels.

    2 BE

  4. Geben Sie eine Gleichung des Grundkreises k des Kreiskegels an.
    Weisen Sie nach, daß der Punkt C auf diesem Grundkreis k liegt.

    3 BE

  5. In der x-y-Ebene ist die Gerade t die Tangente an den Grundkreis k, die durch den Punkt C verläuft.
    Stellen Sie den Kreis k und die Tangente t graphisch dar und ermitteln Sie die Gleichung von t.

    3 BE

  6. Die Gerade g enthält die Punkte P1 (0; 2) und P2 (5; -8).
    Weisen Sie nach, daß die Gerade g Tangente an den Kreis k ist, und zeigen Sie, daß g und t parallel zueinander verlaufen.

    3 BE

  7. Die Tangenten g und t an den Kreis k sowie die Tangenten an den Kreis k durch die Punkte A bzw. B bestimmen ein Viereck.
    Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

    5 BE
    20 BE

Teil C1: Komplexe Zahlen

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Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 + 3i; z2 = -3 + 2i und z3 = -3 - 5i (i2 = -1).
  1. Stellen Sie diese Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar.

    1 BE

  2. Ermitteln Sie rechnerisch und konstruktiv: z1 + z2 +z3; z1 * z2.

    3 BE

  3. Ermitteln Sie alle Lösungen der Gleichung x6 - 64 = 0 im Bereich der komplexen Zahlen.

    3BE

  4. Lösen Sie die folgende Gleichung: x2 + (-1 + i) x - i = 0.
    Stellen Sie die Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene dar.

    3 BE
    10 BE

Teil C2: Numerische Verfahren

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Gegeben sei die Funktion f durch y = f(x) = x + ln x (x Element von Df).
  1. Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f.

    1 BE

  2. Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall 0,2 kleiner gleich x kleiner gleich 5,0.

    1 BE

  3. Ermitteln Sie graphisch näherungsweise die Nullstellen der Funktion f.

    l BE

  4. Berechnen Sie mit dem Newtonschen Verfahren alle Nullstellen der Funktion f auf 4 Dezimalstellen genau.

    2 BE

  5. Weisen Sie nach, daß die Funktion f keine lokalen Extrema besitzt.

    2 BE

  6. Berechnen Sie mit einem geeigneten Näherungsverfahren auf zwei Dezimalstellen genau die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der Parabel p, die durch die Gleichung y = x2 - 4x + 4 (x Element reeller Zahlen) gegeben ist.

    3 BE
    10 BE

Teil C3: Kegelschnitte

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In einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Hyperbel gegeben durch die folgende Gleichung: x2/9 - y2/7 = 1.
  1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Brennpunkte der Hyperbel sowie die Koordinaten ihrer Scheitelpunkte.
    Konstruieren Sie mindestens 12 Punkte der Hyperbel und zeichnen Sie die Hyperbel im Intervall 6 kleiner gleich x kleiner gleich 6.

    4 BE

  2. Durch die Scheitelpunkte der Hyperbel verläuft ein Kreis k, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Der Kreis schneidet die y-Achse in den Nebenscheiteln einer Ellipse, deren Brennpunkte mit den Brennpunkten der Hyperbel zusammenfallen.
    Ermitteln Sie die Gleichungen des Kreises und der Ellipse.

    2 BE

  3. Es sei t die Tangente an die Hyperbel, welche diese im Punkt P(4; yp > 0) berührt. Weiterhin sei s diejenige Senkrechte zur Tangente t, welche durch den Brennpunkt der Hyperbel verläuft, der eine positive x-Koordinate hat.
    Zeigen Sie rechnerisch, daß der Schnittpunkt S der Tangente t und der Senkrechten s auf dem Kreis k liegt.

    4 BE
    10 BE

Teil C4: Stochastik

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Ein Glücksrad sei in vier gleich große Sektoren unterteilt. Bei jeder Drehung wird genau ein Sektor markiert.
  1. Tragen Sie in ein solches Rad die Ziffern 1; 3 und 5 so ein, daß die Ziffer 5 mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 und die Ziffern 1 und 3 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 erzeugt werden.

    1 BE

  2. Das Rad wird zehnmal gedreht.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse
    Ereignis A: Die Ziffer 5 tritt genau 4mal auf,
    Ereignis B: Die Ziffer 5 tritt höchstens 2mal auf,
    Ereignis C: Die Ziffer 1 tritt mindestens 2mal auf,
    Ereignis D: Die Ziffer 3 tritt häufiger als die Ziffern 1 und 5 zusammen auf,
    Ereignis E: Die Summe der durch die zehn Drehungen ermittelten Zahlen sei 7.

    7 BE

  3. Ein Zufallsexperiment bestehe im zweimaligen Drehen des Rades. Die Zufallsgröße R sei definiert als die Summe der dabei auftretenden Zahlen.
    Berechnen Sie für diese Zufallsgröße den Erwartungswert.

    2 BE
    10 BE

Teil C5: Stochastik

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Die Polizei prüft innerhalb einer Ortschaft die Geschwindigkeit von Kraftfahrzeugen. Erfahrungsgemäß überschreiten 8 % der Pkw-Fahrer und 13 % der Motorradfahrer die zulässige Höchstgeschwindigkeit.
Ein Kraftfahrer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 kontrolliert.
  1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
    Ereignis A: Ein beliebiger Pkw-Fahrer überschreitet die Geschwindigkeit und wird kontrolliert.
    Ereignis B: Unter 15 Pkw-Fahrern und 10 Motorradfahrern befindet sich keiner, der die Höchstgeschwindigkeit überschreitet.
    Ereignis C: Von einem Pkw-Fahrer und einem Motorradfahrer überschreitet höchstens einer die Höchstgeschwindigkeit.

    4 BE

  2. Bei einer Kontrolle werden 50 Motorradfahrer kontrolliert.
    Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreiten mehr als 4 dieser Fahrer die Höchstgeschwindigkeit?

    2 BE

  3. Eine Polizeistreife kontrolliert täglich 200 Pkw und 20 Motorräder.
    Wieviel Geschwindigkeitsverstöße stellt die Streife durchschnittlich je Tag fest?

    2 BE

  4. Ein Fernsehteam möchte an einer Kontrolle teilnehmen und wenigstens einen "Verkehrssünder" nach Gründen für dessen Fehlverhalten befragen.
    Wieviel PKW müßten mindestens kontrolliert werden, damit die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einen PKW mit überhöhter Geschwindigkeit festzustellen, nicht kleiner als 0,8 ist?

    2 BE
    10 BE

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