Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Erläuterugen BE
a

Gleichung der Ebene E1/4

24x + 3y + 2z = 12
r = 3/7

Koordinaten des Schnittpunktes S: S (9/7; -40/7; -6/7)

Ansatz für Werte t

aus S ist in g enthalten folgt: r = 1 und S( -3; 0; 2)
weiterhin gilt:

Werte t: t1 = -0,75; t2 = 1,5

Nachweis, dass die Gerade g in keiner der Ebenen Et liegt

i) welche Ebenen sind parallel zu g: left ( stack {-3 # 4 # 2 } right ) cdot left ( stack {6 over t # 3 # 8t } right ) `=`- 18 over t `+` 12 `+`16t `=` 0
ii) left ( stack {0 # -4 # 0 } right ) ` notin `E_t für alle t => die Gerade und die Ebene haben höchstens einen Schnittpunkt
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b

Koordinaten der Schnittpunkte der Ebenen Et mit den Koordinatenachsen

At = Dx = (2t | 0 | 0); B = Dy = (0 | 4 | 0); Ct = Dz = (0 | 0 | 3/(2t));

Ansatz für Nachweis

V = 1/3 (1/2 x * y) * z (dabei sind x, y, z die jeweiligen Koordinaten der Punkte Dx, Dy, Dz)
V = 1/6 * 2t * 4 * 2/(2t) = 2

Nachweis, dass das Volumen vom Parameter t unabhängig ist

3
c

Nachweis der Parallelität

Nachweis ist bereits in a) i) erfolgt
Hinweis: Nach Interpretation der Hinweise zur Bewertung in den Vorbemerkungen zu "Abiturähnliche Aufgaben zu Geometrie/Algebra und Stochastik Gymnasium" kann der Abstand mit einem GTR-Programm berechnet werden. Das spart viel Arbeit.
Berechnung mit GEOMETRI:
Lösungsweg
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Beachten Sie:
  • Gezeigt wurden hier wesentliche Schritte bei der Bedienung des Programms. Sehen Sie sich auch die ausführliche Dokumentation an.
  • Die Ebenengleichung wurde über die Dreipunktform eingegeben. Dabei verwendete ich Dx, Dy, Dz mit t = 3/4.
  • Die parameterfreie Ebenenform kann zur Eingabe der Ebenengleichung in das Programm leider nicht genutzt werden.
  • Zur Kontrolle der Ausgaben des Programms (siehe letztes Bild) können die Listen kontrolliert werden. (Geben Sie dazu "Stat - Edit" ein.) Wie man leicht erkennt ist der Lotfußpunkt in L2 gespeichert.
  • Das Vorzeichen sollte bein Angabe des Abstandes jedenfalls weggelassen werden. Es deutet aber an, wo sich der Punkt außerhalb bezüglich des Normalenvektors der Ebene, der von der Reihenfolge der Eingabe der 3 Punkte abhängt, liegt.

Abstand d: d = 24 over sqrt 109

Ansatz für Gleichung der Geraden

Der Punkt auf der Hälfte zwischen dem Stellungsvektor von g und dem Lotfußpunkt von E3/4 ist der Stellungsvektor der gesuchten Geraden. Weiter mit GTR:
Lösungsweg
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Gleichung der Geraden: z.B. vec x ~=~ left ( stack {96 over 109 # -400  over 109 # 72  over 109} right ) `+`w cdot left ( stack {-3 # 4 # 2} right )~=~8 over 109 left ( stack {12 # -50 # 9} right ) `+`w cdot left ( stack {-3 # 4 # 2} right )

oder vec x ~=~ left ( stack {.8807 # -3.6697 # .6606} right ) `+`w cdot left ( stack {-3 # 4 # 2} right )
4
d

Ansatz für Zielfunktion

Der unnormierte Normalenvektor der Ebene lautet: vec n `=` left ( stack {6 over t # 3 # 8t} right ) ; dessen Länge ist: abs {vec n} `=`sqrt {36 over t^2 `+`9 `+`64 t^2}; entsprechend der Hesseschen Normalenform ergibt sich der Abstand zum Koordinatenursprung zu: d(t) `=`12 over sqrt {36 over t^2 `+`9 `+`64 t^2}

Zielfunktion

mit GTR:
Lösungsweg
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bzw. die exakten Werte:

Wert t* und maximaler Abstand d: t* = 1 over 2 sqrt 3; d = {4 sqrt 105} over 35

3
15

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