Teil A: Analysis

Lösungen und Bewertung

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Erläuterugen BE
a Hinweis: Laut Aufgabenstellung sind die einzelnen Ergebnisse anzugeben. Es reicht also, gerundete Werte zu ermitteln.
GTR: Y1=5*(sin(2X)+cos(2x)) und Umstellung auf RAD (Menü | Mode)

Nullstellen: xN1 = 3/8 pi; xN2 = 7/8 pi

Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte: P_MAX left ( %pi over 8 ; ~ 5 sqrt(2) right ) ; P_MIN left ( {5 %pi} over 8 ; ~ -5 sqrt(2) right )


Anmerkung: Markus Borris fragt in einer e-mail: "Sind die Intervallgrenzen (0 und PI) nicht auch lokale Extremstellen?!" Ja, warum nicht. Es vergaßen aber viele (ich auch) und es gibt für deren Nennung keine BE, wie es für deren Nicht-Nennung keine Abzüge gibt.

Koordinaten der Wendspunkte: P_{W_1} left ( {3 %pi} over 8 ; 0 right ) ; P_{W_2} left ( {7 %pi} over 8 ; 0 right )

Wertebereich: {y Element reeller Zahlen | -5sqrt(2)kleiner oder gleich y kleiner oder gleich 5 sqrt(2)}

1. Ableitung

maximaler Anstieg: 10sqrt(2)

Der maximale Anstieg liegt in einem der Wendepunkte vor: f'2(xw2) = 0 bei f'''2(xw2) < 0
mit GTR: nDerive(Y1,X,xw2) -> 14,1421
6
b GTR: Y2=1.25*(sin(X/2)+cos(X/2))
Ansatz n:~y`=`- 1 over {f'_{1 over 2}(0)}`x`+`f_{1 over 2}(0)

Gleichung der Normalen n: y = -1,6 x+ 1,25

GTR: Y3=-1.6X+1.25

Inhalt einer Teilfläche

GTR: fnInt(Y2,X,0,x02) -> 6.03553
Koordinatensystem mit f_.5

Abszisse des Schnittpunktes der Normalen mit der x-Achse: x0n = 25/32

GTR: solve(Y3,X,1)->.78125

Inhalt der zweiten Teilfläche: A2 = ½ x0n f½(0) = 125/256

Flächeninhalt A: A = 5,5

5
c

Anstieg der Tangente

ta: y = f'a(0) x + fa (0)
mit f'a(x) = (a³ + a) (cos(ax) - sin(ax)) und f'a(0) = (a³ + a) folgt

Gleichung der Tangente ta: y = (a³ + a)x + (a² + 1)

Ansatz für a

a³ + a = 2

Wert a: a = 1

Gleichung der speziellen Tangente: y = 2x + 2

5
d

Stammfunktion

int f_a (x) dx ~=~(a^2`+`1) left ( int cos ax dx `+` int sin ax dx right )  ~=~(a^2`+`1) over a left (sin ax ` -` cos ax right )

Ansatz für Integrationsgrenzen

matrix{alignr{f_a (x_0)}# "=" # alignl  0 ##

Integrationsgrenzen

int from{0} to{{3 %pi} over {4 a}} {f_a (x)}dx `=`{[{a^2`+`1} over a (sin ax `-`cos ax)]_0}^{{3 %pi} over {4 a}}`=`{(sqrt 2 `+`1)(a^2`+`1)} over a

Flächeninhalt A(a): A(a) = (sqrt(2) + 1)(a + 1/a)

4
e

1. Ableitung

A'(a) = (sqrt(2) + 1)(1 - 1/a²)
A'(a0) = 0 => 1 = 1/a²

Wert a: a = 1

Ausschluss weiterer Lösungen

da nach Voraussetzung a > 0 ist, entfällt a = -1

Nachweis und Art des Extremums: lokales Minimum

A''(a) = 2/a³ (sqrt(2) + 1)
A''(1) > 0 => lok. Min.

Flächeninhalt A: A(1) = 2sqrt(2) + 2

5
30

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