Teil D1: Analysis

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Erläuterugen BE
a

1. Ableitung

f_k ' (x) `=`sqrt {k `-` x} over k `-`x over {2 k sqrt {k  `-` x}} `=` {2k^2 `-` 3x} over { 2k sqrt {k^2 `-` x}}

Extremstelle

x_e `=`{2k^2} over 3

Nachweis und Art der Extrema: lokale Maxima

f_k '' (x_e) `=`- {{3 sqrt 3} over {2 k^2}}

Ansatz für Gleichung der Funktion

f_k ({2k^2} over 3 ) `=` {2 sqrt 3} over 9 `k^2 und anschließendes Eliminieren von k.

Gleichung der Funktion: y =

5
b

Begründung

Stammfunktion kann nur g sein, da die Nullstelle von f3 nicht Tiefpunkt von h ist. Andererseits hat f3 die NST dort, wo g maximal wird.

Flächeninhalt

int from{0} to{a} f_3(x) dx `=`int from{a} to{9} f_3(x) dx (Ansatz 1) oder Ansatz 2: 2 g(a) = g(9) – g(0)

Ansatz für Wert a

{short description of image} {short description of image}
Unter Ausnutzung von Ansatz 1 kann man den GTR, wie oben zu sehen ist, zur Lösung der Gleichung verwenden. Dazu sollte man allerdings etwas Geduld aufbringen.
Ansatz 2 führt zu (9 - a)^(3/2) ·(a + 6) = 81 und weiter mit GTR: solve((9 - A)^(3/2) ·(A + 6)-81,A,5) bzw.: solve((9-X)^1.5(X+6)-81,X,5)

Wert a: a = 5,28

analog zu Ansatz 1 kann hier int from{0} to{a} {f_3}^2 (x) dx `=`int from{a} to{9} {f_3}^2 (x) dx und {short description of image} berechnet werden.

Prüfung und Schlussfolgerung: Das Volumen wird für den Wert a nicht halbiert.

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