Grundkurs

Übersicht --- Aufgabenstellung --- home

Teil A: Analysis

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f(x) = {x^2`-`2x`+`1} over {x`+`1}: Definitionsbereich, Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art, keine Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen, x Anstieg von f ist -3; f(x) = x`-`3`+`4 over {x`+`1}, asymptotisches Verhalten, Stammfunktion, Flächeninhalt einer vollständig begrenzten Fläche; lineare Funktion h -> Differenz d (x) = f(x) – h(x) minimieren; Tangente an den Graphen mit = ¾ x + n

Teil B: Analytische Geometrie und Lineare Algebra

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Kreis k (M, r) sowie die Punkte A, B und C sind gegeben: gAB, Lage von gAB zu k; Gerade t ist Tangente an den Kreis k im Punkt C -> Flächeninhalt des Dreiecks, begrenzt von t, g und y-Achse; Punkt D, so dass das Viereck AOBD ein Drachenviereck ist

Teil C: Stochastik

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verschiedene Zufallsexperiment: Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse, Überprüfen einer Vermutung, ideales Tetraeder, Bernoulli-Kette, Skatkarten - Erwartungswert

Teil D: Wahlaufgaben

Aufgabe D1: Analysis

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fa (x) = {4x^2} over {3a^2`+`x^2}: Symmetrieeigenschaft, lokaler Extrempunkt und dessen Art, Wendepunkte; Pa (a; fa(a)) und Qa (-a; f,(-a)), Tangenten in diesen Punkten und y = 4 begrenzen ein Dreieck -> Flächeninhalt in Abhängigkeit von a

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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Punkte A, B, C, D sind gegeben: Viereck ABCD ein Trapez, Punkte A, B, C und D sind Eckpunkte eines Sehnenvierecks, Umkreis k1 und Punkt F auf k1, so dass ein Trapez entseht; k2 und spitzer Kreiskegel mit vorgegebenen Volumen


Übersicht --- Aufgabenstellungen

Teil A: Analysis

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Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = {x^2`-`2x`+`1} over {x`+`1} (x Î Df).

  1. Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f, die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrema an.
    Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion keine Wendepunkte besitzt.
    Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
    Berechnen Sie die Stellen x, an denen die Funktion den Anstieg -3 hat.

    Erreichbare BE-Anzahl: 13

  2. Zeigen Sie, dass die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = x`-`3`+`4 over {x`+`1} (x Î Df) beschrieben werden kann.
    Begründen Sie, dass für große Werte x sich der Graph der Funktion f an den Graphen der Funktion mit der Gleichung y = x - 3 annähert.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Stammfunktion der Funktion f.
    Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = 10 begrenzen eine Fläche vollständig.
    Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Erreichbare BE-Anzahl: 6

  3. Gegeben ist die lineare Funktion h durch y = h(x) = 8 over 9 x `-`5 over 2 (x Î R) .
    Es existiert eine Stelle x (x >0), für die die Differenz d (x) = f(x) – h(x) minimal wird.
    Geben Sie diese Stelle x und die minimale Differenz an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  4. Für jedes n (n Î R) existiert eine Gerade gn mit der Gleichung y = ¾ x + n.
    Ermitteln Sie diejenigen Werte n, für die die zugehörige Gerade gn Tangente an den Graphen der Funktion f ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M (-2; 3) und dem Radius r = 5 sowie die Punkte A(6; 2), B (-3; 5) und C(-5; yC) mit yC > 0 gegeben.

  1. Durch die Punkte A und B ist eine Gerade g bestimmt.
    Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g.
    Untersuchen Sie rechnerisch die Lage der Geraden g zum Kreis k und geben Sie die Koordinaten aller gemeinsamen Punkte an.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Die Gerade t ist Tangente an den Kreis k im Punkt C. Die Tangente t, die Gerade g und die y-Achse begrenzen ein Dreieck.
    Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
    Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Dreieck nicht rechtwinklig ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines Punktes D, so dass das Viereck AOBD ein Drachenviereck ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 6; 2; 0 ), B ( -3; 5; 0 ) und Pz ( 1; 1; z ) mit z Î R gegeben.

  1. Ermitteln Sie alle Werte z, für die das Dreieck ABPz ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuseoverline AB ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

Test C: Stochastik

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Susanne, Henriette und Franziska bereiten eine Veranstaltung der Arbeitsgemeinschaft Mathematik ihrer Schule zum Thema Glücksspiele vor. Sie einigen sich darauf, dass sich jede ein Zufallsexperiment ausdenkt und bezüglich dieses Experiments Aufgaben formuliert.

  1. Susanne verwendet eine Urne, in der sich vier weiße, fünf schwarze und drei gelbe Kugeln befinden. Nacheinander sollen aus der Urne zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden. Susanne vermutet, dass von den folgenden Ereignissen das Ereignis B am wahrscheinlichsten ist.
    Ereignis A: Die erste Kugel ist gelb und die zweite ist schwarz.
    Ereignis B: Beide Kugeln haben die gleiche Farbe.
    Ereignis C: Keine der gezogenen Kugeln ist schwarz.
    Überprüfen Sie rechnerisch, ob Susannes Vermutung stimmt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

  2. Henriette verwendet ein ideales Tetraeder, dessen Seiten mit „1“, „2“, „3“ bzw. „4“ beschriftet sind. Das Tetraeder soll durch einen Spieler dreimal geworfen werden, wobei nach jedem Wurf die unten liegende Augenzahl notiert wird. Erreicht der Spieler beim dreimaligen Wurf eine Augensumme größer als acht, erhält er 20 Pfennige ausgezahlt. Ist die Augensumme kleiner oder gleich acht, muss er 25 Pfennige bezahlen.
    Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn des Spielers beim dreimaligen Wurf des Tetraeders.

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an.
    Berechnen Sie den bei 10 Spielen vom Spieler zu erwartenden Gewinn.
    Ermitteln Sie den vom Spieler einzuzahlenden Betrag (auf ganze Pfennige gerundet), wenn ein Auszahlungsbetrag von 20 Pfennigen für einen Gewinn beibehalten wird und das Spiel gerecht sein soll, d. h., dass der Erwartungswert der Zufallsgröße X Null Pfennige beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 4

  3. Franziska benutzt sieben Skatkarten. Auf vier Karten sind Buben, auf den anderen Karten Damen abgebildet. Aus dem Stapel dieser sieben Karten wird durch einen Spieler dreimal eine Karte gezogen, wobei nach jeder Ziehung diese Karte zurückgelegt und die Karten gemischt werden. Betrachtet werden die Ereignisse:
    Ereignis D: Es werden zweimal Dame und einmal Bube gezogen.
    Ereignis E: Es werden entweder drei Damen oder drei Buben gezogen.
    Wenn bei diesen Ziehungen eines der Ereignisse D oder E eintritt, kann der Spieler einen Preis gewinnen. Dafür muss er sich aber vor dem Spiel für eines dieser beiden Ereignisse entscheiden und nur wenn dieses eintritt, gewinnt er.

    Geben Sie an und begründen Sie, für welches der beiden Ereignisse Sie sich entscheiden würden, um den Preis zu gewinnen.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3

Wahlaufgaben

Wählen Sie genau eine der folgenden Aufgaben zur Bearbeitung aus.

Aufgabe D1: Analysis (erhöhter Schwierigkeitsgrad)

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Für jedes a ( a Î R, a > 0 ) ist eine Funktion fa durch y = fa (x) = {4x^2} over {3a^2`+`x^2} (x Î R) gegeben.

  1. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion fa auf Symmetrie.
    Geben Sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes der Funktion f1 und die Art des Extremums an.
    Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion f1 höchstens zwei Wendepunkte besitzen kann.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  2. Für jedes a ( a Î R; a > 0 ) existieren auf dem Graphen der Funktion fa genau ein Punkt Pa (a; fa(a)) und genau ein Punkt Qa (-a; f,(-a)). Die Tangente an den Graphen der Funktion fa im Punkt Pa die Tangente an den Graphen der Funktion fa im Punkt Qa und die Gerade mit der Gleichung y = 4 begrenzen ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

Aufgabe D2: Analytische Geometrie und lineare Algebra

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In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 1; 0; 0 ), B ( 6; 1; 0), C ( 6; 5; 0 ) und D( -7/13; 48/13; 0) gegeben.

  1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Viereck ABCD ein Trapez ist.

    Erreichbare BE-Anzahl: 2

  2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Sehnenvierecks sind.
    Auf dem Umkreis k1 dieses Sehnenvierecks existiert ein vom Punkt D verschiedener Punkt F so, dass das Viereck ABCF ebenfalls ein Trapez ist.
    Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes F.

    Erreichbare BE-Anzahl: 5

  3. Der Punkt B ist Mittelpunkt eines in der x-y-Koordinatenebene liegenden Kreises k2, der durch den Koordinatenursprung verläuft. Für jedes z ( z Î R, z ¹ 0 ) ist der Punkt Sz ( x; y; z ) Spitze eines Kreiskegels mit dem Grundkreis k2.
    Ermitteln Sie alle Werte z, für die das Volumen dieses Kreiskegels 111 p beträgt.

    Erreichbare BE-Anzahl: 3


Übersicht --- Aufgabenstellungen

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Quelle: http://www.sn.schule.de/ ~matheabi/