Teil B: Analytische Geometrie und lineare Algebra

Lösungen und Bewertung

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Erläuterungen BE
a GTR: beide Gleichungen sind mit dem Programm PrgmGeometri schnell zu ermittlen.

Gleichung der Ebene in Parameterform: z. B.: vec x~=~(stack{3#3#-2})`+`s`%cdot`(stack{2#4#4})`+`t`%cdot`(stack{-2#6#8}) (s, t Element reeller Zahlen)

Gleichung der Ebene in parameterfreier Form: 2x – 6y + 5z = -22

Ansatz: (stack{-4#2a#a})~=~(stack{3#3#-2})`+`s` cdot`(stack{2#4#4})`+`t` cdot`(stack{-2#6#8}) durch Umordnung erhält man: (stack{-3#-3#2})~=~a `cdot `(stack{4#-2#-1})`+`s` cdot`(stack{2#4#4})`+`t` cdot`(stack{-2#6#8}). Jetzt könnte der GTR mit einem Programm eingesetzt werden, das den Lösungsweg für die Parameter angibt, zum Beispiel: PrgmLGS.

Wert das Parameters a

Koordinaten des speziellen Punktes Pa: P2 (-4; 4;2)

4
b aus (1) folgt: vec AB = k cdot vec FC aus (2) folgt außerdem: k Element von{2; -2; .5; -.5}

Ansatz für Koordinaten eines Punktes F

Koordinaten eines Punktes F: mögliche Lösungen: (2; 11; 8); (0; 7; 4); (5; 17; 14); (–3; 1; –2)

Anzahl der Trapeze und Begründung: Anzahl = 4

Beschreibung

(stack{2#4#4})~=~k `cdot `(stack{1`-`x_F#9`-`y_F#6`-`z_F}) ~ dlrarrow ~ für k = 2 findet man: F (0; 7; 4); für die anderen k-Werte entsprechend die anderen Punkte F.
4
c

Ansatz für Nachweis

Nachweis des Parallelogramms

geht am schnellsten mit: vec AB = vec DC und vec AB = vec AD (dann gilt auch: D Element von EABC)

Flächeninhalt A des Parallelogramms: A = 32,2

z. B.: A = |vec AB×vec AD| = |(8; -24; 20)| = 32,249 (mit PrgmGeometri ermittelt) oder dem doppelten Flächeninhalt eines Teildreiecks des Parallelogramms
Anmerkung: Vergleichen Sie vec AB×vec AD mit dem Stellungsvektor der Ebene durch ABC z. B. aus der Normalenform der Ebene in a)! Es gilt: |(2; -6; 5)|² = 65. Der normierte Stellungsvektor ist dann: (2; -6; 5)/|(2; -6; 5)| = 65(2; -6; 5)

Volumen V einer Pyramide: V = 86,5

V = A*hp/3 = 86,66

Gleichung der Geraden durch die Pyramidenspitzen

Diagonalenschnittpunkt G: Diagonalenschnittpunkt F die Spitze S unterliegt dann der Gleichung: vec OS `=`vec OG `+- ` h_p over sqrt 65 `left (stack{2#-6#5} right )`=`left (stack{2 `+-` 2#6`-+`6#2`+-`5} right )

Werte des Parameters Koordinaten der Punkte: S1 (4; 0; 7), S2 (0; 12; -3)

7
15

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