Teil D1: Analysis

Lösungen und Bewertung

Aufgabenstellung --- Lösungen: Teil A, B, C, D1 und 2 --- home

Erläuterungen BE
a

größtmöglicher Definitionsbereich: Dft = {x | x Element reeller Zahlen, x > 0, x <> 1/t}

Skizze für t={2,1,.5}
1
b Verfahren: Tangentengleichung t: y = m * x + n mit m = f't (x) und n = a folgt: t: y = f't (x) * x + a. Außerdem gibt es Berührungsstellen xS, in denen die Gleichung ft(xS) = f't (xS) * xS + a erfüllt ist. Bei der Lösung dieser Gleichung gilt 1/ln(txS) = - (xS·ln(t·xS)²)-1 * xS + a = - ln(t·xS)-2 + a. Dies führt auf eine in ln(t·xS) quadratische Gleichung. Bei der Lösung dieser Gleichung können also höchsten zwei Berührungsstellen x und damit auch zwei Tangenten entstehen.

Aussage zur Ermittlung des Anstiegs

Aussage zur Ermittlung der Berührungsstelle

Aussage zum Aufstellen der Gleichungen

3
c Unter Ausnutzung der oben dargestellten Überlegungen könnte ein Lösungsweg so gestaltet aussehen:
2 ln(t·x) = a·ln(t·x)² - 1
2 z = a·z² - 1 mit z = ln(tx)
Lösungsweg

1. Ableitung

Abszisse der Berührungspunkte

Gleichung der Tangente

Gleichung der anderen Tangente t1: y = - t/e x + 2 und t2: y = -4t e½ x + 2

Zielfunktion

%alpha(t) `=` abs {`arctan left (-{ t over e} right ) `-`arctan ( -4t sqrt e)}
Lösung mit GTR: solve(nDerive(tan-1(-X/e^1)-tan-1(-4X sqrt(e^1)),X,X),X,1) -> 0,642

Wert t: t = 0,642

oder %alpha '(t)`=` {sqrt e cdot (1`-`4 e sqrt e) cdot (4t^2`-`sqrt e)} over {(t^2`+`e^2) cdot (16 e t^2`+`1)} und t = ½e-.25
5
10

Aufgabenstellung --- Lösungen: Teil A, B, C, D1 und 2 --- home

Finden Sie Fehler oder haben Sie Fragen?mathe@org.dz.shuttle.de
Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/