Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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f_a (x)`=`{(x`-`1)^2(x`+`4)} over {(x`+`a)(x`+`2)}; Eigenschaften der Funktion: D, NST, PST; f_4 (x)`=`x`-`4`+`9 over {(x`+`2)}; F4, F* mit F* (-1) = 9; f3; Polstellen, Asymptote; Flächeninhalt eines Dreiecks maximieren; Rekonstruktion eines Polynoms 3. Grades

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Gerade g und Ebene Et sind gegeben: Schnittpunkt der Ebene E_{1 over 4} mit der Geraden g, alle Werte t, für die sich die Ebene Et und die Gerade g im Punkt S schneiden, g liegt nicht in Et, Volumen der Pyramide, gebildet durch die Durchstoßpunkte von Et mit den Achsen und O, g verläuft parallel zu E_{3 over 4}, Et* soll den maximalen Abstand aller Ebenen Et zu O besitzen

Teil C: Stochastik

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Flughafens: Wahrscheinlichkeit einzelner Ereignisse, Bernoulli-Kette, Satz von Bayes und Erwartungswert, Normalverteilung

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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f_k `(x)~=~x over k sqrt {k^2`-`x} f_k '' `(x)~=~{-4k^2`+`3x} over{ 4k sqrt {(k^2`-`x)^3}}, Ortskurve der Extrema, deren Art; f3, g(x)`=`- 2 over 15 (x`+`6)`sqrt{(9`-`x)^3}, h(x)`=` {18`-`3x} over {6 sqrt{9`-`x}}: Stammfunktion von f3, Halbierung eines Flächeninhalts begrenzt durch f3 und die x-Achse, Rotationskörper

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Punkte A, B, C, Ebenenschar Ea sind gegeben: Schnittgerade g aller Schnittpunkte von E a, E* senkrecht zu Ea durch B und C in parameterfreier Form, Veranschaulichung von E2, Gerade durch A in E2 mit größtem Schnittwinkel mit der x-y-Ebene


Übersicht --- Aufgabenstellungen --- Material Stochastik

Teil A: Analysis

Erwartungsbild --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Für jedes a ( a Î R, a > 2 ) ist eine Funktion fa gegeben durch die Gleichung y =f_a (x)`=`{(x`-`1)^2(x`+`4)} over {(x`+`a)(x`+`2)} (x Î Df ).

  1. Ermitteln Sie für die Funktionen fa den größtmöglichen Definitionsbereich.
    Untersuchen Sie die Funktionen fa für die Fälle a = 4 und a ¹ 4 auf Nullstellen und Polstellen.
    Geben Sie diese an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  2. Zeigen Sie, dass die Funktion f4 durch die Gleichung y = f_4 (x)`=`x`-`4`+`9 over {(x`+`2)} (x Î Df ) beschrieben werden kann.
    Ermitteln Sie eine Gleichung einer Stammfunktion F der Funktion f4.
    Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Stammfunktion F* der Funktion f4 für die F* (-1) = 9 gilt.
    Der Graph der Funktion f4, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 3 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Ermitteln Sie die Polstellen der Funktion f3.
    Begründen Sie ohne Verwendung von Ableitungen, dass die Funktion f3 im Intervall – 3 < x < -2 eine lokale Maximumstelle besitzen muss.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit der Gleichung y = g (x) = x - 3 Asymptote des Graphen der Funktion f3 ist.
    Jede Gerade mit der Gleichung x = u ( u Î R, u > 0 ) schneidet den Graphen der Funktion f3 im Punkt Pu und den Graphen der Funktion g im Punkt Qu.
    Für jedes u bilden die Punkte R ( 0; – 3), Pu und Qu ein Dreieck.
    Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von u.
    Es existiert genau ein Wert u so, dass der Inhalt dieses Dreiecks maximal wird.
    Geben Sie diesen Wert u an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  5. Die Funktion p ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Sie hat an den Stellen x1 = -1, x2 = 0 und x3 = 1 dieselben Funktionswerte wie die Funktion f3 und sie hat an der Stelle x1 den Anstieg -13.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion p.
    Der Graph der Funktion p schließt im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Gerade g durch vec x `=` left ( stack {6 # 2} right ) `+`t cdot left ( stack {-9 # 3} right )(r Î R) und für jedes t (t Î R, t ¹ 0) eine Ebene Et durch 6 over t x`+`3y`+`8tz~ =~12 gegeben.

  1. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene E_{1 over 4} mit der Geraden g.
    Ermitteln Sie alle Werte t, für die sich die Ebene Et und die Gerade g im Punkt S ( –3; ys; zs) ( ys, zs Î R ) schneiden.
    Zeigen Sie, dass die Gerade g in keiner der Ebenen Et liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Für jedes t ( t Î R, t ¹ 0) schneidet die Ebene Et die x-Achse im Punkt At, die y-Achse im Punkt B und die z-Achse im Punkt Ct.
    Weisen Sie rechnerisch nach, dass für jeden Wert t das Volumen der Pyramide OAtBCt gleich ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E_{3 over 4} verläuft, und berechnen Sie den Abstand d der Geraden g von dieser Ebene.
    Es existiert genau eine Gerade, deren Abstand zur Geraden g bzw. zur Ebene E_{3 over 4} jeweils ½d beträgt.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Unter allen t ( t Î R, t >0 ) existiert genau ein Wert t* so, dass die Ebene Et* den maximalen Abstand aller Ebenen Et vom Koordinatenursprung O besitzt.
    Ermitteln Sie diesen Wert t* und geben Sie den maximalen Abstand an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Test C: Stochastik

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  1. Aus den Passagierlisten eines sächsischen Flughafens von 1999 geht hervor, dass 40% der Passagiere Einwohner Sachsens, 40% der Passagiere Einwohner der anderen Bundesländer Deutschlands und 20% der Passagiere Einwohner anderer Staaten sind. Für die Durchführung einer Befragung werden Passagiere zufällig ausgelost, wobei aufgrund der großen Anzahl von Passagieren diese Auslosungen als voneinander unabhängig angenommen werden können.
    Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
    Ereignis A: Drei zufällig ausgeloste Passagiere sind Einwohner Sachsens.
    Ereignis B: Unter fünf zufällig ausgelosten Passagieren befinden sich mehr Einwohner anderer Staaten als Deutschlands.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepäckstück den Zielflughafen Frankfurt hat, sei p. Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei zufällig herausgegriffenen Gepäckstücken mindestens eines nicht den Zielflughafen Frankfurt hat, ist 90%.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit p.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Handgepäck wird wie folgt kontro1liert:
    Bei Kontrolle 1 wird das Gepäck mit einem Spezialgerät durchleuchtet. Nur wenn dieser Vorgang kein eindeutiges Ergebnis liefert, wird er ein zweites Mal durchgeführt (Kontrolle 2). Liegt dann immer noch kein eindeutiges Ergebnis vor, wird das Gepäckstück geöffnet und durch einen Beamten geprüft (Kontrolle 3). Kontrolle 1 und Kontrolle 2 dauern je 10 Sekunden, Kontrolle 3 dauert 5 Minuten. Zwischen zwei Kontrollvorgängen vergehen 30 Sekunden.
    F1 ist das Ereignis: Kontrolle 1 führt zu einem eindeutigen Ergebnis.
    F2 ist das Ereignis: Kontrolle 2 führt zu einem eindeutigen Ergebnis.
    Gegeben sind die Wahrscheinlichkeit P(overline {F_1}) = 0,1 des Gegenereignisses zu F1 und die Wahrscheinlichkeit P(F2) = 0,6.
    Die Zufallsgröße Z beschreibt die für die Gepäckkontrolle benötigte Gesamtzeit.
    Ermitteln Sie die durchschnittlich für die Gepäckkontrolle benötigte Gesamtzeit.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  4. Die Masse der Gepäckstücke sei normalverteilt. Sie beträgt durchschnittlich 15 kg bei einer Standardsbweichung von 3 kg.
    Es wird angenommen, dass ein zufällig herausgegriffenes Gepäckstück eine Masse m von 14 kg < m < 16 kg hat.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Annahme zutrifft.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Für jedes k ( k Î R, k > 0 ) ist eine Funktion fk gegeben durch y = f_k `(x)~=~x over k sqrt {k^2`-`x} (x Î R, x < k2 ). Außerdem ist die zweite Ableitung der Funktion fk gegeben durch y'' = f_k '' `(x)~=~{-4k^2`+`3x} over{ 4k sqrt {(k^2`-`x)^3}} (x Î R, x < k2 ).

  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph die lokalen Extrempunkte aller Funktionen fk liegen und bestimmen Sie für diese Extrempunkte die Art der Extrema.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktion f3, der Funktion g mit der Gleichung y = g(x)`=`- 2 over 15 (x`+`6)`sqrt{(9`-`x)^3} und der Funktion h mit der Gleichung y = h(x)`=` {18`-`3x} over {6 sqrt{9`-`x}} in einem ausgewählten Bereich.
    Genau eine der Funktionen g bzw. h ist Stammfunktion der Funktion f3.
    Begründen Sie anhand der Graphen, welche der Funktionen g oder h als Stammfunktion der Funktion f3 nicht in Frage kommt.
    Der Graph der Funktion f3 und die x-Achse begrenzen eine Fläche A vollständig.
    Ermitteln Sie den Wert a ( a Î R ), für den die Gerade mit der Gleichung x = a diese Fläche halbiert.
    Die Fläche A erzeugt bei Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper.
    Prüfen Sie, ob für den ermittelten Wert a das Volumen dieses Rotationskörpers durch die Ebene x = a ebenfalls halbiert wird.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1; 0; 15/16 ), B ( 5; 3; 1 ) und C (-2; 1; 2 ) sowie die Ebenenschar Ea durch (a2 – 1) x + 4 y + 4 a2 z = 4 (a2 – 1) ( a Î R ) gegeben.

  1. Alle Ebenen Ea schneiden sich in einer Geraden g.
    Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Schnittgeraden.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Die Ebene E* enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur Ebene Ea.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E* in parameterfreier Form.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Veranschaulichen Sie die Ebene E2 in einem kartesischen Koordinatensystem. In der Ebene E2 existieren Geraden, die durch den Punkt A verlaufen. Die Gerade h ist diejenige dieser Geraden, die den größten Schnittwinkel mit der x-y-Ebene besitzt.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5


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Tabelle der Verteilungsfunktion der StandardnormalverteilungTabelle

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