Leistungskurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- Material Stochastik --- home

Teil A: Analysis

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fa (x) = (a2 + 1) (sin ax + cos ax); für f2: Nullstellen, lokalen Extrempunkte, Art der Extrema, Wendepunkte und Wertebereich, maximaler Anstieg; Normalen n an f0,5 im Schnittpunkt mit der y-Achse; Flächeninhalt; Tangente ta an fa; t mit Anstieg 2; Flächeninhalt in Abhängigkeit von a; Extremum dieses Flächeninhalts

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Abbildung: A, B, C, D, E, F gegeben; ABCDEF ist kein Prisma; Winkel zwischen BCF und ABCD; Abstandes d von A zu Ebene der rechten Begrenzungsfläche von BCF; Abtrennung eines Prismas mit vorgegebenem Volumen und weitere Berechnungen am Reststück -> zylindrischen Bohrung (Radius und Mittelpunkt)

Teil C: Stochastik

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Betrieb stellt Batterien her: einfache Wahrscheinlichkeiten; Bernoulli-Kette; Normalverteilung; Erwartungswert und Gewinn

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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ft (x) = 1 over {ln(tx)}: größtmöglicher Definitionsbereich; Tangentenpaar an f durch Pa -> Verfahren und Ermittlung; für Tangenten in P2 extremen Schnittwinkel -> t

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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A, B, C und St gegeben: St nicht Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide; t für ausgewählte Pyramiden; Höhenfußpunkt von ABCS1 ist außerhalb von Dreieck ABC


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Teil A: Analysis

Lösung --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a>0) ist eine Funktion fa durch
y = fa (x) = (a2 + 1) (sin ax + cos ax) (x Element reeller Zahlen; 0 kleiner oder gleich x kleiner oder gleich{2 %pi} over a) gegeben.

  1. Geben Sie für die Funktion f2 die Nullstellen, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte, die Art der Extrema, die Koordinaten der Wendepunkte und den Wertebereich an.
    Ermitteln Sie den maximalen Anstieg dieser Funktion.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  2. Geben Sie eine Gleichung der Normalen n an den Graphen der Funktion f0,5 im Schnittpunkt mit der y-Achse an.
    Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f0,5, der x-Achse und der Geraden n im I. Quadranten eingeschlossen wird.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Für jedes a (a Element reeller Zahlen, a > 0) existiert eine Tangente ta an den Graphen der Funktion f, im Schnittpunkt mit der y-Achse. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Tangente ta.
    Bestimmen Sie a so, dass der Anstieg der zugehörigen Tangente ta den Wert 2 hat.
    Geben Sie eine Gleichung dieser speziellen Tangente an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

    Für jedes a wird durch die Koordinatenachsen und den Graphen der Funktion fa im I. Quadranten eine Fläche vollständig begrenzt.

  4. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  5. Weisen Sie nach, dass es genau ein a gibt, für das der Inhalt dieser Fläche extrem ist. Ermitteln Sie die Art des Extremums und geben Sie für diesen Fall den Flächeninhalt an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Abbildung des Werkstücks

Die Abbildung zeigt die Skizze eines in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellten Werkstücks ABCDEF mit ebenen Begrenzungsflächen. Die Eckpunkte dieses Werkstücks sind durch die Punkte A( 4; 0; 0 ), B( 4; 8; 0 ), C( 0; 5; 0 ), D(0; 0; 0), E(0; 0; 3) und F(0; 5; 3) gegeben.

  1. Weisen Sie nach, dass das Werkstück ABCDEF kein Prisma ist.
    Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Begrenzungsflächen BCF und ABCD.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  2. Zur Herstellung dieses Werkstücks ist unter anderem die Kenntnis des Abstandes d des Eckpunktes A von der Ebene, in der die rechte Begrenzungsfläche BCF liegt, notwendig.
    Beschreiben Sie ein Verfahren zur Berechnung dieses Abstandes.
    Ermitteln Sie den Abstand d.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

    Von dem Werkstück wird ein Teil mit dem Volumen 10 so abgetrennt, dass das verbleibende Reststück ein Prisma mit der Grundfläche ADE ist.

  3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der die Deckfläche dieses Prismas liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Dieses Prisma soll parallel zur y-Achse so mit einer zylindrischen Bohrung versehen werden, dass eine allseitige Wanddicke von mindestens 0,5 gewährleistet bleibt.
    Berechnen Sie für das größtmögliche Bohrloch die Koordinaten des in der Fläche ADE liegenden Kreismittelpunkts und den Radius der Bohrung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

Test C: Stochastik

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Ein Betrieb stellt Batterien für grafikfähige Taschenrechner her. Der Ausschussanteil beträgt 2%. Ausschussstücke treten unabhängig voneinander auf.

  1. Margret kauft 4 Batterien.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei dieser Batterien Ausschuss sind.
    Margret behauptet, die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Batterien Ausschuss sind, sei kleiner als die Wahrscheinlichkeit, im Lotto ”6 aus 49” sechs richtige Zahlen zu tippen.
    Überprüfen Sie Margrets Behauptung.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Batterien werden für den Versand an Einzelhändler in Kartons zu je 100 Stück verpackt.
    Berechnen Sie, wie viele Ausschussstücke in einem Karton durchschnittlich zu erwarten sind.
    Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten Karton höchstens 2% der Batterien Ausschuss sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  3. Nach Angaben des Betriebes ist die Lebensdauer der Batterien normalverteilt mit einem Erwartungswert von 300 Betriebsstunden und einer Standardabweichung von 15 Betriebsstunden. Ein Kontrolleur entnimmt der laufenden Produktion eine solche Batterie und prüft die Lebensdauer.
    Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer dieser Batterie höchstens 280 Betriebsstunden beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  4. Die Herstellung einer Batterie kostet 1,00 DM. Der Betrieb möchte je Batterie einen Reingewinn von mindestens 0,10 DM erzielen. Um konkurrenzfähig zu bleiben, sollte der Abgabepreis einer Batterie maximal 1,32 DM betragen. Außerdem wurde mit den Händlern vereinbart, dass der Betrieb defekte Batterien zurücknimmt und durch funktionierende, geprüfte Batterien ersetzt. In diesem Fall entstehen dem Betrieb Kosten von 3,00 DM je defekter Batterie.
    Berechnen Sie den minimalen Abgabepreis einer Batterie an den Händler und den höchstmöglichen Gewinn, den der Hersteller für eine Batterie erzielen kann.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

Lösung --- Teil A, B, C, D1 und D2 --- home

Für jedes t ( t Element reeller Zahlen, t > 0 ) ist eine Funktion ft durch y = ft (x) = 1 over {ln(tx)} (x Element Dft) gegeben.

  1. Geben Sie für die Funktion ft den größtmöglichen Definitionsbereich an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 1

  2. Für jeden Punkt Pa( 0; a) ( a Element reeller Zahlen, a > 0 ) existieren für jedes t genau zwei Tangenten an den Graphen der Funktion ft.
    Beschreiben Sie ein Verfahren zur Ermittlung der Gleichungen eines solchen Tangentenpaares.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  3. Vom Punkt P2( 0; 2) aus werden zwei Tangenten an den Graphen der Funktion f t gelegt.
    Ermitteln Sie je eine Gleichung dieser Tangenten.
    Es existiert genau ein Wert t, für den der Schnittwinkel dieser Tangenten extrem wird.
    Ermitteln Sie diesen Wert t.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1; 2; 1), B( – 1; 5; 2), C(-3; 1; 3) und St (1+2t;4+3t;2-5t) mit t Element reeller Zahlen gegeben.

  1. Berechnen Sie alle Werte t, für die die Punkte A, B, C und St nicht Eckpunkte einer Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche sind.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Untersuchen Sie, ob es Werte für t gibt, für die die Punkte A, B, C und St Eckpunkte einer Pyramide mit den Eigenschaften (1) und (2) sind.
    (1) Die Grundfläche der Pyramide ist das Dreieck ABC.
    (2) Die von der Spitze St ausgehenden Kanten sind gleich lang.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Der Punkt S1 ist die Spitze einer dreiseitigen Pyramide ABCS1.
    Weisen Sie nach, dass der Höhenfußpunkt dieser Pyramide außerhalb der Grundfläche liegt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3


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Tabelle der Verteilungsfunktion der StandardnormalverteilungTabelle

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/